第9章 复数（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（沪教版2020必修第二册）

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第9章 复数（A卷·知识通关练）核心知识1：复数的相关概念  1．（2022春·广西南宁·高一校考阶段练习）设复数=（        ）A． B．  C．1 D．-1【答案】D【分析】利用虚数单位i的幂具有的周期性进行运算.【详解】.故选：D2．（2022春·辽宁营口·高一统考期末）已知,为虚数单位，若，则 （    ）A．0 B．1 C．2 D．-2【答案】B【分析】根据虚数单位性质结合复数相等的概念，可得a,b的值，即得答案.【详解】由虚数单位的性质可知=1，故由可得：，故，故选：B3．（2022秋·上海宝山·高二校考期中）设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】根据复数为纯虚数的等价条件是实部为零，虚部不为零，再利用充分，必要条件的概念解题，即可得到结果.【详解】当时，复数，为纯虚数；当复数为纯虚数时，有，得或.所以“”是“复数为纯虚数”的充分非必要条件.故选:A.4．（2022秋·陕西榆林·高二校考期末）已知是虚数单位，则复数的虚部为（    ）A． B．1 C．0 D．【答案】A【分析】化简，然后利用虚部的定义进行求解.【详解】因为，所以的虚部为.故选：A5．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知（），则a+b的值为（    ）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据得到，从而求出的值，得到答案.【详解】，故，所以，.故选：C6．（2022春·广西贺州·高一平桂高中校考阶段练习）已知复数（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（       ）A． B．z的虚部是-4C．是纯虚数 D．z在复平面上对应点在第四象限【答案】ABD【分析】根据复数模的定义、复数虚部的定义，结合纯虚数的定义、复数在复平面对应点的特征逐一判断即可.【详解】A：复数，则，故A正确；B：的虚部是，故B正确；C：，是实数，故C错误；D：z在复平面上对应点的坐标为，在第四象限，故D正确.故选：ABD.7．（2022秋·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）设为复数，，，则下列说法正确的是（    ）A．若，则的实部和虚部分别为和B．设为的共轭复数，则C．D．若，，则在复平面内对应的点位于第一象限或第四象限【答案】AB【分析】结合复数的定义和复数的相关性质即可得出答案【详解】由复数的概念可知，复数的实部为，虚部为，所以A正确，和可知，所以B正确，对于C，是一个实数，而不一定为实数，所以C错误，当取偶数时，为实数，在复平面对应的点在实轴上，所以D错误故选：AB8．（2021春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）设复数，则下列说法正确的是（    ）A．若，则 B．若，则z是纯虚数C．若，则 D．若，则【答案】AD【分析】求得与的关系判断选项A；举反例否定选项B；求得否定选项C；求得a的范围判断选项D.【详解】选项A：若，则,，则.判断正确；选项B：若，，则，z是实数.判断错误；选项C：若，则.判断错误；选项D：若，即则，解之得.判断正确.故选：AD 核心知识2：复数的几何意义  9．（2023·安徽淮南·统考一模）在复平面内，对应的点分别为，则对应的点为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据复数的几何意义，先得到，然后根据复数的除法运算得到一个结果后，再根据复数的几何意义确定所对应的点的坐标【详解】根据复数的几何意义，，于是，对应的点为：.故选：B10．（2023·高一课时练习）在复平面上，一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为，，0，则第四个顶点对应的复数不可能为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平行四边形的对角线互相平分即得．【详解】设第四个点对应复数为，则或或，所以或或．故选：A．11．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）若复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可推出，然后根据复数的除法即可求出.【详解】复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为，所以，所以 .故选：C.12．（2023·全国·模拟预测）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】解：因为，所以，所以在复平面内对应的点的坐标为位于第三象限.故选：C13．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（理）试题）已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据给定条件，求出a值，即可求出复数对应点的坐标作答.