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初中数学北师大版七年级下册3 平行线的性质同步达标检测题
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这是一份初中数学北师大版七年级下册3 平行线的性质同步达标检测题，共27页。试卷主要包含了填空等内容，欢迎下载使用。
北师大版七年级数学下册《2.3平行线的性质》
解答题能力提升训练（附答案）
1．填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
如图，已知：CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF，那么EF平分∠DEB吗？
解：∵CD平分∠ACB（已知），
∴ （ ）．
∵AC∥DE（已知），
∴∠1＝∠ ，
∴∠2＝∠3（等量代换）．
∵ （已知），
∴∠3＝∠4（ ）
∠2＝∠5（ ）
∴ （等量代换），
∴EF平分∠DEB．
2．如图，AB∥DG，AD∥EF，DG平分∠ADC，若∠B＝40°，求∠AEF的度数．下面是小明同学的解答过程，请在括号内填上恰当的依据．
解：AB∥DG，∠B＝40°，
∴∠CDG＝∠B＝40°，（ ）
∠BAD＝∠ADG，（ ）
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADG＝∠CDG，（ ）
∴∠BAD＝∠ADG＝∠CDG＝40°，（ ）
∵AD∥EF，
∴∠BAD+∠AEF＝180°，（ ）
.∴∠AEF＝180°﹣∠BAD＝180°﹣40°＝140°．
3．如图，已知∠A＝∠C，EF∥DB．说明∠AEF＝∠D的理由．
解：∵∠A＝∠C（已知），
∴① ∥ （ ）．
∴∠D＝∠B（② ）．
∵EF∥DB（③ ）．
∴∠AEF＝∠B（④ ）．
∵∠D＝∠B（已证），
∴∠AEF＝∠D（⑤ ）．
4．如图，△ABC中，D为AC边上一点，过D作DE∥AB，交BC于E；F为AB边上一点，连接DF并延长，交CB的延长线于G，且∠DFA＝∠A．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）若∠C＝80°，∠ABC＝60°，求∠G的度数．
5．如图，已知AB∥CD，∠ABD的平分线BF和∠BDC的平分线DE交于点E，BF交CD于点F．
（1）求∠1+∠2的度数；
（2）若∠2＝35°，求∠3的度数．
6．如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．
7．如图，∠DAC+∠ACB＝180°，AD∥EF，CE平分∠BCF，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
8．如图，已知AB∥CD，点M是直线AB，CD内部一点，连接MB，MD．
（1）探究：①若∠B＝25°，∠D＝40°，则∠BMD＝ °；
②若∠B＝α，∠D＝β，则∠BMD＝ ；
（2）猜想：图中∠B，∠D与∠BMD之间的数量关系，并说明理由．
9．如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）求证：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图2，若∠ABG＝50°，∠BCD的平分线交AD于点E、交射线GA于点F．求∠AFC的度数．
10．（1）如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数．
（2）如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．
11．如图，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P
（1）若∠AEF＝66°，求∠PEF的度数；
（2）若直线AB∥CD，求∠P的度数．
12．如图，AB和CD交于点O，EF∥AB，∠C＝∠D．
（1）求证：∠A＝∠F；
（2）若∠A＝70°，∠C＝∠COA，求∠D的度数．
13．如图，是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．
（1）已知BC∥AD，BE∥AF，求证：∠A＝∠B；
（2）若∠DOB＝135°，求∠A的度数．
14．如图，FG、ED分别交BC于点M、N．∠ENC+∠CMG＝180°，AB∥CD．
（1）∠2＝∠3吗？为什么？
（2）若∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，求∠B的度数．
15．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是 ；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，MN与CD交于点O，且∠DON＝20°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．
16．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．（推理时不需要写出每一步的理由）
（1）求∠CBD的度数．
（2）当点P运动时，那么∠APB与∠ADB的大小关系是否发生变化？若不变，请找出它们的关系并说明理由；若变化，请找出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
17．综合与实践
（1）问题情境：图1中，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．按小明的思路，易求得∠APC的度数为 ；（直接写出答案）
（2）问题迁移：图2中，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．若∠A＝50°，∠D＝150°，试求∠APD的度数；
（3）问题拓展：图3中，直线AB∥CD，则∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
18．（1）如图①，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝ ；
如图②，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝ ，请你说明理由；
（2）如图③，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝ ；
（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝130°，求∠BFD的度数．
19．小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决下．
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；
（3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠FAD＝α°，∠ABC＝β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．
20．问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．
（1）端点A、C同向：
如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝ 度；
如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝ 度；
（2）端点A、C反向：
如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；
如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝ 度．
21． 问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，试猜想∠P＝ °；
探究：（2）在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
拓展：（3）将图①变为图②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度数．
22．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论．
