第6章 三角（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（沪教版2020必修第二册）

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班级              姓名             学号             分数           第6章 三角（B卷·能力提升练）（时间：120分钟，满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）已知扇形OAB的圆心角为6rad，其面积是，则该扇形的周长是___________cm. 【答案】【分析】根据扇形面积公式求出半径，进而得到弧长和周长.【详解】由得：，解得：cm，故cm，则扇形周长为cm.故答案为：.2．（2022春·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期中）在中，若，，，则______．【答案】【分析】根据三角形内角关系得角的大小，再根据两角差的正弦公式求得的值，最后由正弦定理得边的值.【详解】解：在，可得，又由正弦定理得，所以．故答案为：.3．（2021春·高一课时练习）计算：___________.【答案】【分析】先利用诱导公式，再利用二倍角的正弦公式和降幂公式求解.【详解】由题得.故答案为：4．（2022·上海·高三统考学业考试）如果，那么与角终边相同的角的集合可以表示为__________________________.【答案】【分析】根据终边相同的角的关系，写出与角终边相同的角的集合.【详解】因为，所以与角终边相同的角的集合可以表示为，故答案为：.5．（2022春·上海长宁·高一华东政法大学附属中学校考期中）将75°角化为弧度制为______弧度．【答案】##【分析】根据角度制与弧度制的转化公式求解即可.【详解】因为，所以.故答案为：6．（2022春·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）若，则__（结果用表示）．【答案】【分析】根据题意利用倍角公式化成齐次式运算求解.【详解】．故答案为：.7．（2021·上海·高一假期作业）如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________ .【答案】7【分析】根据四点共圆可得，再利用余弦定理可得，即可求得答案.【详解】∵四点共圆，圆内接四边形的对角和为 ﹒∴ ，∴由余弦定理可得 ，，∵，即 ，∴ ,解得,故答案为：78．（2022春·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）若，则__．【答案】【分析】利用诱导公式化简，结合条件可得其值.【详解】．故答案为：.9．（2023秋·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）已知，且，则____________．【答案】【分析】根据，得到，求出，利用凑角法，结合余弦的和角公式求出答案.【详解】，故，因为，所以，所以，故.故答案为：.10．（2022春·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期中）若，是第三象限的角，则______．【答案】##【分析】计算，再利用和差公式计算得到答案.【详解】因为，是第三象限的角，所以，.故答案为：11．（2022秋·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考期中）已知，则_____.【答案】【分析】利用三角恒等变换以及诱导公式可求值.【详解】因为，又因为，所以，故答案为: .12．（2022秋·上海嘉定·高三校考期中）已知，且，则______.【答案】【分析】两边平方，结合同角三角函数平方关系及二倍角公式得到，结合，求出.【详解】，两边平方得：，即，所以，因为，所以，所以，所以.故答案为： 二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.13．（2023·上海·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将进行化简，可求出的值，再利用边化角将化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知， 即由正弦定理化简得 即故选：.【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理（为外接圆半径）得，，；（2）角化边：  ①利用正弦定理：，，②利用余弦定理：14．（2022春·上海奉贤·高一校考阶段练习）已知，，且，．则是(    )A．第一象限的角 B．第二象限的角C．第三象限的角 D．第四象限的角【答案】D【分析】根据cosβ和β的象限求出sinβ，根据sinα和sinβ的大小结合正弦函数在的单调性即可判断α和β的大小关系，从而判断的正负，再根据α和β的象限进一步确定的象限即可.【详解】∵，，∴，∵＞，y＝sinx在上为减函数，∴α＜β，∴α－β＜0，又∵，，∴＜＜0，∴是第四象限角.故选：D.15．（2020春·上海杨浦·高一复旦附中校考阶段练习）设，，，以下各式不等于的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用半角正切公式结合诱导公式、正切的两角和差公式求解即可.【详解】由半角公式得，所以，A正确；，C正确；，所以，D正确；故选：B16．（2021春·高一课时练习）“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据二倍角的余弦公式以及充分条件、必要条件的概念即可得结果.【详解】若，则．若，则或．故“”是“”的充分不必要条件．故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.17．（2021春·上海·高一期中）在中，.（1）当时，求的最大值；（2）当时，求周长的最小值.【答案】（1）；（2）12.【分析】（1）由题意，，，由余弦定理、基本不等式，即可求的最大值；（2）当时，求出，利用余弦定理、基本不等式，即可求出周长的最小值.【详解】解：（1）由题意，，，由余弦定理可得，，，的最大值为；（2）， ，又，，，周长为当且仅当时，周长的最小值为12.【点睛】本题考查了余弦定理、基本不等式，考查三角形面积、周长的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于较难题.18．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）化简下列各式：(1)；(2).【答案】(1)0；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式化简计算作答.（2）根据给定条件，利用诱导公式、同角公式化简计算作答.【详解】（1）.（2）.19．（2022·上海虹口·统考一模）设的内角 所对的边分别为 ，已知．(1)求角A；(2)若，求证：是直角三角形．【答案】(1)(2)证明见解析． 【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及二倍角公式，化简，即可求得答案；（2）利用正弦定理边化角可得，结合两角和差的正余弦公式化简，求值，可得答案.【详解】（1）由条件，得，即，亦即，故，因为，所以．（2）证明：由正弦定理及得，由（1）知，故，于是，则，即，因，故，又，从而，所以，则，因此是直角三角形．20．（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，.(1)求角的大小；(2)求面积的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先利用余弦定理求出边，再利用正弦定理求出，最后结合锐角三角形求解即可；（2）先利用三角形的面积公式得到，再利用正弦定理得，最后结合角的范围及函数的值域问题求解即可.【详解】（1）由,根据余弦定理可得，化简得，由正弦定理，可知，因为为锐角三角形，所以.（2）由.由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以，解得，则，，故，即面积的取值范围为.21．（2022春·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）燕山公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划条人行道、、、以及两条排水沟、，其中、、分别为边、、的中点．(1)若，求的余弦值；(2)若，求排水沟的长；(3)当变化时，求条人行道总长度的最大值．（单位百米）【答案】(1)(2)百米；(3)百米． 【分析】（1）在直角三角形和直角三角形中，分别求出和的正、余弦值，再利用两角和的余弦公式，求的余弦即可；（2）在三角形中，使用余弦定理求解即可；（3）连接，以为参变量，在三角形和中，利用和，结合解三角形知识对，进行求解，并借助函数思想求出的最大值即可.【详解】（1）∵百米，百米，，∴在直角三角形中，百米，∴，，又∵，，百米，∴在等腰直角三角形中，百米，，，∴.∴的余弦值为.（2）由第（1）问，当时，，百米∴在三角形中，，∴百米.∴排水沟的长为百米.（3）设，，，∵、、分别为边、、的中点，∴，百米，，∴，百米，，在三角形中，由余弦定理得,由正弦定理，得，连接，∵，，为边的中点，∴，，在三角形中，，由余弦定理得，在三角形中，，由余弦定理得，令∵，∴，∴，∴，令，易知在上单调递增，∴当时，的最大值为，.∴最大值为，∴条走道总长度的最大值为百米．【点睛】本题前两问较为简单，难点在第（3）问.对于解三角形中的最值问题，有两种最常用的方法，一种是通过单一变量，构造函数，利用函数单调性和最值解决，另一种是借助不等式知识解决，本题采用了第一种方法.