初中数学北师大版七年级下册3 平行线的性质当堂检测题

这是一份初中数学北师大版七年级下册3 平行线的性质当堂检测题，共20页。试卷主要包含了如图，AB∥CD，点E在BC上等内容，欢迎下载使用。
 北师大版七年级数学下册《2.3平行线的性质》解答专项练习题（附答案）
1．如图，AB∥CD，点E在BC上．求证：∠B＝∠D+∠CED．


2．如图，AB∥CD，直线EF分别与直线AB、直线CD相交于点E，F，点G在CD上，EG平分∠BEF．若∠EGC＝58°，求∠EFD的度数．

3．如图，已知CD是∠ACB的平分线，∠A＝70°，∠B＝60°，DE∥BC．求∠EDC度数．

4．如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角∠A是135°，第二次的拐角∠B是多少度？为什么？

5．如图所示，DE∥AC，∠1+∠2＝180°，DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．


6．如图，AB∥CD，CE与AB交于点O，OF平分∠AOE，OG⊥OF．
（1）若∠C＝50°，求∠BOF的度数；
（2）求证：OG平分∠AOC．

7．阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
已知：如图，点D、E分别在线段AB、BC上，AC∥DE，DF∥AE交BC于点F，AE平分∠BAC．求证：DF平分∠BDE．
证明：∵AE平分∠BAC（已知）
∴∠1＝∠2（ 　 　）
∵AC∥DE（已知）
∴∠1＝∠3（ 　 　）
故∠2＝∠3（ 　 　）
∵DF∥AE（已知）
∴∠2＝∠5，（ 　 　）
∠3＝∠4（ 　 　）
∴∠4＝∠5（ 　 　）
∴DF平分∠BDE（ 　 　）
（2）若AE⊥BC，请直接写出图中所有与∠1互余的角．
8．如图，△ABC中，D为AC边上一点，过D作DE∥AB，交BC于E；F为AB边上一点，连接DF并延长，交CB的延长线于G，且∠DFA＝∠A．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）若∠C＝80°，∠ABC＝60°，求∠G的度数．

9．如图，∠DAC+∠ACB＝180°，AD∥EF，CE平分∠BCF，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．

10．如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）求证：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图2，若∠ABG＝50°，∠BCD的平分线交AD于点E、交射线GA于点F．求∠AFC的度数．

11．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是 　 　；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，MN与CD交于点O，且∠DON＝20°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．



12．如图，已知BC∥DF，∠B＝∠D，A、F、B三点共线，连接AC交DF于点E．
（1）求证：∠A＝∠ACD；
（2）若FG∥AC，∠A+∠B＝106°，求∠EFG的度数．

13．如图，已知EB∥DC，∠C＝∠E，
（1）试说明∠A＝∠EDA；
（2）若∠E＝60°，求∠EBC的度数．

14．如图，已知直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，直线BE、DE交于点E．
（1）若∠ADC＝70°，∠ABC＝50°，求∠BED的度数；
（2）若∠ADC＝m°，∠ABC＝n°，试求∠BED的度数（用含m、n的代数式表示）．

15．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝130°，BE平分∠ABC交AD于点E，交CD的延长线于点F．
（1）求∠ABE的大小；
（2）若∠ADC＝48°，求∠DEF的大小．

16．如图1，已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于点B，BD⊥AM于点D．
（1）求证：∠ABD＝∠C；
（2）如图2，BE平分∠ABD，BF平分∠CBD，分别交直线DM于点E，F，连接CF，若∠FCB＝∠DFC，∠BFC＝3∠DBE，求∠CBE的度数．

17．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n．
（1）当m∥n时，若∠1＝50°，则∠2＝　 　，∠3＝　 　；
（2）当m∥n时，若∠1＝x°（0＜x＜90），则∠3＝　 　；
（3）根据（1）（2）结果，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3为多少度时，m∥n．请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明）

