第九章 解三角形（A卷·基础通关练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教B版2019必修第四册）

第九章 解三角形（A卷·基础通关练）

班级          姓名        学号          分数______            

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在中，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为，

所以由余弦定理得，

又，则．

故选：B.

2．在中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由，得.

故选：B.

3．在中，，则三角形的形状为（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形

C．正三角形 D．等腰三角形

【答案】A

【详解】中，，

则，整理得，则，

则的形状为直角三角形，

故选：A.

4．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】连接和，如图所示：

∵为直径，，

又有点，，，都在圆上，所以，

在中，，

则，

故选：B.

5．在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】C

【详解】对于A项，方法1：∵，，

∴，

∴由正弦定理得：

∴a、c值唯一确定，

∴只有一解.

方法2：如图所示，

∴只有一解.  故选项A错误；

对于B项，方法1：由余弦定理得：，

∴只有一解.

方法2：如图所示，

∴只有一解. 故选项B错误；

对于C项，方法1：由正弦定理得：，解得：

又∵  ∴角B有两个解.  

方法2：如图所示，

∵，

∴，

∴角B有两个解.  故选项C正确；

对于D项 ，方法1：∵，∴，又∵，∴，

∴不存在这样的三角形.

方法2：如图所示，

∵，

∴

∴此时A、B、C三点不能构成三角形.  故选项D错误；

故选：C.

6．如图，等腰是BC上一点，、的外接圆半径分别为、，则的值为（    ）．

A．1 B． C． D．由D点的位置确定

【答案】A

【详解】在中，

，

在中，

，

因为，，

所以，

所以，

所以，

故选：A

7．在中，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由以及正弦定理可得，.

又因为，所以.

由余弦定理可得，.

故选：A.

8．已知中，､､分别是角､､所对的边，已知，若，，则的面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，可得：，即，

､均为三角形的边，，

，即，

，，

由余弦定理：，得：

再将代入式可得：，

得，，

又由，可得，

所以，三角形的面积是：.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（多选）下列说法中正确的是（    ）

A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形

B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形

C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题

D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例

【答案】BCD

【详解】在三角形中，已知两边及其一边的对角，可用余弦定理列出第三边的方程，解方程得第三边，故A错误；

余弦定理反映了任意三角形中边角的关系，它适用于任意三角形，故B正确；

余弦定理可以直接解决已知三边求角，已知两边及其夹角求第三边的问题，故C正确；

当夹角为时，余弦定理就变成了勾股定理，故D正确.

故选：BCD.

10．在中，已知，，，则角的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【详解】由正弦定理得，得，

因为，且，所以或.

故选：AC.

11．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c， 则下列说法正确的有（    ）

A．A:B:C= a :b :c B．

C．若A>B， 则a>b D．

【答案】BCD

【详解】在三角形中，大角对大边，所以C选项正确.

三角形的内角和为，所以D选项正确.

由正弦定理得，所以A选项错误.

设，

则，B选项正确.

故选：BCD

12．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．若，则的面积是15 D．若，则外接圆半径是

【答案】AD

【详解】设，，，，

则，，，

对于A ，，故A正确；

对于B ，，故B不正确；

对于C，若，则，，，

所以，所以，

所以的面积是，故C不正确；

对于D，若，则，则，则，，，

所以，，

所以外接圆半径为.故D正确.

故选：AD

三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分

13．在中，，，，则的面积等于______．

【答案】

【详解】在中，由余弦定理得：

，

解得：，

所以的面积为：

.

故答案为：.

14．的三个内角所对边的长分别为，已知，，，则的值为______．

【答案】

【详解】由 , 根据余弦定理 得： , 即 ,

所以 .

故答案为:

15．我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为，则该“圭田”的底边长为______．

【答案】

【详解】设“圭田”的底边长为，则

由余弦定理可得，

解得，

即该“圭田”的底边长为.

故答案为：.

16．已知的面积为S，，，则的外接圆半径为______．

【答案】1

【详解】因为，

所以，

所以.

因为，

所以，

即.

又因为，所以.

所以，解得.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在中，角、、的对边分别为、、，且．

(1)求角的大小；

(2)若，的面积，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为，

由正弦定理得，

因为，所以，即，

因为，所以.

（2），所以，

由余弦定理得，

所以的周长为．

18．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角．

【答案】

【详解】由勾股定理得：，

，

由余弦定理得：，

因为，

所以.

19．如图，，两点分别在河的两侧，为了测量，两点之间的距离，在点的同侧选取点，测得，，米，求，两点之间的距离．

【答案】米.

【详解】根据已知条件：，，米，

所以：，

利用正弦定理：则，

所以(米)．

20．在中，角的对边分别为，且.

(1)求角的大小；

(2)若的面积为，求该三角形的周长.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由以及正弦定理得，

得，

得，

因为为三角形的内角，所以，

所以，因为为三角形的内角，所以.

（2）依题意可得，所以，所以，

又由，得，

所以，所以，

所以该三角形的周长为.

21．如图，某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点和，某日两个观测站都观测到了处出现火情，在点处观测到的方位角为．在点处，观测到的方位角为．B点和点相距25千米，求观测站与火情之间的距离．

【答案】千米

【详解】在中，，

，

，

，

由正弦定理可得，

即，

所以（千米），

所以观测站与火情之间的距离为千米

22．在中，已知，，．

(1)求的值；

(2)若点在边上，且，求的长．

【答案】(1)

(2)5

【详解】（1）

（2）如图所示：

因为，，所以.

所以