湖南省名校2022-2023学年高二下学期第一次联考数学试卷（含答案）

这是一份湖南省名校2022-2023学年高二下学期第一次联考数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省名校2022-2023学年高二下学期第一次联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、已知复数z满足，其中i是虚数单位，则(   )A. B. C. D.2、如图，在中，，，，，则(   )A.9 B.18 C.6 D.123、的展开式中，常数项为(   )A.-4 B.-6 C.-8 D.-104、在平面直角坐标系中，已知点为角终边上的点，则(   )A. B. C. D.5、已知等比数列的各项均为不等于1的正数，数列满足，，，则数列前n项和的最大值等于(   )A.126 B.130 C.131 D.1326、现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是(   )A.每人都安排一项工作的不同方法数为B.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为480C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为300D.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1267、在平面直角坐标系中，，，若圆C：上存在点P，使得，则a的取值范围是(   )A. B. C. D.8、已知圆在椭圆的内部，点A为C上一动点.过A作圆M的一条切线，交C于另一点B，切点为D，当D为AB的中点时，直线MD的斜率为，则C的离心率为(   )A. B. C. D.二、多项选择题9、从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则(   )A.“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件B.“第1次抽到代数题”与“第2次抽到几何题”相互独立C.第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是D.在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是10、下列结论正确的有(   )A.若随机变量，满足，则B.若随机变量，且，则C.若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.0511、已知函数，，则下列说法正确的是(   )A.在上是增函数B.，不等式恒成立，则正实数a的最小值为C.若有两个零点，，则D.若，且，则的最大值为12、数列满足，，数列的前n项和为，且，则下列正确的是(   )A.B.数列的前n项和C.数列的前n项和D.三、填空题13、已知函数的定义域为R，且函数为奇函数，若，则______.14、已知随机变量，且，若，则的最小值为_________.15、已知数列满足，其前n项和为，则________.16、已知函数满足，若方程有五个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________.四、解答题17、已知是等差数列，是公比不为1的等比数列，，.(1)求数列，的通项公式；(2)若集合，m，，且，求M中所有元素之和.18、小明参加一个挑战游戏，他每次挑战成功的概率均为.现有3次挑战机会，并规定连续两次挑战均不成功即终止挑战，否则继续下一次挑战.已知小明不放弃任何一次挑战机会，且恰好用完3次挑战机会的概率是.(1)求p的值；(2)小明每挑战成功一次，可以获得500元奖励，记其获得的奖励金额为X，求X的分布列及数学期望.19、直三棱柱中，，，，，点D在线段AB上.(1)当平面时，确定D点的位置并证明；(2)当时，求二面角的余弦值.20、2022年12月15至16日，中央经济工作会议在北京举行.关于房地产主要有三点新提法，其中“住房改善”位列扩大消费三大抓手的第一位.某房地产开发公司旗下位于生态公园的楼盘贯彻中央经济工作会议精神，推出了为期10天的促进住房改善的惠民优惠售房活动，该楼盘售楼部统计了惠民优惠售房活动期间到访客户的情况，统计数据如下表：(注：活动开始的第i天记为，第i天到访的人次记为，)(单位：天)1234567(单位：人次)(1)根据统计数据，通过建模分析得到适合函数模型为(c，d均为大于零的常数).请根据统计数据及下表中的数据，求活动到访人次y关于活动开展的天次x的回归方程，并预测活动推出第8天售楼部来访的人次；参考数据：其中，，，；参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；(2)该楼盘营销策划部从有意向购房的客户中，随机通过电话进行回访，统计有效回访发现，客户购房意向的决定因素主要有三类：A类是楼盘的品质与周边的生态环境，B类是楼盘的品质与房子的设计布局，C类是楼盘的品质与周边的生活与教育配套设施.统计结果如下表：类别A类B类C类频率从被回访的客户中再随机抽取3人聘为楼盘的代言人，视频率为概率，记随机变量X为被抽取的3人中A类和C类的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望.21、设函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若对所有的，都有成立，求实数a的取值范围.22、设函数.（1）讨论的导函数的零点的个数；（2）证明：当时.