18．如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别相交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，点P在线段AB上．
（1）若∠1＝23°，∠2＝34°，则∠3＝　 　；
（2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由；
（3）应用（2）中的结论解答下列问题：
已知l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°．
①如图2，当点B在点A的右侧时，求∠AEC的度数；
②如图3，当点B在点A的左侧时，直接写出∠AEC的度数．

19．综合与实践
（1）问题情境：图1中，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．按小明的思路，易求得∠APC的度数为 　 　；（直接写出答案）
（2）问题迁移：图2中，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．若∠A＝50°，∠D＝150°，试求∠APD的度数；
（3）问题拓展：图3中，直线AB∥CD，则∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 　 　．

20．已知直线PQ∥MN．
（1）如图1，BC平分∠PBA，AC平分∠MAB，求∠ACB的度数；
（2）在（1）的条件下，G为直线MN上一动点（不与点A重合），BD平分∠GBA，交MN于点D，试探究∠CBD与∠BGA的数量关系并证明；
（3）如图2，当点C位于PQ上，∠BCA＝90°且AB⊥PQ于点K，∠CEM＝60°，在△BCK以每秒10°绕点C逆时针旋转一周的过程中，设旋转时间为t，当BK与△ACK的一边平行时，直接写出此时t的值．

参考答案
1．证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
在△ECD中，∠CED+∠D+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠CED﹣∠D，
∴∠B+180°﹣∠CED﹣∠D＝180°，
∴∠B＝∠CED+∠D．
2．解：∵AB∥CD，∠EGC＝58°，
∴∠BEG＝∠EGC＝58°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF＝2∠BEG＝116°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝180°﹣∠BEF＝180°﹣116°＝64°．
3．解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠DCB＝∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∴∠EDC＝∠ACB，
∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（70°+60°）＝50°，
∴∠EDC＝∠ACB＝×50°＝25°．
∴∠EDC度数为25°．
4．解：
∠B＝135°，
理由是：∵道路是平行的，
∴∠B＝∠A＝135°．
5．解：∵ED∥AC，
∴∠EDB＝∠C＝40°，
∵ED平分∠ADB，
∴∠2＝∠EDB＝40°，
∴∠ADB＝80°，
∵DE∥AC，
∴∠2＝∠DAC，
∵∠l+∠2＝180°，
∴∠1+∠DAC＝180°，
∴AD∥GF，
∴∠BFG＝∠ADB＝80°．
6．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BOE＝∠C＝50°，
∴∠AOE＝130°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF＝∠AOF＝65°，
∴∠BOF＝∠BOE+∠EOF＝50°+65°＝115°；
（2）∵OG⊥OF，即∠GOF＝90°，
∴∠AOF+∠AOG＝90°，∠EOF+∠COG＝90°，
∵∠AOF＝∠EOF，
∴∠AOG＝∠COG，
∴OG平分∠AOC．
7．（1）证明：∵AE平分∠BAC（已知）
∴∠1＝∠2（角平分线的定义）
∵AC∥DE（已知）
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
故∠2＝∠3（等量代换）
∵DF∥AE（已知）
∴∠2＝∠5，（两直线平行，同位角相等）
∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）
∴∠4＝∠5（等量代换）
∴DF平分∠BDE（角平分线的定义）．
故答案为：角平分线的定义，两直线平行，内错角相等，等量代换，两直线平行，同位角相等，等量代换，角平分线的定义．
（2）解：∵AE⊥BC，
∴∠1+∠C＝90°，
∠3+∠DEB＝90°，
∠2+∠B＝90°，
∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠1的余角为：∠C、∠B、∠DEB．
8．（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠A＝∠CDE，∠DFA＝∠FDE，
∵∠DFA＝∠A，
∴∠CDE＝∠FDE，
∴DE平分∠CDF；
（2）∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，∠C＝80°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵∠DFA＝∠A，
∴∠GFB＝∠DFA＝40°，
∵∠G+∠GFB＝∠ABC，
∴∠G＝∠ABC﹣∠GFB＝60°﹣40°＝20°．
9．解：∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE＝∠ECF，
设∠BCE＝∠ECF＝x，则∠BCF＝2x，
∵∠DAC＝3∠BCF，
∴∠DAC＝6x，
∵∠DAC+∠ACB＝180°，
∴6x+x+x+20°＝180°，∠ACF＝20°，
解得x＝20°，
即∠BCE＝20°，
∵AD∥EF，
∴∠FEC＝∠BCE＝20°．
10．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD，
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）解：∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠GCF＝45°，
∵∠ABC＝50°，AD∥BC，
∴∠DAB＝180°﹣50°＝130°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD＝65°，
∵∠GAD＝∠AFC+∠AEF，
∴∠AFC＝65°﹣45°＝20°．
11．解：（1）如图①，过点P作PH∥AB，