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2有何关系？说明理由；
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2有何关系？说明理由；
（3）由（1）（2）你能得出的结论是：如果 ，那么 ；
（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少60°，则这两个角度数的分别是 ．
23．已知点F、G分别在直线AB、CD上，且知AB∥CD．
（1）如图1，请用等式表示∠GEF、∠BFE、∠CGE之间的数量关系并给出证明；
（2）如图2，∠BFE的平分线FQ所在的直线与∠CGE的平分线相交于点P，探究∠GPQ与∠GEF之间的数量关系，请直接写出你的结论： ．
24．【探究】（1）如图1，∠ADC＝100°，∠BCD＝120°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ °；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ ；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
（4）如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
25．如图1，过直线AB外一点C作MN∥AB，连接AC，BC，∠ACM+∠ABC＝90°，∠BAC的平分线AD与MN交于点D，点E是线段AD上一动点（不与A，D重合），连接EC．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若∠ECA＝2∠EAB，求证：∠ECB＝∠ABC；
（3）如图2，∠CED的平分线EF与MN交于点F，连接EB，若∠EAB＝20°，∠ECM＝α，∠EBC＝β，∠BEF＝γ（0°＜γ＜180°），请直接写出α，β，γ之间的等量关系．
参考答案
1．解：∵CD平分∠ACB（已知），
∴∠1＝∠2（角平分线的定义），
∵AC∥DE（已知），
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3（等量代换），
∵CD∥EF（已知），
∴∠4＝∠3（两直线平行，内错角相等），∠2＝∠5（两直线平行，同位角相等），
∴∠4＝∠5（等量代换）．
故答案为：∠1＝∠2，角平分线的定义；3；CD∥EF；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠4＝∠5．
2．解：AB∥DG，∠B＝40°，
∴∠CDG＝∠B＝40°（两直线平行，同位角相等），
∠BAD＝∠ADG（两直线平行，内错角相等），
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADG＝∠CDG（角平分线的定义），
∴∠BAD＝∠ADG＝∠CDG＝40°（等量代换），
∵AD∥EF，
∴∠BAD+∠AEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
.∴∠AEF＝180°﹣∠BAD＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；等量代换；两直线平行，同旁内角互补．
3．解：∵∠A＝∠C（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠D＝∠B（两直线平行，内错角相等）．
∵EF∥DB（已知），
∴∠AEF＝∠B（两直线平行，同位角相等）．
∵∠D＝∠B（已证），
∴∠AEF＝∠D（等量代换）．
故答案为：AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；两直线平行，同位角相等；等量代换．
4．（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠A＝∠CDE，∠DFA＝∠FDE，
∵∠DFA＝∠A，
∴∠CDE＝∠FDE，
∴DE平分∠CDF；
（2）∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，∠C＝80°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵∠DFA＝∠A，
∴∠GFB＝∠DFA＝40°，
∵∠G+∠GFB＝∠ABC，
∴∠G＝∠ABC﹣∠GFB＝60°﹣40°＝20°．
5．解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∵BF平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，
又∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
即2∠1+2∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝90°；
（2）∵∠1+∠2＝90°，∠2＝35°，
∴∠1＝90°﹣35°＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣35°＝125°．
6．证明：∵AD∥BE，
∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∴∠CGF＝∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD，
∴∠CGF＝∠BAD，
∵CF平分∠DCE，
∴∠FCG＝∠DCE，
∴∠FCG＝∠B，
∴∠CGF+∠FCG＝（∠BAD+∠B）＝×180°＝90°，
∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，
∴CF⊥AE．
7．解：∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE＝∠ECF，
设∠BCE＝∠ECF＝x，则∠BCF＝2x，
∵∠DAC＝3∠BCF，
∴∠DAC＝6x，
∵∠DAC+∠ACB＝180°，
∴6x+x+x+20°＝180°，∠ACF＝20°，
解得x＝20°，
即∠BCE＝20°，
∵AD∥EF，
∴∠FEC＝∠BCE＝20°．
8．解：（1）如图，过M点作MN∥AB，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠BMN＝∠B，∠DMN＝∠D，
∴∠BMD＝∠BMN+∠DMN＝∠B+∠D＝25°+40°＝65°，
故答案为：65．
（2）同理，∠B＝α，∠D＝β，
∴∠BMD＝∠B+∠D＝α+β，
故答案为：α+β．
（3）同理，∠BMD＝∠B+∠D．
9．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD，
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）解：∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠GCF＝45°，
∵∠ABC＝50°，AD∥BC，
∴∠DAB＝180°﹣50°＝130°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD＝65°，
∵∠GAD＝∠AFC+∠AEF，
∴∠AFC＝65°﹣45°＝20°．
10．解：（1）过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠CEF＝∠C＝30°，∠BEF＝180°﹣∠B＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BEC＝∠BEF+∠CEF＝80°；
（2）∠BEC＝180°﹣∠B+∠C，理由如下：
如上图，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠CEF＝∠C，∠BEF＝180°﹣∠B，
∴∠BEC＝∠BEF+∠CEF＝180°﹣∠B+∠C．
11．解：（1）∵∠AEF＝66°，
∴∠BEF＝180°﹣∠AEF＝114°，
∵EP平分∠BEF，
∴∠PEF＝∠BEF＝57°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，
∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE，
∴∠PEF+∠PFE＝（∠BEF+∠DFE）＝90°，
