数学必修 第一册3.2 对数单元测试当堂检测题

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第4章                幂函数、指数函数与对数函数（B卷·能力提升练）

（时间：120分钟，满分：150分）

一、填空题(共54分)

1．(本题4分)（2022·上海虹口·高一期末）不等式的解集为______．

【答案】

【分析】根据给定不等式利用指数函数单调性求解即可作答.

【详解】依题意，不等式化为：，而函数在R上单调递增，解得，

所以不等式的解集为.

故答案为：

2．(本题4分)（2022·上海市第三女子中学高一期末）已知实数且，不论取何值，函数的图像恒过一个定点，这个定点的坐标为______．

【答案】

【分析】根据指数函数过定点问题求解.

【详解】令，

得 ，此时 ，

所以函数的图像恒过的定点坐标为，

故答案为：

3．(本题4分)（2020·上海市建平中学高一期中）若代数式有意义，则其中实数的取值范围是________

【答案】

【分析】根据题意得到，解得答案.

【详解】代数式有意义，则，解得.

故答案为：.

4．(本题4分)（2021·上海市大同中学高一期中）已知幂函数过原点，则实数的值为 __．

【答案】﹣2

【分析】由幂函数的定义及性质即可得解.

【详解】因为函数为幂函数，

所以，解得或，

当时，函数的图象过原点，符合题意；

当时，函数的图象不经过原点，不符合题意；

故.

故答案为：-2.

5．(本题4分)（2020·上海市市西中学高一期中）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是__________（请填入全部正确的序号）

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）

【答案】（2）（5）

【解析】利用函数奇偶性的定义判断出（1）（2）（3）（4）（5）中各函数的奇偶性，利用幂函数的基本性质判断出各函数在区间上的单调性，由此可得出结果.

【详解】（1）函数的定义域为，函数为非奇非偶函数，

且该函数在区间上是严格增函数；

（2）令，该函数定义域为，

，函数为奇函数，

且该函数在区间上是严格增函数；

（3）令，该函数的定义域为，

，函数为偶函数，

且该函数在区间上是严格增函数；

（4）令，该函数的定义域为，

，函数为奇函数，

且该函数在区间上是严格减函数；

（5）令，该函数的定义域为，

，函数为奇函数，

且该函数在区间上是严格增函数.

故答案为：（2）（5）.

6．(本题4分)（2021·上海市控江中学高一期末）已知幂函数的图像不经过原点，则实数_________.

【答案】

【分析】先由幂函数的定义求出，再检验得解.

【详解】依题意得，解得．

此时，其图像不经过原点，符合题意，

因此实数m的值为2．

故答案为:

7．(本题5分)（2021·上海·位育中学高一期末）不等式的解集为________

【答案】

【解析】构造函数，，利用和函数单调性，即得不等式的解集.

【详解】构造函数，，则，故不等式即.

由指数函数和对数函数的单调性可知，函数在上单调递增，故不等式即得，故不等式的解集为.

故答案为：（0，1）.

8．(本题5分)（2021·上海浦东新·高一期中）若，则_________.

【答案】##或

【分析】根据有理数指数幂与根式的关系有，再求出，进而可得的值.

【详解】由，则，可得.

故答案为：

9．(本题5分)（2021·上海师大附中高一期中）函数在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则实数的值是_____

【答案】或

【分析】根据指数函数的单调性分类讨论，列方程求解a.

【详解】若，则函数在区间[1,2]上单调递减，

根据题意有，解得或0（舍去），所以；

若，则函数在区间[1,2]上单调递增，

根据题意有，解得或0（舍去），所以.

综上所述，或.

故答案为：或

10．(本题5分)（2022·上海浦东新·高一期末）函数的定义域为_____________．

【答案】

【分析】要使函数有意义，则有，解出即可.

【详解】要使函数有意义，则有，即，解得

故答案为：

11．(本题5分)（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知幂函数的图像经过点，则该函数的表达式为______．

【答案】

【分析】设出幂函数的表达式，利用函数图象经过的点列式计算作答.

【详解】设幂函数的表达式为，依题意，，即，亦即，

而函数在R上单调递增，因此有，解得，

所以函数的表达式为.

故答案为：

12．(本题5分)（2022·上海中学高一期末）若定义域为的函数满足：对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，也能构成三角形三边长，则m的最大值为______．（是自然对数的底）

【答案】##

【分析】不妨设三边的大小关系为：，利用函数的单调性，得出，，的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出的最大值即可.

【详解】在上严格增，所以 ，不妨设，

因为对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，

也能构成三角形三边长，所以，

因为，所以，

因为对任意都成立，所以，所以，所以，

所以，所以m的最大值为．

故答案为：.

二、单选题(共20分)

13．(本题5分)（2021·上海·位育中学高一期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可.

