初中数学人教版九年级上册21.2.2 公式法同步达标检测题

第二十一章  一元二次方程

21.2 解一元二次方程

21.2.2  公式法

学习目标：1.经历求根公式的推导过程.

2.会用公式法解一元二次方程.

3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.

4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.

重点：运用公式法解一元二次方程.

难点：一元二次方程求根公式的推导.

一、知识链接

如何用配方法解方程2x2+4x-1=0?

二、要点探究

探究点1：求根公式的推导

合作探究  任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出它的解呢？

问题1  用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).

解：移项，得ax2+bx=－c，

二次项系数化为1，得x2+    x=

配方，得x2+    x+(    )2=(    )2

即(x+)2=①

问题2  对于方程①接下来能直接开平方解吗？

要点归纳：∵a ≠0，∴4a2>0.要注意式子b2－4ac 的值有大于0、小于0和等于0三种情况.

探究点2：一元二次方程根的判别式

我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“”表示，即= b2－4ac.

练一练  按要求完成下列表格.

典例精析

例1  已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是(   )

A.该方程有两个相等的实数根

B.该方程有两个不相等的实数根

C.该方程无实数根

D.该方程根的情况不确定

例2  不解方程，判断下列方程的根的情况．

(1)  3x2+4x－3=0；      (2) 4x2=12x－9；      (3) 7y=5(y2+1).

方法总结：现将方程变形为一般形式ax2+bx+c=0，再根据根的判别式求解即可.

例3  若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是(    )

1. q≤4                           
2. q≥4
3. q<16                          
4. q>16

【变式题】二次项系数含字母

若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(   )

1. k>－1                          
2. k>－1且k≠0
3. k<1                            
4. k<1且k≠0

方法总结：当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母的取值范围.

【变式题】删除限制条件“二次”

若关于x的方程kx2－2x－1=0有实数根，则k的取值范围是(   )

1. k≥－1                          

B.k≥－1且k≠0

C.k<1                          

D.k<1且k≠0

探究点3：用公式法解方程

由上可知，当≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

典例精析

例4  (教材p11例2)用公式法解下列方程：

(1)  x2－4x－7=0；         (2) 2x2－+1=0；         

(2)  5x2－3x=x+1；         (4) x2+17=8x.

要点归纳：公式法解方程的步骤：

1.变形：化已知方程为一般形式； 

2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；

3.计算：b2－4ac的值；

4.判断：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若b2－4ac<0，则方程没有实数根.

三、课堂小结

1.不解方程，判断下列方程的根的情况．

(1) 2x2+3x－4=0；        (2) x2－x+=0；         (3) x2－x+1=0.

2.解方程：x2 +7x–18 = 0.

3.解方程：(x－2) (1－3x) = 6.

4.解方程：2x2－x + 3 = 0.

5.（1）关于x的一元二次方程有两个实根，则m的取值范围是         ；

（2）若关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=2有实数根．求m的取值范围.    

6.不解方程，判别关于x的方程的根的情况.

能力提升： 

在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.

参考答案

自主学习

一、知识链接

解：方程整理得配方，得.直接开平方，得，∴.

课堂探究

二、要点探究

探究点1：求根公式的推导

问题1              

问题2    不能，需要注意右边式子有大于0，等于0，小于0三种情况.

探究点2：一元二次方程根的判别式

两个不相等实数根    两个相等实数根    没有实数根    两个实数根

练一练   从上往下，从左到右依次为0，，4，有两个相等实数根，没有实数根，有两个不相等的实数根

典例精析

例1   B  解析：原方程变形为x2+x－1=0.∵b2－4ac=1－4×1×(－1)=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.

例2   解：（1）3x2+4x－3=0，a=3，b=4，c=－3，∴b2－4ac=42－4×3×(－3)=52＞0.∴方程有两个不相等的实数根．

（2）方程化为：4x2－12x+9=0，∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.∴方程有两个相等的实数根．

（3）方程化为：5y2－7y+5=0，∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根．

例3   C  解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，即82－4q>0.解得q＜16，故选C.

【变式题】B  解析：方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，即(－2)2+4k>0.又二次项系数不为0，可得k>－1且k≠0，故选B.

【变式题】A  思路分析：分k=0或k≠0两种情况进行分类讨论.

探究点3：用公式法解方程

例4    解：(1)a=1，b=－4，c=－7，b2－4ac=(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.方程有两个不相等的实数根即.

(2)a=2，b=，c=1，b2－4ac=()2－4×1×2=0.方程有两个相等的实数根，即.

(3)方程化为5x2－4x－1=0，a=5，b=－4，c=－1，b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.方程有两个不相等的实数根即.

(4)方程化为x2－8x+17=0，a=1，b=－8，c=17，b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4＜0.方程无实数根.

当堂检测

1.解：(1)a=2，b=3，c=－4，b2－4ac=32－4×2×(－4)=41＞0.方程有两个不相等的实数根.

(2)a=1，b=－1，c=，b2－4ac=(－1)2－4×1×=0.方程有两个相等的实数根.

(3)a=1，b=－1，c=1，b2－4ac=(－1)2－4×1×1=－3＜0.方程无实数根.

2.解：这里a=1，b=7，c=－18，b2－4ac=72－4×1×(－18)=121＞0.

∴.

3.   解：去括号，得x－2－3x2 + 6x = 6，化为一般式为3x2－7x + 8 = 0，这里a=3，b=－7，c=8，b2－4ac=

(－7)2–4×3×8 =49－96=－47＜0.∴原方程无实数根.

4.这里a=2，b=，c=3，b2－4ac=()2－4×2×3=3＞0.

∴.

5.(1)m≤1 

(2)解：化为一般式(m－1)x2－2mx+m－2=0．Δ＝4m2−4(m−1)(m−2)≥0，且m－1≠0，解得且m≠1.

6.解：，∵，∴，∴∴方程有两个实数根.

能力提升

解：关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，

所以Δ=b2－4ac=(b－2)2－4(6－b)=b2+8b－20=0.所以b=－10或b=2.

所以b=2（舍去b=-10）.

所以△ABC 的三边长为2，2，5或2，5，5，

因为2，2，5不满足三角形的三边关系，

所以△ABC 的三边长为2，5，5，

其周长为2+5+5=12.