∴∠P＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝90°．
12．（1）证明：∵∠C＝∠D（已知），
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）．
∴∠A＝∠ABD（两直线平行，内错角相等）．
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠ABD（两直线平行，同位角相等），
∴∠A＝∠F；
（2）解：∵∠A+∠C+∠COA＝180°，∠A＝70°，
∴∠C+∠COA＝110°．
∵∠C＝∠COA，
∴∠C＝55°．
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝55°．
13．（1）证明：∵BC∥AD，
∴∠B＝∠DOE，
又∵BE∥AF，
∴∠DOE＝∠A，
∴∠A＝∠B．
（2）解：∵BE∥AF，
∴∠EOA+∠A＝180°，
∵∠EOA＝∠DOB＝135°，
∴∠A＝180°﹣∠EOA＝180°﹣135°＝45°．
14．解：（1）∠2＝∠3，理由如下：
∵∠ENC+∠CMG＝180°，∠CMG＝∠FMN，
∴∠ENC+∠FMN＝180°，
∴FG∥ED，
∴∠2＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠D，
∴∠2＝∠3；
（2）∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，
∵∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，
∴（∠1+70°）+（∠1+42°）＝180°，
∴∠1＝34°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1＝34°．
15．解：（1）如图①，过点P作PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PH∥AB∥CD，
∴∠PFD＝∠FPH，∠AEM＝∠HPM，
∵∠MPN＝∠FPH+∠HPM＝90°，
∴∠PFD+∠AEM＝90°；
故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；
（2）证明：如图②，
∵AB∥CD，
∴∠PFD＝∠PHB，
∵∠PHB﹣∠PEB＝∠P＝90°，∠PEB＝∠AEM，
∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）解：由（2）得，∠PFD＝90°+∠AEM＝90°+∠PEB＝120°，
∴∠N＝180°﹣∠DON﹣∠OFN＝180°﹣∠DON﹣∠PFD＝180°﹣20°﹣120°＝40°，
故答案为：∠N＝40°．
16．解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ABP+∠PBN＝100°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝100°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°；
（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°，
∴∠ABC+∠DBN＝50°，
∴∠ABC＝25°．
17．解：（1）如图1，过P作PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠PCE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°，
故答案为：110°；
（2）过点P作EF∥AB，
∵∠A＝50°，
∴∠APE＝∠A＝50°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CDP+∠EPD＝180°，
∵∠D＝150°，
∴∠EPD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠APD＝∠APE+∠EPD＝50°+30°＝80°；
（3）如图，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，
∴∠CDP＝∠DPF，∠FPA+∠PAB＝180°，
∵∠FPA＝∠DPF﹣∠APD，
∴∠DPF﹣∠APD+∠PAB＝180°，
∴∠CDP+∠PAB﹣∠APD＝180°，
故答案为：∠CDP+∠PAB﹣∠APD＝180°．
18．解：（1）如图①，根据MA1∥NA2，可得∠A1+∠A2＝180°，
故答案为：180°；
如图②，过A2作PA2∥MA1，
∵MA1∥NA3，
∴PA2∥MA1∥NA3，
∴∠A1+∠A1A2P＝180°，∠A3+∠A3A2P＝180°，
∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝360°，
故答案为：360°；
（2）如图③，过A2作PA2∥MA1，过A3作QA3∥MA1，
∵MA1∥NA3，
∴QA3∥PA2∥MA1∥NA3，
∴∠A1+∠A1A2P＝180°，∠QA3A2+∠A3A2P＝180°，∠A4+∠A4A3Q＝180°，
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°；
故答案为：540°；
（3）如图④，∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝130°，
∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠E＝230°，
∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，
∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，
∵∠BFD+∠EBF+∠EDF+∠E＝360°，
∴∠BFD＝360°﹣∠E﹣∠EBF﹣∠EDF＝360°﹣130°﹣（∠EBF+∠EDF）＝（∠ABE+∠CDE）＝360°﹣130°﹣×230°＝115°．
19．解：（1）成立，
理由：如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE．
（2）如图2，过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，∠FAD＝60°，
∴∠FAD＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，
∴∠EDC＝∠ADC＝30°，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠ABE＝∠ABC＝20°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．
（3）∠BED的度数改变．
如图3，过点E作EG∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝β°，∠ADC＝∠FAD＝α°，
∴∠ABE＝∠ABC＝β°，∠CDE＝∠ADC＝α°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠BEG＝180°﹣∠ABE＝180°﹣β°，∠CDE＝∠DEG＝α°，
∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝180°﹣β°+α°．
20．解：（1）如图：过点P作PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C＝∠EPC，
∵∠APC＝∠APE+∠EPC，
∴∠APC＝∠A+∠C，
∴∠APC﹣（∠A+∠C）＝0度，
故答案为：0；
如图：过点P作PE∥AB，
∴∠A+∠APE＝180°，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C+∠EPC＝180°，
∴∠A+∠APE+∠C+∠EPC＝360°，
∴∠APC+∠A+∠C＝360°，
∴∠APC+（∠A+∠C）＝360度，
故答案为：360；
（2）∠APC+∠A﹣∠C＝180°，
证明：过点P作PE∥CD，
∴∠C＝∠EPC，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠A+∠APE＝180°，
∴∠A+∠APC﹣∠EPC＝180°，
∴∠A+∠APC﹣∠C＝180°，
∴∠APC+∠A﹣∠C＝180°；
