人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数单元测试课时作业

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第四章  指数函数、对数函数与幂函数（B卷·能力提升练）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意可得：，解得，

故选：B.

2．方程的根所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】令，显然单调递增，

又因为，，

由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，

所以的根所在区间为.

故选：B

3．若且，则函数的图像恒过定点（    ）

A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2）

【答案】D

【详解】根据对数函数的性质，当时，则，则函数过定点.

故选：D.

4．函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】B

【详解】令，

因为，

所以函数图象与轴有两个交点，

因为函数在上存在零点，且函数图象连续，

所以，或，

所以，或，

解得或

故选：B

5．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】设幂函数为，

因为该幂函数得图象经过点，

所以，即，解得，

即函数为，

则函数的定义域为，所以排除CD，

因为，所以在上为减函数，所以排除B，

故选：A

6．已知函数为R上的奇函数，当时，，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】因为函数为R上的奇函数，

所以，

又当时，，

当时，，则，

所以时，，

则由可得，或或，

解得或或，

综上可得，不等式的解集为．

故选：C．

7．已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：因为且，又单调递减，在定义域上单调递增，

所以在定义域上单调递减，

因为在区间上恒成立，所以恒成立，

所以，解得，即；

故选：C

8．已知函数，且，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】根据题意，，

则，故为偶函数；

且当时，为单调增函数，

故即，则，

所以或，解得或，

故实数的取值范围为，

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列说法正确的是（   ）

A．若函数的定义域为，则函数的定义域为

B． 图象关于点成中心对称

C． 的最大值为

D．幂函数在上为减函数，则的值为

【答案】BD

【详解】对于A，函数的定义域为，由得，

则函数的定义域为，A错误；

对于B，函数的图象的对称中心为，

将函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，

则函数的图象的对称中心为，B正确；

对于C，函数在R上单调递减，且，

则，即当时，函数取得最小值，无最大值，C错误；

对于D，因为函数为幂函数，

所以，

解得，D正确.

故选：BD.

10．若函数且在上为单调递增函数，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【详解】在上单调递增，，解得：，

的取值可以为选项中的或.

故选：AD.

11．已知函数，若方程有六个相异实根，则实数可能的取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【详解】的图像如图所示：

则要使方程有六个相异实根即使在上有两个相异实根;

则解得：.

故选：BD.

12．（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【详解】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．

A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；

B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；

C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；

D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．

故选：ABD．

三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是________.

【答案】

【详解】令，，

因为在上单调递减，而函数在上是增函数，所以在上单调递减，且恒成立，所以，即，无解，

所以实数a的取值范围是.

故答案为：.

14．若函数在上的最大值为4，则a的取值范围为________．

【答案】

【详解】解：因为，

当时，易知在上单调递增，

当时，在上单调递增．

作出的大致图象，如图所示．

由图可知，，，

因为在上的最大值为，所以的取值范围为．

故答案为：

15．已知函数，若有三个不同实根满足，则的取值范围为___________.

【答案】

【详解】解：因为，所以的图象如下所示：

因为有三个不同实根满足，即与有三个不同的交点，

由图可知，且，由，解得，

所以

故答案为：

16．已知是在定义域上的单调函数，且对任意都满足：，则满足不等式的的取值范围是________.

【答案】

【详解】由题意得为正常数，令，则，

且，解得，

原不等式为，可得，解得，

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知定义域为R的函数是奇函数.

(1)求实数a的值；

(2)判断函数的单调性，并用定义加以证明；

(3)若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）

因为函数的定义域为R，所以，∴.

经检验当时，有，所以.

（2）

，

函数在定义域内单调递增，证明如下：

设，所以，

因为，所以，所以函数在R上单调递增.

（3）

∵是奇函数，由已知可得

，则，

∴，故，.

∴实数m的取值范围为.

18．设函数，函数的图像与的图像关于对称.

(1)求的解析式

(2)是否存在实数，使得对，不等式恒成立，若存在求出，若不存在，说明理由.

【答案】（1）

解：因为函数的图像与的图像关于对称，

所以与互为反函数，

因为，所以；

（2）

解：不等式恒成立，即恒成立，

令，则关于的不等式，即在上恒成立，

令，，

因为，所以在上单调递增，依题意只需，解得，

所以；

19．已知幂函数为奇函数.

(1)求函数的解析式；

(2)若，求的取值范围.

【答案】（1）

解：由题意，幂函数，

可得，即，解得或，

当时，函数为奇函数，

当时，为非奇非偶函数，

因为为奇函数，所以.

（2）

解：由（1）知，可得在上为增函数，

因为，所以，解得，

所以的取值范围为.

20．设函数是定义域的奇函数．

(1)求值；

(2)若，试判断函数单调性并求使不等式在定义域上恒成立的的取值范围；

(3)若，且在上最小值为，求的值．

【答案】（1）

是定义域为的奇函数，

，即，

解得；经检验成立

（2）

因为函数（且），

又，

，又，

，

由于单调递增，单调递减，故在上单调递增，

不等式化为．

，即恒成立，

，解得；

（3）

由已知，得，即，解得，或（舍去），

，

令，是增函数，

，，

则，

若，当时，，解得；

若，当时，，解得，不成立；

所以．

21．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会，据某市场调查，当每套丛书的售价定为元时，销售量可达到万套现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分其中固定价格为元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格求：

(1)每套丛书的售价定为元时，书商所获得的总利润．

(2)每套丛书的售价定为多少元时，单套丛书的利润最大.

【答案】（1）

每套丛书售价定为元时，销售量为万套，

于是得每套丛书的供货价格为元，

所以书商所获得的总利润为万元．

（2）

每套丛书售价定为元，由得，设单套丛书的利润为元，

则，

，当且仅当，即时等号成立，

即当时，，

所以每套丛书售价定为元时，单套丛书的利润最大，为元．

22．已知定义在R上的函数满足且，．

(1)求的解析式；

(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；

(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．

【答案】（1）

由题意知，，

即，所以，

故.

（2）

由（1）知，，

所以在R上单调递增，

所以不等式恒成立等价于，

即恒成立.

设，则，，当且仅当，即时取等号，

所以，

故实数a的取值范围是.

（3）

因为对任意的，存在，使得，

所以在上的最小值不小于在上的最小值，

因为在上单调递增，

所以当时，，

又的对称轴为，，

当时，在上单调递增，，解得，

所以；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

，解得，所以；

当时，在上单调递减，，解得，

所以，

综上可知，实数m的取值范围是.