参考答案1、答案：C解析：由题意，，，.则.故选：C.2、答案：D解析：由可得：，所以，所以，，因为，，，所以.故选：D.3、答案：D解析：展开式的通项公式为，所以的展开式中，常数项为，故选：D.4、答案：A解析：因为点为角终边上的点，所以，由三角函数的定义知，，所以.故选：A.5、答案：D解析：由题意可知，，.又，，则，，解得，.又为正项等比数列，，即为等差数列，且，.故..又，故或12时，.故选：D.6、答案：D解析：每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项A错误，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：，即选项C错误，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是，即选项D正确，故选：D.7、答案：A解析：设，所以，即，又点Р在圆C上，所以，解得，即a的取值范围是.故选：A.8、答案：C解析：设，，，则，.将A，B的坐标分别代入C的方程，得，两式相减，得，所以，即.当D为AB的中点时，，则，故.如图，设E为C的左顶点，连接OD，则，所以，整理得，解得或(舍去)，则，所以，所以，故C的离心率.故选：C.9、答案：ACD解析：“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”这两个事件不可能同时发生，它们互斥，A正确；“第1次抽到代数题”这个事件发生与否对事件“第2次抽到几何题”发生的概率有影响，“第1次抽到代数题”发生时，“第2次抽到几何题”的概率是，“第1次抽到代数题”不发生时，“第2次抽到几何题”的概率是，它们不独立；B错；第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是，C正确；抽取两次都是几何题的概率是，因此有代数题的概率是，在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是，D正确.故选：ACD.10、答案：BCD解析：对A，由方差的性质可知，若随机变量，满足，则，故A错误；对B，根据正态分布的图象对称性可得，故B正确；对C，根据回归直线过样本中心点可知C正确；对D，由可知判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05，故D正确.故选：BCD.11、答案：ABD解析：对于A，当时，，令，则，，，当时，恒成立，在上单调递增；在上单调递增，根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确；对于B，当时，，又a为正实数，，，当时，恒成立，在上单调递增，则由得：，即，令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，则正实数a的最小值为，B正确；对于C，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；，则；不妨设，则必有，若，则，等价于，又，则等价于；令，则，，，，，即，在上单调递增，，即，，可知不成立，C错误；对于D，由，得：，即，由C知：在上单调递减，在上单调递增；，，则，，，即，；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，即的最大值为，D正确.故选：ABD.12、答案：BCD解析：由，有，又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，则，则，则，A错误；由，可得，解之得，又时，，则，整理得，则数列是首项为3公比为3的等比数列，则，则数列的前n项和，B正确；，则数列的前n项和，C正确；设数列的前n项和，则，，两式相减得整理得，则当时，，D正确.故选：BCD.13、答案：-19解析：，，因为函数为奇函数，所以，故答案为：-19.14、答案：解析：，可得正态分布曲线的对称轴为，又，，即.则，当且仅当，即，时，等号成立.故答案为：.15、答案：解析：因为，.故答案为：.16、答案：解析：令，则方程转化为，作出函数的图象如下图所示，由题意，方程有五个不相等的实数根，即有一个根，一个根或有一个根，一个根令，当有一个根，一个根则解得：，当有一个根，一个根则解得：，综上，实数m的取值范围为.故答案为：.17、答案：(1)，(2)242解析：(1)设的公差为d，的公比为q，则由，，可得，解得.所以，.(2)设，即，得，因为，所以，故，由于，所以，即，所以M中所有元素之和为：.18、答案：(1)(2)分布列见解析，期望为852解析：(1)设事件A：“恰用完3次挑战机会”，则其对立事件：“前两次挑战均不成功”，依题意，，解得.(2)依题意，X的所有可能值为0，500，1000，1500；，，，故，X的概率分布列为：X0P数学期望.19、答案：(1)D是AB的中点，证明见解析(2)解析：(1)当D是AB的中点时，平面.证明：连接，交于点E，连接DE因为三棱柱是直三棱柱，所以侧面为矩形，DE为的中位线，所以.因为平面，平面，所以平面.(2)由，，得.以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.设，因为点D在线段AB上，且，即.所以，.所以，.平面BCD的一个法向量为，设平面的法向量为，由，得所以，，，.设二面角的大小为，，所以二面角的余弦值为.20、答案：(1)；690(2)分布列见解析，数学期望为解析：(1)由得，由，，，，，，.则所求回归方程为：.当时，，故预测活动推出第8天售楼部来访的人次为690；(2)由题意得，A类和C类被抽取得概率为，X可取0，1，2，3，且，，，，.X的分布列为X0123PX的数学期望为.21、答案：(1)(2)解析：(1)，由，得，则在点处的切线方程为，即切线方程为.(2)令，；不等式在时恒成立等价于在时恒成立.令，得；当时，，为减函数，当时，，为增函数.在时恒成立等价于，即，解得.故a的取值范围是.
22、（1）答案：当时，没有零点；当时，存在唯一零点解析：的定义域为，.当时，，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又，当b满足且时，，故当时，存在唯一零点.（2）答案：见解析解析：由(1)，可设在的唯一零点为，当时，；当时，.故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.由于，所以.故当时，.