如图：过点P作PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C+∠EPC＝180°，
∴∠C+∠APC﹣∠APE＝180°，
∴∠C+∠APC﹣∠A＝180°，
∴∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°，
故答案为：180．
21．解：（1）如图①，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，
∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，
∵∠1＝130°，∠2＝150°，
∴∠EPM＝50°，∠MPF＝30°，
∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝50°+30°＝80°，
故答案为：80；
（2）∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2，理由如下：
如图①，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，
∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，
∴∠EPM＝180°﹣∠1，∠MPF＝180°﹣∠2，
∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝360°﹣∠1﹣∠2；
（3）如图②，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，
由（2）知，∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2，
∵PM∥AB，
∴∠1+∠EPM＝180°，
∴∠EPM＝180°﹣∠1，
∵∠EPG＝∠EPM+∠MPG＝75°，
∴∠MPG＝75°﹣∠EPM＝75°﹣（180°﹣∠1）＝∠1﹣105°，
∴∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2＝360°﹣（∠1﹣105°）﹣∠2＝465°﹣（∠1+∠2），
∵∠1+∠2＝325°，
∴∠PGF＝465°﹣325°＝140°．
22．解：（1）∠1＝∠2，
理由：如图1，
∵AB∥EF，
∴∠3＝∠2，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1＝∠2；
（2）∠1+∠2＝180°，
理由：如图2，
∵AB∥EF，
∴∠3+∠2＝180°，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1+∠2＝180°．
（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别平行，这两个角相等或互补；
（4）设另一个角为x°，根据以上结论得：
2x﹣60＝x或2x﹣60+x＝180，
解得：x＝60，或x＝80，
故答案为：60°、60°或100°，80°．
23．解：（1）∠GEF＝∠BFE+180°﹣∠CGE，证明如下：
如图1，过E作EH∥AB，
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EH，
∴∠HEF＝∠BFE，∠HEG+∠CGE＝180°，
∴∠HEF+∠HEG＝∠BFE+180°﹣∠CGE，
∴∠GEF＝∠BFE+180°﹣∠CGE；
（2）如图：
∠GPQ+∠GEF＝90°，理由是：
∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，
∴∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，
△PMF中，∠GPQ＝∠GMF﹣∠PFM＝∠CGP﹣∠BFQ，
∴∠GPQ+∠GEF＝∠CGE﹣∠BFE+∠GEF＝×180°＝90°．
故答案为：∠GPQ+∠GEF＝90°．
24．解：（1）如图1．
∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB
＝360°﹣100°﹣120°＝140°．
又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，
∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB
＝∠CBE﹣∠DAB
＝（∠CBE﹣∠DAB）
＝（180°﹣∠ABC﹣∠DAB）
＝（180°﹣140°）
＝20°．
故答案为：20；
（2）如图2．
由（1）得：∠AFB＝（180°﹣∠ABC﹣∠DAB），∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．
∴∠AFB＝（180°﹣360°+∠D+∠DCB）
＝∠D+∠DCB﹣90°
＝∠α+∠β﹣90°．
故答案为：∠α+∠β﹣90°；
（3）若AG∥BH，则α+β＝180°．
证明：如图3．
若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．
∴∠DAB＝∠CBE．
∴AD∥BC．
∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．
（4）如图4：
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM＝∠DAB，∠NBE＝∠CBE，
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
∴∠ABF＝∠NBE．
又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，
∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．
∴∠F＝∠DAB﹣∠NBE
＝∠DAB﹣∠CBE
＝（∠DAB﹣∠CBE）
＝（180°−α−β）
＝90°﹣α−β．
25．解：（1）∵MN∥AB，
∴∠ACM＝∠CAB，
∵∠ACM+∠ABC＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°；
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAB＝2∠EAB，
∵∠ECA＝2∠EAB，
∴∠CAB＝∠ECA．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ECA＝90°，∠CAB+∠CBA＝90°．
∴∠ECB＝∠ABC；
（3）α，β，γ之间的等量关系为：γ+β﹣α＝60°或γ﹣β﹣α＝60°．理由：
当点E在线段BC的左侧时，如图，
∵∠CAB＝2∠EAB，∠EAB＝20°，
∴∠CAB＝40°，∠CAE＝∠EAB＝20°．
∵MN∥AB，
∴∠MCA＝∠CAB＝40°．
∵∠ECM＝α，
∴∠ACE＝∠ECM﹣∠MCA＝α﹣40°．
∴∠CED＝∠CAE+∠ACE＝α﹣40°+20°＝α﹣20°．
∵EF平分∠CED，
∴∠CEF＝∠DEF＝∠CED＝α﹣10°．
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵∠EBC＝β，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝50°﹣β．
∵∠BEF＝γ（0°＜γ＜180°），
∴∠BED＝∠BEF﹣∠FED＝γ﹣（α﹣10°）＝γ﹣α+10°．
∵∠BED＝∠EAB+∠ABE，
∴γ﹣α+10°＝20°+50°﹣β．
∴γ+β﹣α＝60°；
当点E在线段BC的右侧时，如图，
∵∠CAB＝2∠EAB，∠EAB＝20°，
∴∠CAB＝40°，∠CAE＝∠EAB＝20°．
∵MN∥AB，
∴∠MCA＝∠CAB＝40°．
∵∠ECM＝α，
∴∠ACE＝∠ECM﹣∠MCA＝α﹣40°．
∴∠CED＝∠CAE+∠ACE＝α﹣40°+20°＝α﹣20°．
∵EF平分∠CED，
∴∠CEF＝∠DEF＝∠CED＝α﹣10°．
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵∠EBC＝β，
∴∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝50°+β．
∵∠BEF＝γ（0°＜γ＜180°），
∴∠BED＝∠BEF﹣∠FED＝γ﹣（α﹣10°）＝γ﹣α+10°．
∵∠BED＝∠EAB+∠ABE，
