第八章 向量的数量积与三角恒等变换（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教B版2019必修第三册）

第八章 向量的数量积与三角恒等变换（B卷·能力提升练）

班级          姓名        学号          分数______            

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由，解得.

故选：A.

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由已知，化简得．

平方得，

所以．

故选：A．

3．已知向量，的夹角为，且，，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【详解】解：．

故答案为：A.

4．已知向量满足，则（    ）

A． B． C．0 D．2

【答案】C

【详解】，

故选：C.

5．已知向量，的夹角为，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】向量，的夹角为，，

则有，

设，，

∴，即，存在，方程有解，

则有，解得，则的最大值为.

故选：B

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为，

所以，

因为，所以，所以.

因为，所以.

所以.

故选：B

7．已知平面向量，，，其中，，且与的夹角为45°，若，则的最大值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】依题意，因为，，且与的夹角为45°，

建立直角坐标系，如图所示：

所以设，，则，

因为，

所以，

所以

整理得：，

由此可知，的终点在以为圆心，半径为1的圆上，

因为，

其几何意义代表点到点的距离，

又因为点到点的距离为：，

所以的最大值为：.

故选：C.

8．已知函数满足：.若函数在区间上单调，且，则当取得最小值时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为，其中，，

因为，所以，即，解得，

所以，

令，，则，，

所以的对称中心为，，

因为函数在区间上单调，且，则为的对称中心，

所以，，即，，

当时，取得最小值，

所以.

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知向量，则（    ）

A． B．向量的夹角为

C． D．在方向上的投影向量是

【答案】BD

【详解】已知则，

，，，，故A错误；

，所以向量的夹角为，故B正确；

，，故错误；

在方向上的投影向量为，故D正确.

故选：BD.

10．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为

B．的一个对称中心坐标为

C．的图象可由函数的图象向左平移个单位得到

D．在区间上单调递减

【答案】ABD

【详解】对A，，

由周期公式可得,A正确；

对B，因为,故为对称中心，B正确；

对C，的图象向左平移个单位得到，C错误;

对D，当，，

根据正弦函数的图象与性质可知，在单调递减,故D正确.

故选：ABD.

11．若函数的最小值为，则的值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【详解】由题设，，

令，则，其开口向上且对称轴为，

当时，，则；

当时，，则(舍) 或 （舍）；

当时，，则；

综上，或.

故选：AC

12．已知，则下列说法中正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数在上单调递减

C．函数的图象可以由函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得到

D．是函数图象的一个对称中心

【答案】AB

【详解】，

根据辅助角公式， .

由周期公式可知，故A正确；

令，，可得，，，

当时，可得函数的单调递减区间，故B正确；

函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的倍，可得，故C错误；

令可得，，故不是函数图象的一个对称中心，故D错误.

故选：AB．

三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分

13．若两个非零向量，满足，则与的夹角为______．

【答案】##

【详解】设向量与的夹角为，因为，则，变形得 ，

所以 且，则 ，

故 ，又，则.

故答案为:.

14．已知函数，则的最小正周期为______．

【答案】

【详解】

，

所以的最小正周期为.

故答案为：.

15．在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为的物品，在另一个秤盘中放入重量的砝码，天平平衡．根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，，，若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则的大小为 ______．

【答案】

【详解】依题意，且，

所以，

即，解得．

故答案为：．

16．如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD延长线上的点，，且，则PQ的最小值为______.

【答案】2

【详解】依题意，，

显然，由得：，

即，整理得，

在中，，

当且仅当，即时取等号，

所以PQ的最小值为2.

故答案为：2

四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知锐角与钝角，，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【详解】（1）因为，，且，，

所以，，

所以.

（2）由（1）得，

所以.

18．已知单位向量，，与的夹角为.

(1)求证；

(2)若，，且，求的值.

【详解】（1）因为，与的夹角为，

所以，

所以.

（2）由得，

即.

因为，与的夹角为，

所以，，

所以，

即.所以或.

19．已知．

(1)求的单调递增区间；

(2)若，求的最大值和最小值．

【详解】（1）依题意得：

，

由，，

得，

所以的单调递增区间为．

（2）由（1）知，，

当时，，

则当，即时，，

当，即时，，

所以在时的最大值和最小值分别为：，．

20．某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知己有两面墙的夹角为锐角，假设墙的可利用长度（单位：米）足够长．

(1)在中，若边上的高等于，求；

(2)当的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值．

【详解】（1）过点作交于．

设米，，则米，米．

在中，．

故．

（2）设，则米，米，

因为，所以，

所以，当时，该活动区域的面积取得最大值，最大值为平方米．

21．已知函数的最大值为，

(1)求常数的值，并求函数取最大值时相应的集合；

(2)求函数的单调递增区间.

【详解】（1）

.

当时，函数取到最大值，

所以，即，  

令，得，                              

所以当函数取到最大值时的集合为.

（2）由（1）得，

所以令，

得，

所以函数的单调递增区间为.

22．设函数，．

(1)求的最小正周期；

(2)若函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间．

【详解】（1），

故函数的最小正周期；

（2）将函数的图象左移个单位得到的图象，

则，

，

则当即时，单调递增，

∴在上的单调递增区间为：