∵AB∥CD，
∴PH∥AB∥CD，
∴∠PFD＝∠FPH，∠AEM＝∠HPM，
∵∠MPN＝∠FPH+∠HPM＝90°，
∴∠PFD+∠AEM＝90°；
故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；
（2）证明：如图②，

∵AB∥CD，
∴∠PFD＝∠PHB，
∵∠PHB﹣∠PEB＝∠P＝90°，∠PEB＝∠AEM，
∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）解：由（2）得，∠PFD＝90°+∠AEM＝90°+∠PEB＝120°，
∴∠N＝180°﹣∠DON﹣∠OFN＝180°﹣∠DON﹣∠PFD＝180°﹣20°﹣120°＝40°，
故答案为：∠N＝40°．
12．（1）证明：∵BC∥DF，
∴∠D+∠BCD＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠ACD；
（2）解：∵∠A+∠B＝106°，
∴∠ACB＝74°，
∵FG∥AC，
∴∠BGF＝74°，
∵BC∥DF，
∴∠EFG＝∠BGF＝74°．
13．解：（1）∵EB∥DC，
∴∠C＝∠ABE（两直线平行，同位角相等），
∵∠C＝∠E，
∴∠ABE＝∠E，
∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠ADE；
（2）∵AC∥DE，
∴∠E+∠EBC＝180°，
∵∠E＝60°，
∴∠EBC＝120°．
14．解：（1）过E作EF∥AB，
∴ABE＝∠BEF，
∵∠ABC＝50°，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝25°，
∴∠BEF＝25°，
∵a∥b，
∴AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CDE＝∠DEF，
∵∠ADC＝70°，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝60°；
（2）∵EF∥AB，
∴∠ABE＝∠BEF，
∵∠ABC＝n°，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝n°，
∴∠BEF＝，
∵a∥b，
∴AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CDE＝∠DEF，
∵∠ADC＝m°，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠DEF＝m°，
∴∠DEF＝，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝，
即∠BED＝．

15．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∵∠BCD＝130°，
∴∠ABC＝50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝25°；
（2）∵AB∥CD，∠ABE＝25°，
∴∠F＝∠ABE＝25°，
∵∠ADC＝∠F+∠DEF，∠ADC＝48°，
∴∠DEF＝23°．
16．（1）证明：延长DB，交NC于点H，如图：

∵AM∥CN，BD⊥AM，
∴DH⊥NC．
∴∠BHC＝90°．
∴∠C＝90°﹣∠HBC．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC﹣∠HBC＝180°﹣90°﹣∠HBC＝90°﹣∠HBC，
∴∠ABD＝∠C；
（2）解：延长DB，交NC于点H，延长NC到点G，如图，

