第七章 三角函数（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教B版2019必修第三册）

第七章  三角函数（B卷·能力提升练）

班级          姓名        学号          分数______            

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知，那么等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由已知.

故选：C．

2．函数，的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】令，解得，

∵，

当时，，即函数的单调递增区间是．

故选：B.

3．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题知，

将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，

因为，

所以，

因为在上单调递减，

所以，

所以，

所以的最大值为1.

故选：D

4．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将以坐标原点O为圆心的圆的周长和面积同时平分的函数称为此圆的“优美函数”，则下列函数中一定是“优美函数”的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】根据优美函数的定义可知，优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，

对于A，不是奇函数，A选项错误；

对于B，不是奇函数，B选项错误；

对于C，的定义域为，且是奇函数，C项正确；

对于D，的定义域为，所以图像不经过坐标原点，D选项错误；

故选：C．

5．如图为函数的部分图象，则（    ）

A．函数的周期为

B．对任意的，都有

C．函数在区间上恰好有三个零点

D．函数是偶函数

【答案】C

【详解】从图象可看出的最小正周期为，

因为，所以，解得：，

故A错误；

，代入，

，

因为，所以，

故，

，

故不满足对任意的，都有，B错误；

，则，

由可得：，可得：，

故函数在区间上恰好有三个零点，C正确；

，为奇函数，D错误.

故选：C

6．已知函数（其中，）的最小正周期为，若，且图象上有一个最低点，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【详解】因为，所以，解得：，

图象上有一个最低点，且，故，

且，则，，

解得：，，

由可得：，解得：，

因为，故，

所以，

故，

所以.

故选：C

7．在信息传递中多数是以波的形式进行传递，传递的过程中，会存在干扰信号，形如，为了消除这种干扰，可以使用净化器产生形如的波，只需要调整相关参数，就可以产生特定的波（与干扰波波峰相同，方向相反的波）来“对抗”干扰.现有干扰波形信号的部分图象如图，想要通过“净化器”消除干扰，可将净化器的参数分别调整为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【详解】设干扰信号对应的函数解析式为.

由题图得，（为干扰信号的周期），解得，

所以.

∵函数的最大值为，

∴.

将代入，解得，，

∵，∴.

∴，所以欲消除的波需要选择相反的波，

即，所以，，.

故选：B.

8．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设等边三角形的边长为，

则由题意得：，解得：，

所以扇形的半径为，圆心角为，则其面积为，

又等边三角形的面积为，

则该勒洛三角形的面积为，

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【详解】因为，

所以，则，

因为，所以，，

所以，故A正确；

所以，

所以，故D正确；

联立，可得，，故B正确；

所以，故C错误.

故选：ABD.

10．已知函数，则（    ）

A．

B．的最小正周期为

C．把向左平移可以得到函数

D．在上单调递增

【答案】BD

【详解】，故A错误；

函数的最小正周期为，故B正确；

把向左平移可以得到函数，故C错误；

时，，故在上单调递增，故D正确．

故选：BD．

11．小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（    ）

A． B．弧长

C．扇形的周长为 D．扇形的面积为

【答案】BC

【详解】，所以A错；

弧长，所以B对；

扇形的周长为，所以C对；

面积为，所以D错；

故选：BC

12．关于函数有如下四个命题，其中正确的是（    ）

A．的图象关于y轴对称 B．的图象关于原点对称

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点(π，0)对称

【答案】BCD

【详解】∵的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，

∴为奇函数，其图象关于原点对称.故A错误，B正确；

∵

∴，∴的图象关于直线对称，故C正确；

又

，

∴，

∴的图象关于点(π，0)对称，故D正确．

故选：BCD．

三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知为第二象限的角，且，则_____________．

【答案】

【详解】因为第二象限的角，则，又，，则.又由诱导公式，

得.

故答案为：

14．若函数为奇函数，当时，，则______.

【答案】

【详解】因为函数是奇函数，所以，得，

即时，，

所以.

故答案为：

15．函数的图象如图，则的值为______．

【答案】

【详解】由图象可知：最小正周期，，

.

故答案为：.

16．已知在上是严格减函数，则的取值范围是__________．

【答案】

【详解】因为，所以，

由题意得，

所以 ，可得．

由，当，解得.

所以的取值范围是.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数

(1)求函数最小正周期

(2)当时，求函数最大值及相应的x的值

【答案】(1)(2)最大值，

【详解】（1），最小正周期.

（2），故，

所以当，时，函数取得最大值.

18．已知.

(1)化简；

(2)若，求的值.

【答案】(1)(2)

【详解】（1）解：.

（2）解：因为，所以，

两边平方得，所以，

所以，所以，

所以.

19．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，角的终边与单位圆的交点坐标为，射线绕点O按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于的函数为．

(1)求函数的解析式．并求的值；

(2)若，求的值．

【答案】(1)，

【详解】（1）因为，且，点在第三象限，所以，

由此得，

（2）由于知，即

由于，得，与此同时，所以

由平方关系解得：，

所以

20．已知函数在一个周期内的图象如图所示．

(1)求函数的解析式和最小正周期；

(2)求函数在区间上的最值及对应的x的取值；

(3)当时，写出函数的单调区间．

【详解】（1）由函数在一个周期内的图象可得：

，

再根据五点法作图可得

,

（2），

时，函数在区间上的最大值为

时，函数在区间上的最小值为

（3），故函数的单调减区间是；

，故函数的单调增区间是；

21．已知函数

(1)求的单调递增区间：

(2)若函数在上的零点个数为2，求m的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【详解】（1）令，解得

故的单调递增区间为.

（2）在上的零点个数等于的图象与直线的交点个数．

因为，所以，

当，时，则在上单调递增，在[，]上单调递减．

所以，，

所以，即m的取值范围为.

22．已知函数

(1)求函数的单调递增区间，以及对称轴方程；

(2)若，当时，的最大值为5，最小值为－1，求实数a，b的值.

【答案】(1)单调递增区间是；

(2)或

【详解】（1）由

令，解得，

即单调递增区间是；

令，解得，

即函数对称轴方程为.

（2）当时，，则，

即，又的最大值为5，最小值为—1，

则或，解得或.