2023湖北省部分普通高中联盟高一下学期期中联考数学试题PDF版含答案

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七校联合体2022-2023学年度第二学期高一数学期中考试试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列说法正确的是(    )

A. 第二象限角比第一象限角大
B. 角与角是终边相同角
C. 斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D. 将表的分针拨快分钟，则分针转过的角的弧度数为

【答案】

C 

【解析】

【分析】

本题考查了终边相同的角、象限角、锐角等基本概念及其意义，属于基础题．
举例说明A错误；由终边相同角的概念说明B错误；由斜三角形的内角得范围说明C错误；求出分针转过的角的弧度数说明D正确．

【解答】

解：对于，是第二象限角，是第一象限角，，故A错误；
对于，，与终边不同，故B错误；
对于，斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角，故C正确；
对于，分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨快是顺时针旋转，
钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为，故D不正确．

2.  已知是第三象限角，且，那么(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

A 

【解析】

【分析】
本题考查了同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属于基础题．
根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是，所以把正弦和余弦的平方和等于两边平方，
又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果．
【解答】
，
，
，
，
角是第三象限角，
，
故选A．  

3.  如图，已知中，为的中点， ，若，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

【答案】

C 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的基本定理及其应用，向量的线性运算，属基础题．
由为的中点，，可得，比较已知可得值．

【解答】

解：为的中点，，
，
又，
则，，
故选C．

4.  在中，角，，所对应的边分别为，，已知，则(    )

A. 一定是直角三角形 B. 一定是等腰三角形 C. 一定是等腰直角三角形 D. 是等腰或直角三角形

【答案】

B 

【解析】

【分析】
本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．
由两角和的正弦函数公式，正弦定理可得：，化简已知等式可得，利用余弦定理可求，结合范围，，可求，即可得解．
【解答】
解：，
由正弦定理可得：，
，
，
，
，，
则一定是等腰三角形．
故选：．  

5.  如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是(    )
 

A.  B.  C.  D.

【答案】

D 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的坐标运算，向量的几何运用，三角函数的性质，辅助角公式，属于拔高题．
建立坐标系，求出向量坐标，设，，根据向量坐标的运算得到，，则，根据三角函数的性质即可求出最值．

【解答】

解：以为轴，以为原点，建立坐标系，如图，

设，，
则，，，
，

，
，，
，，

，
，
，
当时，，
即的最小值为．

故选D．

6.  已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

C 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大，根据已知可得为正奇数，且，结合为的零点，求出满足条件的解析式，并结合在单调，可得的最大值．

【解答】

解：为的零点，为图象的对称轴，

，即，，即，，即为正奇数，

在单调，则，即，解得，

当时，，，，，

此时在不单调，不满足题意；
当时，，，

，，此时在单调，

满足题意，故的最大值为．
故选C．

7.  骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆前轮，圆后轮的直径均为，，，均是边长为的等边三角形，设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

B 

【解析】

【分析】

本题考查数量积的运算、三角函数的性质在实际问题中的应用，同时考查了学生的数学建模的核心素养．属于拔高题．
根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．

【解答】

解：据题意：圆后轮的半径均为，，，均是边长为的等边三角形．点为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：

则，，
圆的方程为，可设，
所以，
故
．
故选：．

8.  已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的

A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心

【答案】

B 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的五心，本题解题的关键是知道三角形的五心是有什么线相交而成，本题是一个基础题．
先对题设中的等式进行变形，可得，可得在中线上，由此选出正确选项．
【解答】
解：


，即，即
在边的垂直平分线，
由三角形外心的定义知，点的轨迹过的外心，
故选B．  

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，则下列结论正确的是(    )
 

A.  B.
C.  D.

【答案】

AC 

【解析】

【分析】

本题考查数学文化和向量的应用，考查了向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，直接利用向量的数量积的应用，向量的模和向量的夹角的应用求出结果．

【解答】

解：因八卦图为正八边形，故中心角为，，
，项正确；
与的夹角为，又因为，
所以，项错误；
，，
中，由余弦定理可得
，
则，故C项正确、项错误．
故A、项正确．

故选AC．

10.  筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具．筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史。如左下图．假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点水面与筒车右侧的交点，从此处开始计时，下列结论正确的是(    )
 

