第7章 三角函数（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（沪教版2020必修第二册）

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第7章 三角函数（B卷·能力提升练）

（时间：120分钟，满分：150分）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

1．（2022春·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）若的最小值为，则实数的值为__．

【答案】

【分析】根据题意结合辅助角公式运算求解.

【详解】∵，由题意得，

所以．

故答案为：.

2．（2023·高一课时练习）函数的单调减区间是______．

【答案】

【分析】题意可转化成求的单调增区间，然后利用正弦函数的性质即可得到答案

【详解】要求的单调减区间，相当于求的单调增区间，

故即，

所以函数的单调减区间是

故答案为：

3．（2020春·江苏南通·高三校考开学考试）函数的单调增区间是______.

【答案】

【分析】利用降次公式进行化简，再根据三角函数单调区间的求法，求得的单调增区间.

【详解】依题意，

由，解得，所以的单调增区间为.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查降次公式，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.

4．（2022·高一课时练习）函数值,,按从大到小的顺序排列为________(用“”连接).

【答案】

【解析】利用正弦函数在上的单调性比较的大小即可.

【详解】解析,

又函数在上单调递减,.

故答案为：.

【点睛】本题考查正弦函数的单调性的应用，是基础题.

5．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）若方程在上有两个不同的实数根，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】先求出时的值域，采用数形结合法可求的范围，进而得解.

【详解】作出，与的大致图像，如图所示：

由图像可知，当，即时,，的图像与的图像有两个交点，

即方程在时有两个不同的实数根.

故答案为:

6．（2023秋·河北保定·高一校考期末）已知函数的单调增区间为__________．

【答案】

【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.

【详解】解：令，

由，可得，

所以，

解得，

所以函数的定义域为，

由余弦函数的性质可知：在上单调递增，在上单调递减，

又因为在定义域上为单调递增函数，

由复合函数的单调性可知：

函数的单调增区间为.

故答案为：

7．（2023秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）函数（，，）的图象如下图，则解析式为______．

【答案】

【分析】由图象求出、，进而求参数，应用五点法有求，即可得解析式.

【详解】由题图知：，，则，而，故，

所以，

又，即且，

所以，，结合知：，

故.

故答案为：

8．（2022秋·河北邢台·高一邢台市第二中学校考期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则当时，恰有3个使函数最得大值，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据求出半径，由求出，再结合时，函数值恰好在对应点纵坐标，求出，得到函数解析式，由，得到，结合最大值的个数列出不等式，求出的取值范围.

【详解】根据点可得圆周的半径，

又旋转一周用时6秒，所以周期，

因为，从而得，

∴，又时，函数值恰好在对应点纵坐标，

∴，且，

∴，

∴，

，则，

根据三角函数的性质，在内恰有3个最大值时，

，解得.

故答案为：.

9．（2023秋·山东济宁·高一曲阜一中校考期末）不等式的解集是______．

【答案】

【分析】直接根据正切函数的性质解不等式即可.

【详解】因为在上单调递增，

则由得，

解得，

即不等式的解集是

故答案为：

10．（2023·高一课时练习）我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距为______．（答案精确到，参考数据）

【答案】

【分析】根据题意可计算得，再由计算即可.

【详解】因为，且天顶距，晷影长，

所以，

当晷影长度时，

所以

故答案为：

11．（2022秋·河南郑州·高一郑州四中校考期末）设函数，其中．，且，则的最小值为______．

【答案】##

【分析】先由得到或，又由得到关于对称，从而得到，分类讨论的取值情况，结合的取值范围即可求得的最小值.

【详解】因为，，

所以，则或，，

因为，且，

若要使最小，则结合正弦函数的对称性可知关于对称，

所以，则，，

当时，，则，其中，，

因为，所以，则，又，

所以，则，故；

当时，，则，其中，，

因为，所以，则，又，

所以，则，故；

综上：.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题通过，则或，，再利用得到函数关于对称，从而将点代入函数解析式得，则得到，，最后对或，分类讨论即可.

12．（2022秋·北京·高一北京市第十二中学校考期末）已知函数（其中，），，恒成立，且在区间上单调，给出下列命题：

①是偶函数；②；③是奇数；④的最大值为3．

其中正确的命题有______．

【答案】②③④

【分析】根据得到，根据单调区间得到，得到或，故③④正确，求得的解析式即可判断①，由函数的对称性可判断②.

【详解】设的周期为，

∵，，∴，， 故，则，，

由，则，故，，，

当时，，，

∵在区间上单调，∴，故，即，

则，故，即，又，，所以或，故③④正确；

当时，，，又，则，此时不是偶函数；当时，，，又，则，此时不是偶函数，故①错误；

由题可知是函数的一条对称轴，故成立，故②正确.

故答案为：②③④.

二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.

13．（2022春·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）已知、是任意一个锐角三角形的两个内角，下面式子一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用三角函数的单调性，对数的性质或特殊值进行判定.

【详解】由题意得，所以，

所以，即，A正确；

因为，所以，B不正确；

当时，，C不正确；

由，所以，所以，

所以，D不正确.

故选：．

14．（2022秋·吉林长春·高三长春外国语学校校考期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象．若在上单调递增，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平移法则写出f(x)的函数解析式，根据单调性，结合正弦函数的性质写出关于的不等式组，求解即得.

【详解】，

当时，，

由，有，，，

有，得.

