高中数学3.2 对数单元测试精练

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第4章 幂函数、指数函数与对数函数（A卷·知识通关练）核心知识1 幂函数的定义与图像 1．（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）幂函数的定义域为______;【答案】【详解】由根式的性质知：，所以函数定义域为.故答案为：2．（2022·上海市延安中学高一期末）幂函数的图像在第___________象限.【答案】一、二【详解】由解析式知：定义域为，且值域，∴函数图像在一、二象限.故答案为：一、二.3．（2022·上海闵行·高一期末）若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为___________.【答案】##【详解】由题设，，可得，∴幂函数表达式为.故答案为：.4．（2021·上海市控江中学高一期中）已知为常数，函数为幂函数，则的值为______;【答案】或1【详解】解：因为函数为幂函数，则，即，解得或.故答案为：或1.5．（2022·上海交大附中高二期末）幂函数的图象与轴没有交点，则___________.【答案】0【详解】根据幂函数的定义得，解得或；当时，，图象与轴有交点，不满足题意；当时，，图象与轴没有交点，满足题意；综上，，故答案为：6．（2020·上海市晋元高级中学高一期中）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（       ）A． B．C． D．【答案】A【详解】设幂函数为，因为该幂函数图象经过点，所以，即，解得，则函数的定义域为，所以排除CD，因为，所以在上为减函数，所以排除B，故选：A7．（2021·上海·高一单元测试）如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（       ）A． B．C． D．【答案】A【详解】当时，幂函数在上单调递减，当时，幂函数在上单调递增，可知曲线、对应的值为正数，曲线、对应的值为负数，当时，幂函数在上的增长速度越来越快，可知曲线对应的值为，当时，幂函数在上的增长速度越来越慢，可知曲线对应的值为，令，分别代入，，得到，，因为，可知曲线、对应的值分别为、.故选：A.8．（2022·上海交大附中高一期末）幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点，连接，线段恰好被其中的两个幂函数的图像三等分，即有．那么_______．【答案】1【分析】求出的坐标，不妨设，，分别过，，分别代入点的坐标，变形可解得结果.【详解】因为，，，所以，，不妨设，，分别过，，则，，则，所以．故答案为：1 核心知识2．幂函数的性质9．（2021·上海市第二中学高一期中）已知，若函数在上随增大而减小，且图像关于轴对称，则_______【答案】【解析】【分析】利用幂函数的单调性、奇偶性与参数之间的关系可得出的值.【详解】若函数在上递减，则.当时，函数为偶函数，合乎题意；当时，函数为奇函数，不合乎题意.综上所述，.故答案为：.10．（2022·上海中学高一期末）已知函数的最大值与最小值之差为，则______．【答案】或.【解析】【分析】根据幂函数的性质，结合题意，分类讨论，利用单调性列出方程，即可求解.【详解】由题意，函数，当时，函数在上为单调递增函数，可得，解得；当时，显然不成立；当时，函数在上为单调递减函数，可得，解得，综上可得，或.故答案为：或.11．（2021·上海奉贤区致远高级中学高一期中）若，则实数的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】分析幂函数的定义域、奇偶性与单调性，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，，函数为奇函数，由幂函数的基本性质可知，函数在上为减函数，在上也为减函数，且当时，，当时，.由可得或或，解得或.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.12．（2021·上海·上外浦东附中高一期末）已知幂函数的图像关于轴对称，与轴及轴均无交点，则由的值构成的集合是__________．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的性质列不等式，直接求解即可.【详解】由幂函数与轴及轴均无交点，得，解得，又，即，的图像关于轴对称，即函数为偶函数，故为偶数，所以，故答案为：. 核心知识3．指数函数定义与图像13．（2021·上海·高一专题练习）幂的基本不等式是：当，时，________1恒成立【答案】【解析】根据函数的性质，直接判断符号.【详解】根据指数函数的性质可知当时，.故答案为：14．（2021·上海市建平中学高一期中）函数恒过定点___________．【答案】【分析】利用指数型函数的特征，求解函数恒过的定点坐标.【详解】当，即时，，所以恒过定点.故答案为：15．（2021·上海·高一专题练习）函数的图像恒过定点______.【答案】【解析】根据，结合条件，即可求得答案.【详解】 ，令，得，， 函数的图象恒过定点，故答案为：.16．（2021·上海·高一期中）指数函数的图像经过点，则该指数函数的表达式为______．【答案】【分析】根据指数函数图象过点，代入解得的值．【详解】解：指数函数且的图象经过点，所以，解得，所以该指数函数的表达式为．故答案为：．17．（2021·上海上海·高一期末）已知，则函数的图像必定不经过（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.【详解】因为，故的图象经过第一象限和第二象限，且当越来越大时，图象与轴无限接近.因为，故的图象向下平移超过一个单位，故的图象不过第一象限.故选：A．18．