设∠BCN＝α，
∵AM∥CN，BD⊥AM，
∴DH⊥NC．
∴∠BHC＝90°．
∵∠BCN＝α，
∴∠HBC＝90°﹣α．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC﹣∠HBC＝α．
∵BE平分∠ABD，
∴∠DBE＝∠ABE＝α．
∵∠HBC＝90°﹣α，
∴∠DBC＝180°﹣∠HBC＝90°+α．
∵BF平分∠DBC，
∴∠DBF＝∠CBF＝∠DBC＝45°+α．
∵AM∥CN，
∴∠DFC＝∠GCF，
∵∠FCB＝∠DFC，
∴∠FCB＝∠GCF，
∵∠BFC＝3∠BCN，
∴∠BFC＝3α．
∴∠DFB＝∠DFC﹣∠BFC＝90°﹣α．
∵BD⊥AM，
∴∠D＝90°．
∴∠DBF+∠DFB＝90°．
∴45°+α+90°﹣α＝90°．
解得：α＝15°．
∴∠FBC＝∠DBF＝45°+α＝52.5°．
∴∠CBE＝∠FBC+∠EBF＝52.5°+45°＝97.5°．
17．解：（1）∵m∥n，
∴∠4+∠2＝180°，
∵∠5＝∠1＝50°，
∴∠4＝80°，
∴∠2＝100°，
∴∠6＝∠7＝40°，
∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠6＝90°，
故答案为：100°；90°；
（2）∵m∥n，
∴∠4+∠2＝180°，
∵∠5＝∠1＝x°，
∴∠4＝180°﹣2x°，
∴∠2＝2x°，
∴∠6＝∠7＝90°﹣x°，
∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠6＝180°﹣x°﹣90°+x°＝90°，
故答案为：90°；
（3）根据（1）、（2）猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3是90°时，总有m∥n，
证明：∵∠3＝90°，
∴∠5+∠6＝90°，
∴∠1+∠7＝90°，
∴∠1+∠5+∠6+∠7＝180°，
又∵∠1+∠4+∠5+∠2+∠6+∠7＝360°，
∴∠4+∠2＝180°，
∴m∥n．

18．解：（1）∵直线l1∥l2，
∴∠ACD+∠CDB＝180°，
即∠1+∠2+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠1﹣∠2
又∵在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠3＝180°﹣（∠PCD+∠PDC）＝180°﹣（180°﹣∠1﹣∠2）＝∠1+∠2；
∵∠1＝23°，∠2＝34°，
∴∠3＝23°+34°＝57°，
故答案为：57°；
（2）∠3＝∠1+∠2，
理由：∵直线l1∥l2，
∴∠ACD+∠CDB＝180°，
即∠1+∠2+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠1﹣∠2
又∵在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠3＝180°﹣（∠PCD+∠PDC）＝180°﹣（180°﹣∠1﹣∠2）＝∠1+∠2；
（3）①过E点作EF∥l1∥l2，
∴∠AEF＝∠EAB，∠FEC＝∠ECD，
∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝∠EAB+∠ECD，
∵l1∥l2，AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°，
∴∠BAD＝∠β＝32°，∠BCD＝∠α＝74°，
∴∠EAB＝∠BAD＝×32°＝16°，
∠ECD＝∠BCD＝×74°＝37°，
∴∠AEC＝∠EAB+∠ECD＝16°+37°＝53°；
∴∠AEC的度数为53°；
②∠AEC的度数为：143°；
过E点作EF∥l1∥l2，
∴∠AEF＝180°﹣∠EAB，∠FEC＝∠ECD，
∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD，
∵l1∥l2，AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°，
∴∠BAD＝180°﹣∠β＝180°﹣32°＝148°，∠BCD＝∠α＝74°，
∴∠EAB＝∠BAD＝×148°＝74°，
∠ECD＝∠BCD＝×74°＝37°，
∴∠AEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD＝180°﹣74°+37°＝143°，
∴∠AEC的度数为143°．
19．解：（1）如图1，过P作PE∥AB，

∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠PCE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°，
故答案为：110°；