A. 分钟时，以射线为始边，为终边的角为
B. 分钟时，该盛水筒距水面距离为米
C. 分钟时该盛水筒距水面距离与分钟时该盛水筒距水面距离相等
D. 个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于米

【答案】

ACD 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数模型的应用，涉及弧度制的概念及应用，任意角的三角函数，函数的性质，正弦函数的图象与性质，属中档题．
对于，由题意及图象可得，筒车转动周期和转速，结合弧度制的概念即可判定；对于，由图象结合任意角的三角函数求解即可判定；对于，分别计算分钟和分钟时的距离即可判定；对于，解不等式，结合计算即可判定．

【解答】

解：对于，由题意及图象可得，筒车转动周期为，所以转速为，
又由题意可得盛水筒的初始位置为点的纵坐标为，半径为，所以，
分钟时，水筒转了，所以以射线为始边，为终边的角为，故A正确；
对于，分钟时，以射线为始边，为终边的角为，
所以该盛水筒距的距离为米，
所以该盛水筒距水面的距离为米，故B错误；
对于，由选项B可得，分钟时该盛水筒距水面距离为米，
分钟时该盛水筒距水面距离为米，
所以分钟时该盛水筒距水面距离与分钟时该盛水筒距水面距离相等，故C正确；
对于，由，可得，
解得，即，
因为，所以，
所以共有分钟，故D正确．
故选ACD．

11.  有下列说法其中正确的说法为(    )

A. 若，，则：
B. 若，，分别表示，的面积，则；
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向；
D. 若，则存在唯一实数使得

【答案】

BC 

【解析】

【分析】
本题考查向量的基本概念及运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
结合向量的概念及运算等相关知识，逐一判断即可，判断错误选项举反例即可．
【解答】
解：若，则，
如果都是非零向量，，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，
所以选项是错误的；
B. 如图，，分别是，的中点，

，
所以，
所以，即，
且有公共点，所以、、三点共线，
且，所以
故可知到的距离等于到距离的，
根据三角形面积公式可知，
所以选项是正确的；
选项两边平方可得 ，
所以，
即夹角为，则与共线且反向；选项正确，
D. 若，
如果是非零向量，，
则不存在实数使得，
所以选项是错误的．
故选：．  

12.  已知函数，则下列结论中正确的是(    )

A. 若，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
B. 若，且的最小值为，则
C. 若在上单调递增，则的取值范围为
D. 若在有且仅有个零点，则的取值范围是

【答案】

ABD 

【解析】

【分析】

本题考查三角恒等变换以及函数的图象与性质，属于中档题．
先化简的解析式由三角函数的图像变换判断选项A可得周期为，从而可判断由可判断选项C设，即在仅有个零点，可判断选项D．

【解答】

解：函数，
选项A若，，
将的图像向左平移个单位长度得函数的图像，所以A正确
选项B若，的最小值为，则最小正周期是，所以，B正确
选项C若在上单调递增，则，所以，C错误
选项D设，当时，，
若在仅有个零点，即在仅有个零点，
则，所以，D正确，
故选：．

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为______．

【答案】

【解析】解：根据扇形的弧长公式可得，
根据扇形的面积公式可得．
故答案为：．
先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．
本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题．
 

14.  已知，，分别是与，方向相同的单位向量，在上的投影向量为，在上的投影向量为，则与的夹角为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查投影向量，向量的数量积，向量的夹角，属于一般题．

根据投影向量定义列出方程，求解，，再根据向量的夹角公式，即可求解．

【解答】

解：在上的投影向量为，
，即
在上的投影向量为，
，即
，
由，，得，，，，
因为，所以．
故答案为：．

15.  已知在中，，，，若点为四边形内一点不含边界，且，则实数的取值范围为          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查向量的相关运算、平面向量的基本定理及其应用等向量的几何运用，考查推理能力，属于较难题．
设，则为的五等分点，过作，分别交，于，，连接，则点，为临界点，由可得，即，，再利用平行性质可得，即可求解．

【解答】

解：在线段上取一点，使得．
设，则，，则．
过作，分别交，于，，连接，则点，为临界点．

由可得，即，．
因为，
所以，，
所以，
则，即．
故

16.  已知函数的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围为          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象及性质，考查转化思想以及计算能力．
根据，求解内层函数的范围，由题意在上恰有两个最高点，结合三角函数的性质建立不等式可得结论．