∴γ﹣α+10°＝20°+50°+β．
∴γ﹣β﹣α＝60°；
综上，α，β，γ之间的等量关系为：γ+β﹣α＝60°或γ﹣β﹣α＝60°．
北师大版七年级数学下册《2.3平行线的性质》
解答题能力提升训练（附答案）
1．填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
如图，已知：CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF，那么EF平分∠DEB吗？
解：∵CD平分∠ACB（已知），
∴ （ ）．
∵AC∥DE（已知），
∴∠1＝∠ ，
∴∠2＝∠3（等量代换）．
∵ （已知），
∴∠3＝∠4（ ）
∠2＝∠5（ ）
∴ （等量代换），
∴EF平分∠DEB．
2．如图，AB∥DG，AD∥EF，DG平分∠ADC，若∠B＝40°，求∠AEF的度数．下面是小明同学的解答过程，请在括号内填上恰当的依据．
解：AB∥DG，∠B＝40°，
∴∠CDG＝∠B＝40°，（ ）
∠BAD＝∠ADG，（ ）
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADG＝∠CDG，（ ）
∴∠BAD＝∠ADG＝∠CDG＝40°，（ ）
∵AD∥EF，
∴∠BAD+∠AEF＝180°，（ ）
.∴∠AEF＝180°﹣∠BAD＝180°﹣40°＝140°．
3．如图，已知∠A＝∠C，EF∥DB．说明∠AEF＝∠D的理由．
解：∵∠A＝∠C（已知），
∴① ∥ （ ）．
∴∠D＝∠B（② ）．
∵EF∥DB（③ ）．
∴∠AEF＝∠B（④ ）．
∵∠D＝∠B（已证），
∴∠AEF＝∠D（⑤ ）．
4．如图，△ABC中，D为AC边上一点，过D作DE∥AB，交BC于E；F为AB边上一点，连接DF并延长，交CB的延长线于G，且∠DFA＝∠A．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）若∠C＝80°，∠ABC＝60°，求∠G的度数．
5．如图，已知AB∥CD，∠ABD的平分线BF和∠BDC的平分线DE交于点E，BF交CD于点F．
（1）求∠1+∠2的度数；
（2）若∠2＝35°，求∠3的度数．
6．如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．
7．如图，∠DAC+∠ACB＝180°，AD∥EF，CE平分∠BCF，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
8．如图，已知AB∥CD，点M是直线AB，CD内部一点，连接MB，MD．
（1）探究：①若∠B＝25°，∠D＝40°，则∠BMD＝ °；
②若∠B＝α，∠D＝β，则∠BMD＝ ；
（2）猜想：图中∠B，∠D与∠BMD之间的数量关系，并说明理由．
9．如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）求证：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图2，若∠ABG＝50°，∠BCD的平分线交AD于点E、交射线GA于点F．求∠AFC的度数．
10．（1）如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数．
（2）如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．
11．如图，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P
（1）若∠AEF＝66°，求∠PEF的度数；
（2）若直线AB∥CD，求∠P的度数．
12．如图，AB和CD交于点O，EF∥AB，∠C＝∠D．
（1）求证：∠A＝∠F；
（2）若∠A＝70°，∠C＝∠COA，求∠D的度数．
13．如图，是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．
（1）已知BC∥AD，BE∥AF，求证：∠A＝∠B；
（2）若∠DOB＝135°，求∠A的度数．
14．如图，FG、ED分别交BC于点M、N．∠ENC+∠CMG＝180°，AB∥CD．
（1）∠2＝∠3吗？为什么？
（2）若∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，求∠B的度数．
15．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是 ；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，MN与CD交于点O，且∠DON＝20°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．
16．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．（推理时不需要写出每一步的理由）
（1）求∠CBD的度数．
（2）当点P运动时，那么∠APB与∠ADB的大小关系是否发生变化？若不变，请找出它们的关系并说明理由；若变化，请找出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
17．综合与实践
（1）问题情境：图1中，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．按小明的思路，易求得∠APC的度数为 ；（直接写出答案）
（2）问题迁移：图2中，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．若∠A＝50°，∠D＝150°，试求∠APD的度数；
（3）问题拓展：图3中，直线AB∥CD，则∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
18．（1）如图①，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝ ；
如图②，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝ ，请你说明理由；
（2）如图③，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝ ；
（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝130°，求∠BFD的度数．
19．小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决下．
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；
（3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠FAD＝α°，∠ABC＝β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．
20．问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．
（1）端点A、C同向：
如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝ 度；
如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝ 度；
（2）端点A、C反向：
如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；
如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝ 度．
21． 问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，试猜想∠P＝ °；
探究：（2）在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
拓展：（3）将图①变为图②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度数．
22．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论．
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2有何关系？说明理由；
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2有何关系？说明理由；
（3）由（1）（2）你能得出的结论是：如果 ，那么 ；