（2）过点P作EF∥AB，

∵∠A＝50°，
∴∠APE＝∠A＝50°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CDP+∠EPD＝180°，
∵∠D＝150°，
∴∠EPD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠APD＝∠APE+∠EPD＝50°+30°＝80°；

（3）如图，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，

∴∠CDP＝∠DPF，∠FPA+∠PAB＝180°，
∵∠FPA＝∠DPF﹣∠APD，
∴∠DPF﹣∠APD+∠PAB＝180°，
∴∠CDP+∠PAB﹣∠APD＝180°，
故答案为：∠CDP+∠PAB﹣∠APD＝180°．
20．解：（1）∵PQ∥MN，
∴∠PBA+∠MAB＝180°，
∵BC平分∠PBA，AC平分∠MAB，
∴∠CBA+∠CAB＝（∠PBA+∠MAB）＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CBA+∠CAB）＝90°；
（2）由题意可分三种情况讨论：
①如图，BG在∠CBA左侧，则：

∠CBD＝∠GBD﹣∠GBC
＝∠GBD﹣（∠PBA﹣∠BGD）
＝∠GBD﹣∠PBA+∠BGD，
∵∠GBD＝（180°﹣∠BGD﹣∠GAB）
＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB，
∴∠CBD＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB﹣∠PBA+∠BGD
＝90°+∠BGD﹣（∠GAB+∠PBA）
＝∠BGD，
∴∠BGA＝2∠CBD；
②如图，BG在∠CBA内部，则：


∠CBD＝∠GBD+∠GBC
＝∠GBD+（∠BGD﹣∠PBA）
＝∠GBD+∠BGD﹣∠PBA，
∵∠GBD＝（180°﹣∠BGD﹣∠GAB）
＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB，
∴∠CBD＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB﹣∠PBA+∠BGD
＝90°+∠BGD﹣（∠GAB+∠PBA）
＝∠BGD，
∴∠BGA＝2∠CBD；
③如图，BG在∠CBA右侧，则：

∠CBD＝180°﹣（∠GBD+∠GBQ+∠PBA）
＝180°﹣（∠GBD+∠BGD+∠PBA）
∵∠GBD＝（180°﹣∠BGD﹣∠GAB）
＝90°﹣∠BGD﹣∠GAB，
∴∠CBD＝180°﹣（90°﹣∠BGD﹣∠GAB+∠BGD+∠PBA）
＝180°﹣（90°+∠BGD+∠PBA﹣∠GAB）
＝180°﹣（90°+90°﹣∠ABG﹣∠GAB）
＝（∠ABG+∠GAB）
＝（180°﹣∠BGA），
∴∠BGA＝180°﹣2∠CBD；
综上，∠CBD与∠BGA的数量关系为：∠BGA＝2∠CBD或∠BGA＝180°﹣2∠CBD．
（3）如图，可以画出△BCK以每秒10°绕点C逆时针旋转一周的过程中，BK与△ACK的一边平行的所有情况，

①△BCK旋转到△DCL处，DL∥CA，此时旋转角＝∠BCK＝30°，t＝30÷10＝3s，
②△BCK旋转到△FCO处，FO∥CK，此时旋转角＝∠OCK＝90°，t＝90÷10＝9s，
③△BCK旋转到△GCW处，WG∥KA，此时旋转角＝∠WCK＝180°，t＝180÷10＝18s，
④△BCK旋转到△HCR处，HR∥CA，此时旋转角＝∠GCW+∠WCK＝180°+30°＝210°，t＝210÷10＝21s，
⑤△BCK旋转到△TCS处，ST∥CK，此时旋转角＝∠SCW+∠WCK＝180°+90°＝270°，t＝270÷10＝27s，
⑥△BCK再旋转90°，此时BK回到原处，与AK在同一直线，不算平行，
综上所述，当旋转时间为3s或9s或18s或21s或27s时，BK与△ACK的一边平行．