（2021·上海交大附中高一期中）在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（   ）A． B．C． D．【答案】B【分析】判断b的范围，结合二次函数的开口方向，判断函数的图象即可．【详解】解：函数的是指数函数，且，排除选项C，如果，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：，所以B正确；对称轴在x轴左侧，C不正确；如果，二次函数有一个零点，所以D不正确．故选：B．19．（2020·上海·高一专题练习）如图所示：曲线，，和分别是指数函数，, 和 的图象,则a，b，c，d 与1的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据指数函数的单调性，确定a，b，c，d与1的关系，再由时，函数值的大小判断.【详解】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数，当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数，所以c，d大于1，a，b小于1，由图知： ，即， ，即 ，所以，故选：D 核心知识4．指数函数的性质 20．（2022·上海杨浦·高一期末）不等式的解集是_____________.【答案】【分析】化为同底数幂，然后利用指数函数的单调性求解【详解】由，得，所以，解得，所以不等式的解集为，故答案为： 21．（2021·上海市控江中学高一期中）关于的不等式的解集为______;【答案】【分析】首先将不等式转化为，从而得到，再解指数不等式即可.【详解】由题知：，整理得：，即，解得，即.故答案为：22．（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）指数函数在区间[0,4]上的最大值与最小值之和为17，则______;【答案】2【分析】利用指数函数的单调性有，即可求参数值.【详解】由在[0,4]上单调，则，所以.故答案为：2 23．（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）已知函数是指数函数.(1)该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；(2)解关于的不等式：.【答案】(1)(2) 【分析】（1）把代入见解析，结合指数函数的定义可得答案；（2）利用指数函数的单调性解不等式可得答案.（1）因为指数函数的图象经过点，所以，解得，所以；（2）因为是单调递减函数，由得，解得，所以不等式的解集为. 核心知识5．对数函数的定义与图像24．（2021·上海·高一专题练习）给出下列函数：①；②；③；④.其中是对数函数的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据对数函数的特征判断即可得答案.【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．故选:A.25．（2021·上海市通河中学高一阶段练习）函数的定义域为________．【答案】【分析】根据函数特征得到不等式组，求出定义域.【详解】由题意得：，解得：且，故函数的定义域为故答案为：26．（2022·上海长宁·高一期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可．【详解】．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾， ．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾， ．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致，．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，故选：．27．（2020·上海奉贤区致远高级中学高一阶段练习）若对数函数且）的图象经过点，则实数______.【答案】2【分析】直接将点代入计算即可.【详解】将点代入得，解得故答案为：2.28．（2021·上海金山·高一期末）对于任意不等于1的正数，函数的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是_______.【答案】【分析】根据求得正确结论.【详解】依题意，当，即时，，所以定点为.故答案为： 核心知识6．对数函数的性质29．（2021·上海市建平中学高一期中）方程的解为___________．【答案】##【分析】利用对数的运算性质有，进而求解即可.【详解】由且，则，故.故答案为：30．（2022·上海市延安中学高一期末）不等式的解集为___________.【答案】【分析】根据对数函数的单调性解不等式即可.【详解】由题设，可得：，则，∴不等式解集为.故答案为：.31．（2022·上海交大附中高二期末）函数的定义域为___________.【答案】【分析】根据函数定义域的求法，即可求解.【详解】解：,解得,故函数的定义域为:.故答案为：. 32．（2021·上海交大附中高一期中）已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．【答案】【分析】问题转化为ax＞对于任意实数x恒成立，然后对x分类，再由配方法求最值，即可求得实数a的取值范围．【详解】解：∵函数的定义域是R，∴+ax＞0对于任意实数x恒成立，即ax＞对于任意实数x恒成立，当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立；当x＞0时，则a＞＝，∵x＞0，∴，则≥，则≤，可得a＞；当x＜0时，则a＜，∵x＜0，∴，则＞1，则＞1，可得a≤1．综上可得，实数a的取值范围是．故答案为：．