（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少60°，则这两个角度数的分别是 ．
23．已知点F、G分别在直线AB、CD上，且知AB∥CD．
（1）如图1，请用等式表示∠GEF、∠BFE、∠CGE之间的数量关系并给出证明；
（2）如图2，∠BFE的平分线FQ所在的直线与∠CGE的平分线相交于点P，探究∠GPQ与∠GEF之间的数量关系，请直接写出你的结论： ．
24．【探究】（1）如图1，∠ADC＝100°，∠BCD＝120°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ °；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ ；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
（4）如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
25．如图1，过直线AB外一点C作MN∥AB，连接AC，BC，∠ACM+∠ABC＝90°，∠BAC的平分线AD与MN交于点D，点E是线段AD上一动点（不与A，D重合），连接EC．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若∠ECA＝2∠EAB，求证：∠ECB＝∠ABC；
（3）如图2，∠CED的平分线EF与MN交于点F，连接EB，若∠EAB＝20°，∠ECM＝α，∠EBC＝β，∠BEF＝γ（0°＜γ＜180°），请直接写出α，β，γ之间的等量关系．
参考答案
1．解：∵CD平分∠ACB（已知），
∴∠1＝∠2（角平分线的定义），
∵AC∥DE（已知），
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3（等量代换），
∵CD∥EF（已知），
∴∠4＝∠3（两直线平行，内错角相等），∠2＝∠5（两直线平行，同位角相等），
∴∠4＝∠5（等量代换）．
故答案为：∠1＝∠2，角平分线的定义；3；CD∥EF；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠4＝∠5．
2．解：AB∥DG，∠B＝40°，
∴∠CDG＝∠B＝40°（两直线平行，同位角相等），
∠BAD＝∠ADG（两直线平行，内错角相等），
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADG＝∠CDG（角平分线的定义），
∴∠BAD＝∠ADG＝∠CDG＝40°（等量代换），
∵AD∥EF，
∴∠BAD+∠AEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
.∴∠AEF＝180°﹣∠BAD＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；等量代换；两直线平行，同旁内角互补．
3．解：∵∠A＝∠C（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠D＝∠B（两直线平行，内错角相等）．
∵EF∥DB（已知），
∴∠AEF＝∠B（两直线平行，同位角相等）．
∵∠D＝∠B（已证），
∴∠AEF＝∠D（等量代换）．
故答案为：AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；两直线平行，同位角相等；等量代换．
4．（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠A＝∠CDE，∠DFA＝∠FDE，
∵∠DFA＝∠A，
∴∠CDE＝∠FDE，
∴DE平分∠CDF；
（2）∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，∠C＝80°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵∠DFA＝∠A，
∴∠GFB＝∠DFA＝40°，
∵∠G+∠GFB＝∠ABC，
∴∠G＝∠ABC﹣∠GFB＝60°﹣40°＝20°．
5．解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∵BF平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，
又∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
即2∠1+2∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝90°；
（2）∵∠1+∠2＝90°，∠2＝35°，
∴∠1＝90°﹣35°＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣35°＝125°．
6．证明：∵AD∥BE，
∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∴∠CGF＝∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD，
∴∠CGF＝∠BAD，
∵CF平分∠DCE，
∴∠FCG＝∠DCE，
∴∠FCG＝∠B，
∴∠CGF+∠FCG＝（∠BAD+∠B）＝×180°＝90°，
∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，
∴CF⊥AE．
7．解：∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE＝∠ECF，
设∠BCE＝∠ECF＝x，则∠BCF＝2x，
∵∠DAC＝3∠BCF，
∴∠DAC＝6x，
∵∠DAC+∠ACB＝180°，
∴6x+x+x+20°＝180°，∠ACF＝20°，
解得x＝20°，
即∠BCE＝20°，
∵AD∥EF，
∴∠FEC＝∠BCE＝20°．
8．解：（1）如图，过M点作MN∥AB，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠BMN＝∠B，∠DMN＝∠D，
∴∠BMD＝∠BMN+∠DMN＝∠B+∠D＝25°+40°＝65°，
故答案为：65．
（2）同理，∠B＝α，∠D＝β，
∴∠BMD＝∠B+∠D＝α+β，
故答案为：α+β．
（3）同理，∠BMD＝∠B+∠D．
9．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD，
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）解：∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠GCF＝45°，
∵∠ABC＝50°，AD∥BC，
∴∠DAB＝180°﹣50°＝130°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD＝65°，
∵∠GAD＝∠AFC+∠AEF，
∴∠AFC＝65°﹣45°＝20°．
10．解：（1）过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠CEF＝∠C＝30°，∠BEF＝180°﹣∠B＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BEC＝∠BEF+∠CEF＝80°；
（2）∠BEC＝180°﹣∠B+∠C，理由如下：
如上图，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠CEF＝∠C，∠BEF＝180°﹣∠B，
∴∠BEC＝∠BEF+∠CEF＝180°﹣∠B+∠C．
11．解：（1）∵∠AEF＝66°，
∴∠BEF＝180°﹣∠AEF＝114°，
∵EP平分∠BEF，
∴∠PEF＝∠BEF＝57°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，
∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE，
∴∠PEF+∠PFE＝（∠BEF+∠DFE）＝90°，
∴∠P＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝90°．
12．（1）证明：∵∠C＝∠D（已知），
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）．
∴∠A＝∠ABD（两直线平行，内错角相等）．