【详解】依题意，，即，又，因此，解得，则有，所以在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C14．（2023·高一课时练习）复平面上，点对应的复数______．【答案】【分析】根据复数的坐标表示写出答案.【详解】由复数的几何意义知故答案为：15．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数，i是虚数单位），是实数.(1)求b的值；(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用复数的除法可求，再结合其为实数可求；（2）利用复数的乘方可求，再由它对应的点所处的象限可求的取值范围.【详解】（1）∵，∴∵是实数，∴，解得.（2）由（1）知,∴，∵复数在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得，故实数m的取值范围是. 核心知识3：复数代数式的四则运算  16．（2023秋·湖南益阳·高三统考期末）设复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出复数，代入方程由复数相等列式可得结果.【详解】设，则，∵，∴，即：，∴，∴∴.故选：D.17．（2023·全国·高三专题练习）若，则（    ）A． B．5 C．3 D．【答案】B【分析】根据复数运算，复数的模计算即可解决.【详解】由题知，，故选：B18．（辽宁省2022-2023学年高三上学期期末联考数学试题）已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，即可得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】解：，所以，则在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D19．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念即可求解.【详解】因为，所以.故选：B.20．（2022秋·吉林长春·高三长春市第六中学校考期末）复数的虚部为（    ）A．1 B．-1 C． D．【答案】A【分析】计算出复数的代数形式即可得答案.【详解】则复数的虚部为故选：A.21．（2022春·广西百色·高一校考期中）若复数，且满足，则的值可为（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据复数的加减运算结合复数的模列方程，整理可得，分析选项即可得答案.【详解】解：，，，的值符合条件的只有选项A，D.故选：AD.22．（2023·高一课时练习）______．（其中i是虚数单位）【答案】【分析】根据复数的减法运算，实部与实部相减，虚部与虚部相减.【详解】故答案为：23．（2023·高一课时练习）计算．(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3) 【分析】根据复数四则运算法则计算即可.【详解】（1）原式.（2）原式.（3），，，原式. 核心知识4：实系数一元二次方程  24．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】设复数的平方根为，然后平方后根据复数相等即可得出结论.【详解】设复数的平方根为，则，化简，所以，，解得，或，，即复数的平方根为或，故选：C25．（2023·高一课时练习）在复数范围内因式分解：______．【答案】或【分析】将式子变形，构造出平方差形式在因式分解.【详解】因为，所以①，②，故答案为：或.26．（2023·高一课时练习）若共轭复数x，y满足，则x，y共有______组解．【答案】4【分析】待定系数法，再利用复数相等的条件可得方程组，解出答案即可.【详解】设，则，∵,∴,∴,∴,∴或或 或 ∴共有4组解.故答案为：4.27．（2023·高一课时练习）（1）已知，i是虚数单位，若，是纯虚数，写出一个以z为其中一根的实系数一元二次方程；（2）求纯虚数的平方根．【答案】（1）（2）当时，纯虚数的平方根为或；当时，纯虚数的平方根为或【分析】（1）根据复数的四则运算和纯虚数的概念解出复数，即可写出要求的一元二次方程；（2）设复数是的平方根，根据复数相等的概念即可求得结果.【详解】（1）由题可知，因为是纯虚数，所以，得，所以，，一个以z为其中一根的实系数一元二次方程是.（2）设复数满足即，所以，当时，解得 即或，当时，解得即或所以， 当时，纯虚数的平方根为或；当时，纯虚数的平方根为或28．（2023·高一课时练习）设复数是方程的一个根．(1)求；(2)设（其中i是虚数单位，），若的共轭复数满足，求．【答案】(1)或；(2). 【分析】（1）利用实系数一元二次方程的求根公式解得；（2）根据复数的乘法运算及复数的模的运算可得，进而即得.【详解】（1）因为，所以，所以，所以或；（2）由，可得，当时，，所以，解得，当时，，当时，.29．（2023·高一课时练习）求同时满足下列两个条件的所有复数．①；②的实部和虚部都是整数．【答案】或．【分析】设，利用题给条件列出关于的方程组，解之即可求得，进而求得复数【详解】设，则．∵，∴，故有：由①得或，将代入②，得，则，则，则无解；∴，将代入②得，解之得又x，y为整数，∴，或，故或．30．（2023·高一课时练习）已知是关于的方程的一个根，求实数的值．【答案】，【分析】根据实系数方程根的特征可知为方程另一根，利用韦达定理可构造方程组求得结果.【详解】是方程的一个根，是该方程的另一根，，解得：，.