【详解】当时，幂函数在第一象限内单调递减，

当时，幂函数在第一象限内单调递增，

所以，

当时，幂函数在第一象限内单调递增，

所以，

所以相应曲线的依次为.

故选：A

14．(本题5分)（2021·上海·曹杨二中高三期中）设，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】由指数函数单调性可得，探讨与的关系，结合充分必要条件的定义即可判断作答.

【详解】因函数在R上单调递增，则由得，即，

当时，不一定有，如：，不成立，

当时，也不一定有，如，即，不成立，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件

故选：D

15．(本题5分)（2021·上海市七宝中学高三期中）若正实数，，满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由对数函数与指数函数的性质先得出的大小与范围，再确定各选项的对错．

【详解】.因为，即，

则，，

则，，则，所以，，，A，B，C项错误；，，，D项正确.

故选：D．

16．(本题5分)（2021·上海交大附中高一期中）已知a、，有以下3个命题：①若，则；②若，则；③若，则．其中真命题的个数是（    ）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

【答案】C

【分析】取值验证判断命题①、③；利用对数函数性质分析判断命题②作答.

【详解】当时，取，则，即命题①不正确；

当时，函数，在都是减函数，

于是得，即命题②正确；

当时，取，则，，即不成立，命题③不正确，

所以真命题个数是1.

故选：C

三、解答题(共76分)

17．(本题12分)（2020·上海·华东师范大学第三附属中学高一期中）若幂函数的定义域为．

（1）求实数的值；

（2）作出此幂函数的大致图象．

【答案】（1）； （2）图象见解析.

【解析】（1）根据幂函数的定义，得到，求得或，再根据幂函数的性质，即可求得实数的值；

（2）由（1）知，函数，根据函数的奇偶性和幂函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由题意，幂函数的定义域为，

可得，即，解得或，

当时，函数，此时函数的定义域为且，不符合题意；

当时，函数，此时函数的定义域为，符合题意，

所以实数的值.

（2）由（1）知，幂函数的解析式为，

则满足，所以函数为偶函数，

结合幂函数的图象与性质，可得函数图象如图所示：

18．(本题14分)（2021·上海市大同中学高一期中）已知幂函数经过点．

(1)求此幂函数的表达式和定义域；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)，定义域为；

(2).

【分析】（1）设，由，求出的值，可得出函数的解析式，进一步可求得该函数的定义域；

（2）分析可知函数是定义在上的减函数，根据所求不等式可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

(1)

解：设，则，可得，解得，

所以，，

由可得，所以，函数的定义域为.

(2)

解：由幂函数的性质可知，函数的定义域为，且在定义域上为减函数，

由可得，可得.

19．(本题16分)（2021·上海宝山·高二期末）设函数（且）的图像经过点.

（1）解关于x的方程；

（2）不等式的解集是，试求实数a的值.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】(1)根据给定条件求出m值，并代入方程，再解方程即得.

(2)由给定解集借助对数函数单调性求出范围，换元借助一元二次不等式即可得解.

【详解】（1）由已知得，即，则，于是得，

方程，

从而得或，即或，或，

所以原方程的根为或；

（2）依题意，函数中，，从而得.

又，令，

即一元二次不等式的解集为，

因此有-1，2是关于的方程的两根，则，

所以实数a的值为2.

20．(本题16分)（2022·上海市第三女子中学高一期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．

(1)求的值；

(2)求满足不等式的实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用幂函数在区间上是严格增函数得到，再验证其图象关于轴对称进行求值；

（2）利用（1）中函数的奇偶性和单调性进行求解.

（1）

解：因为幂函数在区间上是严格增函数，

所以，解得，

又因为，所以或或，

当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）；

当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意；

综上所述，.

（2）

解：由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数，

则由得，

即，即，解得，

所以满足的实数的取值范围为.

21．(本题18分)（2021·上海市高桥中学高三期中）对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”．

（1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由；

（2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围；

（3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）不是；（2）；（3）．

【分析】（1）先假设为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；

（2）先根据幂函数确定出的解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围；

（3）将问题转化为“在上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出的取值范围.

【详解】（1）假设为“伪奇函数”，存在满足，

有解，化为，无解，

不是“伪奇函数”；

（2）为幂函数，，，

，

为定义在的“伪奇函数”，

在上有解，

在上有解，

令，在上有解，

又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，

且时，，时，，

，的值域为，

，；

（3）设存在满足，即在上有解，

在上有解，

在上有解，

令，取等号时，

在上有解，

在上有解（*），

，解得，

记，且对称轴，

当时，在上递增，

若（*）有解，则，，

当时，在上递减，在上递增，

若（*）有解，则，即，此式恒成立，，

综上可知，.