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠ABD（两直线平行，同位角相等），
∴∠A＝∠F；
（2）解：∵∠A+∠C+∠COA＝180°，∠A＝70°，
∴∠C+∠COA＝110°．
∵∠C＝∠COA，
∴∠C＝55°．
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝55°．
13．（1）证明：∵BC∥AD，
∴∠B＝∠DOE，
又∵BE∥AF，
∴∠DOE＝∠A，
∴∠A＝∠B．
（2）解：∵BE∥AF，
∴∠EOA+∠A＝180°，
∵∠EOA＝∠DOB＝135°，
∴∠A＝180°﹣∠EOA＝180°﹣135°＝45°．
14．解：（1）∠2＝∠3，理由如下：
∵∠ENC+∠CMG＝180°，∠CMG＝∠FMN，
∴∠ENC+∠FMN＝180°，
∴FG∥ED，
∴∠2＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠D，
∴∠2＝∠3；
（2）∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，
∵∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，
∴（∠1+70°）+（∠1+42°）＝180°，
∴∠1＝34°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1＝34°．
15．解：（1）如图①，过点P作PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PH∥AB∥CD，
∴∠PFD＝∠FPH，∠AEM＝∠HPM，
∵∠MPN＝∠FPH+∠HPM＝90°，
∴∠PFD+∠AEM＝90°；
故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；
（2）证明：如图②，
∵AB∥CD，
∴∠PFD＝∠PHB，
∵∠PHB﹣∠PEB＝∠P＝90°，∠PEB＝∠AEM，
∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）解：由（2）得，∠PFD＝90°+∠AEM＝90°+∠PEB＝120°，
∴∠N＝180°﹣∠DON﹣∠OFN＝180°﹣∠DON﹣∠PFD＝180°﹣20°﹣120°＝40°，
故答案为：∠N＝40°．
16．解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ABP+∠PBN＝100°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝100°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°；
（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°，
∴∠ABC+∠DBN＝50°，
∴∠ABC＝25°．
17．解：（1）如图1，过P作PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠PCE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°，
故答案为：110°；
（2）过点P作EF∥AB，
∵∠A＝50°，
∴∠APE＝∠A＝50°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CDP+∠EPD＝180°，
∵∠D＝150°，
∴∠EPD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠APD＝∠APE+∠EPD＝50°+30°＝80°；
（3）如图，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，
∴∠CDP＝∠DPF，∠FPA+∠PAB＝180°，
∵∠FPA＝∠DPF﹣∠APD，
∴∠DPF﹣∠APD+∠PAB＝180°，
∴∠CDP+∠PAB﹣∠APD＝180°，
故答案为：∠CDP+∠PAB﹣∠APD＝180°．
18．解：（1）如图①，根据MA1∥NA2，可得∠A1+∠A2＝180°，
故答案为：180°；
如图②，过A2作PA2∥MA1，
∵MA1∥NA3，
∴PA2∥MA1∥NA3，
∴∠A1+∠A1A2P＝180°，∠A3+∠A3A2P＝180°，
∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝360°，
故答案为：360°；
（2）如图③，过A2作PA2∥MA1，过A3作QA3∥MA1，
∵MA1∥NA3，
∴QA3∥PA2∥MA1∥NA3，
∴∠A1+∠A1A2P＝180°，∠QA3A2+∠A3A2P＝180°，∠A4+∠A4A3Q＝180°，
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°；
故答案为：540°；
（3）如图④，∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝130°，
∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠E＝230°，
∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，
∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，
∵∠BFD+∠EBF+∠EDF+∠E＝360°，
∴∠BFD＝360°﹣∠E﹣∠EBF﹣∠EDF＝360°﹣130°﹣（∠EBF+∠EDF）＝（∠ABE+∠CDE）＝360°﹣130°﹣×230°＝115°．
19．解：（1）成立，
理由：如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE．
（2）如图2，过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，∠FAD＝60°，
∴∠FAD＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，
∴∠EDC＝∠ADC＝30°，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠ABE＝∠ABC＝20°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．
（3）∠BED的度数改变．
如图3，过点E作EG∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝β°，∠ADC＝∠FAD＝α°，
∴∠ABE＝∠ABC＝β°，∠CDE＝∠ADC＝α°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠BEG＝180°﹣∠ABE＝180°﹣β°，∠CDE＝∠DEG＝α°，
∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝180°﹣β°+α°．
20．解：（1）如图：过点P作PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C＝∠EPC，
∵∠APC＝∠APE+∠EPC，
∴∠APC＝∠A+∠C，
∴∠APC﹣（∠A+∠C）＝0度，
故答案为：0；
如图：过点P作PE∥AB，
∴∠A+∠APE＝180°，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C+∠EPC＝180°，
∴∠A+∠APE+∠C+∠EPC＝360°，
∴∠APC+∠A+∠C＝360°，
∴∠APC+（∠A+∠C）＝360度，
故答案为：360；
（2）∠APC+∠A﹣∠C＝180°，
证明：过点P作PE∥CD，
∴∠C＝∠EPC，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠A+∠APE＝180°，
∴∠A+∠APC﹣∠EPC＝180°，
∴∠A+∠APC﹣∠C＝180°，
∴∠APC+∠A﹣∠C＝180°；
如图：过点P作PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C+∠EPC＝180°，
∴∠C+∠APC﹣∠APE＝180°，
∴∠C+∠APC﹣∠A＝180°，