故选：D.

15．（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到函数的图象，若函数在上有且仅有4个零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数图像变换确定的解析式，再根据函数零点的个数结合余弦函数的性质,列出不等式求实数的取值范围.

【详解】方法一：由题意，函数的图象向左平移个单位长度，

可得的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，

横坐标变为原来的，得.

由，得，所以或，﹐

解得或，，

欲使函数在上有且仅有4个零点，

则，解得，

方法二：由方法一得.

由，得.

令，由，得，

即，

欲使方程在上有且仅有4个实根，

则，所以，

故选:B.

16．（2022秋·湖北武汉·高一期末）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知，分别根据函数在区间上单调递增，在时，恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解.

【详解】由已知，函数在上单调递增，

所以，解得：，

由于，所以，解得：①

又因为函数在上恒成立，

所以，解得：，

由于，所以，解得：②

又因为，当时，由①②可知：，解得；

当时，由①②可知：，解得.

所以的取值范围为.

故选：B.

【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.

17．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知函数 为奇函数，且相邻两个对称轴之间的距离为.

(1)求的最小正周期和单调增区间；

(2)若时，方程有解，求实数的取值范围.

(3)将函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向上平移一个单位，得到函数的图象.填写下表，并用“五点法”画出在上的图象.

【答案】(1)最小正周期；单调递增区间为

(2)

(3)表格和图象见解析

【分析】（1）根据相邻两个对称轴之间距离为半个最小正周期可得；利用二倍角和辅助角公式化简得到，由最小正周期和正弦型函数奇偶性的定义可求得，由此可得；利用整体代换的方式，令即可解得单调递增区间；

（2）根据正弦型函数值域的求法可求得的值域，即为的取值范围；

（3）根据三角函数的平移和伸缩变换原则可求得，根据五点法可补全表格，并描点得到图象.

【详解】（1）相邻两个对称轴之间的距离为，的最小正周期；

，

，解得：，，

为奇函数，，解得：，

，，；

令，解得：，

的单调递增区间为.

（2）当时，，，则；

若方程有解，则的取值范围为.

（3）向左平移个单位长度得：，

将横坐标伸长到原来的倍得：，

将向上平移一个单位得：；

补全表格如下：

则在上的图象如下图所示：

18．（2022秋·吉林长春·高一校考期末）已知函数．

(1)求的最小正周期及对称轴方程；

(2)求，求的最大值及相对应的x的值；

(3)讨论在的单调性．

【答案】(1)；

(2)当时，取得最大值为.

(3)在上的单调递增区间为，单调递减区间为

【分析】（1）先化简函数的的解析式，再利用公式即可求得的最小正周期，令即可求出对称轴方程；

（2）由的范围求出，可知当时，即可求出的最大值；

（3）确定，根据正弦函数的单调性计算得到答案.

【详解】（1）

则的最小正周期，

令，则.

的最对称轴方程为；

（2），，

所以，

所以当即时，取得最大值为：.

（3）由，可得，

由，得，则在单调递增；

由，得，则在单调递减

故在上的单调递增区间为，单调递减区间为

19．（2022秋·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考期末）设函数.

(1)证明：在上单调递增；

(2)若方程在上有且仅有两个根、，证明：.

【答案】(1)见解析；

(2)见解析.

【分析】（1）根据与在上的单调性，结合不等式的性质即可证明；

（2）易知与不是方程的根，画出函数与在上的图象，设,可得，.证明，结合在上的单调性即可证明.

【详解】（1）设，因为在上单调递增，所以.

所以，即,

故在上单调递增.

（2）因为，所以与不是方程的根.

所以方程在上有且仅有两个根、，不妨设,

由，可得.

在坐标系中分别作出函数与在上的图象如图：

可得，

所以.

因为,

所以.

又，所以.

因为，，且在上单调递增，

所以，即.

20．（2022春·上海普陀·高一校考期末）已知函数，.

(1)求函数的值域；

(2)求函数严格增区间；

(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）首先化简函数，再代入函数的定义域，求函数的值域；

（2）由（1）可知，，结合正弦函数的单调性，即可求解；

（3）参变分离得恒成立；转化为求函数的最值.

【详解】（1）.

因为，所以，

所以，所以的值域为；

（2）因为，又在上严格增，

所以当时，严格增，解得

所以函数的严格增区间为；

（3）因为，所以不等式等价于恒成立；即，

因为，

所以当时，有最大值；

所以实数的取值范围为.

21．（2022春·上海闵行·高一期中）已知函数

(1)化简的表达式.

(2)若的最小正周期为π，求，的单调区间与值域.

(3)将（2）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数，与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)递增区间为，递减区间为，值域为；

(3).

【分析】（1）根据给定函数，利用二倍角公式、辅助角公式化简即可作答.

（2）由（1）及已知求出，再结合正弦函数性质求解作答.

（3）由（2）及已知求出函数的解析式，借助的周期列出不等式求解作答.

【详解】（1）依题意，，.

（2）由（1）知，，解得，则，

当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，

由得：，由得：，

所以在上单调递增，在上单调递减，，，

所以在上的值域为.

（3）由（2）及已知，，因图像关于x=0对称，

则，解得：，又，即有，

于是得，由得：，，而函数的周期，

依题意，对于，在上均有不少于6个且不多于10个根，

则有，即，解得，

所以正实数的取值范围是.

【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.