【解答】

解：函数，
上．
．
的图象在上恰有两个最高点，
，
解得．
故答案为．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

设，是不共线的两个非零向量．

若，，，求证：，，三点共线；

若，，，且，，三点共线，求的值．

【答案】

证明：由已知得，，，
故，又与有公共点，
所以，，三点共线．

解：，．
因为，，三点共线，所以，
即，与是不共线的两个非零向量，

所以所以
综上，的值为．

【解析】本题主要考查了向量的加减法，向量共线的判定，属于较易题．
由，，故，可得结果．
，由题意，，即，所以解方程即可得出结果．
 

18.  本小题分

如图为函数的部分图象．

求函数解析式；

求函数的单调递增区间；

若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围．

【答案】

解：由题中的图象知，，，
即，所以，
令，
得到，
，，
函数解析式为；
令，，
解得，，
的单调递增区间为，；
当时，，，
所以当方程在上有两个不相等的实数根时，
由正弦函数的图象和性质可知，上有两个不同的实根． 

【解析】本题考查函数的图象与性质及函数图象的应用，属于中档题．
由已知图象求出振幅、周期和相位，得出解析式；
由的解析式，结合正弦函数的性质求单调增区间；
利用方程的根与函数零点的关系，结合三角函数的图象和性质即可求满足条件的的范围．
 

19.  本小题分
如图，在中，内角的对边分别为已知，，，且为边上的中线，为的平分线．
 

求线段的长；

求的面积．

【答案】

解：根据题意，，
由正弦定理知：．
又，，；
又由，解得，即，则．
在中，由余弦定理得，
解得．
根据题意，因为平分，
所以，故，
变形可得，，则，
所以． 

【解析】本题考查应用余弦定理解三角形，涉及角平分线的性质，关键是掌握余弦定理的形式和变形应用．
在中，利用余弦定理计算，再在中利用余弦定理计算；
根据角平分线的性质得出，于是．
 

20.  本小题分
如图，在四边形中，，．


 

若为等边三角形，且，是的中点，求的值；

若，，，求的值．

【答案】

解：因为为等边三角形，且，
所以．
又，所以．
因为是中点，
所以
．
又，
所以

．
因为，，所以．
因为，所以，
所以．
又，
所以，
所以，
所以． 

【解析】本题考查了平面向量的线性运算及数量积，
先表示以及即可表示，再利用线性运算及数量积公式即可求得．
根据，再结合已知求出，即可求得，从而表示，利用线性运算及数量积公式即可．
 

21.  本小题分
从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱简称“孔方兄”是我国使用时间长达两千多年的货币．如图，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图所示，小圆直径厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形边长比孔的边长小，每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设，五个正方形的面积和为．
求面积关于的函数表达式，并求的范围；
求面积最小值，并求出此时的值．
 

【答案】

解：过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，，
因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，所以点，分别为小正方形和大正方形边的中点，
所以小正方形的边长为，
大正方形的边长为，
所以五个正方形的面积和为
，
因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，
所以，，，
所以的取值范围为，．

，

，其中，，
所以，此时，
因为，所以，
所以，
所以，
则，化简得：，
由此解得：，
因为，所以． 

【解析】本题考查函数的实际应用，三角函数的有界性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，，求出小正方形的边长，大正方形的边长，推出五个正方形的面积和的表达式，然后求解的取值范围为，的范围．
利用两角和与差的三角函数化简的表达式，利用三角函数有界性，求解最值即可．
 

22.  本小题分
在平面向量中有如下定理：已知非零向量，，若，则．
拓展到空间，类比上述定理，已知非零向量，，若，则_______请在空格处填上你认为正确的结论
若非零向量，，，且，利用的结论求当为何值时，分别取到最大、最小值？

【答案】

解：非零向量，，若，则．
拓展到空间，类比上述定理，非零向量，，，
则．
，
又，
，得到
，
若或，此方程无解，
，即且，
，
，，
又，，解得，
当时，最小，此时最大，
任意角的余弦最小为，当
即，此时或，
综上：当时，有最大值；
当或时，有最大值． 

【解析】拓展到空间，类比上述定理，可得．
由，得；由，得，推导出，解得，由此能求出结果．
本题考查向量垂直、余弦函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．