∴∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°，
故答案为：180．
21．解：（1）如图①，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，
∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，
∵∠1＝130°，∠2＝150°，
∴∠EPM＝50°，∠MPF＝30°，
∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝50°+30°＝80°，
故答案为：80；
（2）∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2，理由如下：
如图①，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，
∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，
∴∠EPM＝180°﹣∠1，∠MPF＝180°﹣∠2，
∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝360°﹣∠1﹣∠2；
（3）如图②，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，
由（2）知，∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2，
∵PM∥AB，
∴∠1+∠EPM＝180°，
∴∠EPM＝180°﹣∠1，
∵∠EPG＝∠EPM+∠MPG＝75°，
∴∠MPG＝75°﹣∠EPM＝75°﹣（180°﹣∠1）＝∠1﹣105°，
∴∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2＝360°﹣（∠1﹣105°）﹣∠2＝465°﹣（∠1+∠2），
∵∠1+∠2＝325°，
∴∠PGF＝465°﹣325°＝140°．
22．解：（1）∠1＝∠2，
理由：如图1，
∵AB∥EF，
∴∠3＝∠2，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1＝∠2；
（2）∠1+∠2＝180°，
理由：如图2，
∵AB∥EF，
∴∠3+∠2＝180°，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1+∠2＝180°．
（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别平行，这两个角相等或互补；
（4）设另一个角为x°，根据以上结论得：
2x﹣60＝x或2x﹣60+x＝180，
解得：x＝60，或x＝80，
故答案为：60°、60°或100°，80°．
23．解：（1）∠GEF＝∠BFE+180°﹣∠CGE，证明如下：
如图1，过E作EH∥AB，
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EH，
∴∠HEF＝∠BFE，∠HEG+∠CGE＝180°，
∴∠HEF+∠HEG＝∠BFE+180°﹣∠CGE，
∴∠GEF＝∠BFE+180°﹣∠CGE；
（2）如图：
∠GPQ+∠GEF＝90°，理由是：
∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，
∴∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，
△PMF中，∠GPQ＝∠GMF﹣∠PFM＝∠CGP﹣∠BFQ，
∴∠GPQ+∠GEF＝∠CGE﹣∠BFE+∠GEF＝×180°＝90°．
故答案为：∠GPQ+∠GEF＝90°．
24．解：（1）如图1．
∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB
＝360°﹣100°﹣120°＝140°．
又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，
∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB
＝∠CBE﹣∠DAB
＝（∠CBE﹣∠DAB）
＝（180°﹣∠ABC﹣∠DAB）
＝（180°﹣140°）
＝20°．
故答案为：20；
（2）如图2．
由（1）得：∠AFB＝（180°﹣∠ABC﹣∠DAB），∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．
∴∠AFB＝（180°﹣360°+∠D+∠DCB）
＝∠D+∠DCB﹣90°
＝∠α+∠β﹣90°．
故答案为：∠α+∠β﹣90°；
（3）若AG∥BH，则α+β＝180°．
证明：如图3．
若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．
∴∠DAB＝∠CBE．
∴AD∥BC．
∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．
（4）如图4：
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM＝∠DAB，∠NBE＝∠CBE，
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
∴∠ABF＝∠NBE．
又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，
∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．
∴∠F＝∠DAB﹣∠NBE
＝∠DAB﹣∠CBE
＝（∠DAB﹣∠CBE）
＝（180°−α−β）
＝90°﹣α−β．
25．解：（1）∵MN∥AB，
∴∠ACM＝∠CAB，
∵∠ACM+∠ABC＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°；
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAB＝2∠EAB，
∵∠ECA＝2∠EAB，
∴∠CAB＝∠ECA．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ECA＝90°，∠CAB+∠CBA＝90°．
∴∠ECB＝∠ABC；
（3）α，β，γ之间的等量关系为：γ+β﹣α＝60°或γ﹣β﹣α＝60°．理由：
当点E在线段BC的左侧时，如图，
∵∠CAB＝2∠EAB，∠EAB＝20°，
∴∠CAB＝40°，∠CAE＝∠EAB＝20°．
∵MN∥AB，
∴∠MCA＝∠CAB＝40°．
∵∠ECM＝α，
∴∠ACE＝∠ECM﹣∠MCA＝α﹣40°．
∴∠CED＝∠CAE+∠ACE＝α﹣40°+20°＝α﹣20°．
∵EF平分∠CED，
∴∠CEF＝∠DEF＝∠CED＝α﹣10°．
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵∠EBC＝β，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝50°﹣β．
∵∠BEF＝γ（0°＜γ＜180°），
∴∠BED＝∠BEF﹣∠FED＝γ﹣（α﹣10°）＝γ﹣α+10°．
∵∠BED＝∠EAB+∠ABE，
∴γ﹣α+10°＝20°+50°﹣β．
∴γ+β﹣α＝60°；
当点E在线段BC的右侧时，如图，
∵∠CAB＝2∠EAB，∠EAB＝20°，
∴∠CAB＝40°，∠CAE＝∠EAB＝20°．
∵MN∥AB，
∴∠MCA＝∠CAB＝40°．
∵∠ECM＝α，
∴∠ACE＝∠ECM﹣∠MCA＝α﹣40°．
∴∠CED＝∠CAE+∠ACE＝α﹣40°+20°＝α﹣20°．
∵EF平分∠CED，
∴∠CEF＝∠DEF＝∠CED＝α﹣10°．
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵∠EBC＝β，
∴∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝50°+β．
∵∠BEF＝γ（0°＜γ＜180°），
∴∠BED＝∠BEF﹣∠FED＝γ﹣（α﹣10°）＝γ﹣α+10°．
∵∠BED＝∠EAB+∠ABE，
∴γ﹣α+10°＝20°+50°+β．
∴γ﹣β﹣α＝60°；
综上，α，β，γ之间的等量关系为：γ+β﹣α＝60°或γ﹣β﹣α＝60°．
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