四川省泸县第五中学2022-2023学年高二理科数学下学期3月月考试题（Word版附解析）

2022-2023学年四川省泸州市泸县五中高二（下）月考

数学试卷（理科）（3月份）

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】由特称命题的否定为全称命题：将变并否定原结论，即可写出题设命题的否定.

【详解】由特称命题的否定为全称命题，知：题设命题的否定为，.

故选：C

2. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用导数的运算法则可求得，进而可求得的值.

【详解】由题意，得，则，

故选：D．

3. 已知，，则是成立的（    ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由题意结合绝对值不等式、一元二次不等式的求解可得命题、所对应的集合，再由集合间的关系、充分条件、必要条件的概念即可得解.

【详解】由题意，，

因为，

则是成立的必要不充分条件.

故选：A.

【点睛】本题考查了绝对值不等式、一元二次不等式的求解，考查了必要不充分条件的判断，属于基础题.

4. 函数的大致图象为　　

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．

【详解】函数，

则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，

，排除B，

故选A．

【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键．

5. 某班男女生各10名同学最近一周平均每天的锻炼时间（单位：分钟）用茎叶图记录如下：

假设每名同学最近一周平均每天的锻炼时间是互相独立的.

①男生每天锻炼的时间差别小，女生每天锻炼的时间差别大；

②从平均值分析，男生每天锻炼的时间比女生多；

③男生平均每天锻炼时间的标准差大于女生平均每天锻炼时间的标准差；

④从10个男生中任选一人，平均每天的锻炼时间超过65分钟的概率比同样条件下女生锻炼时间超过65分钟的概率大.

其中符合茎叶图所给数据的结论是（    ）

A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④

【答案】C

【解析】

【分析】

根据茎叶图，计算出平均数，由古典概型的概率计算公式计算出概率，以及由数据的分散程度可说明方差的大小，即可判断.

【详解】解：由茎叶图知，男生每天锻炼时间差别小，女生差别大，①正确.

男生平均每天锻炼时间超过65分钟的概率，女生平均每天锻炼时间超过65分钟的概率，，因此④正确.

设男生、女生两组数据的平均数分别为，，标准差分别为，.

，知，②正确.

又根据茎叶图，男生锻炼时间较集中，女生锻炼时间较分散，

∴，③错误，

因此符合茎叶图所给数据的结论是①②④.

故答案为：①②④

【点睛】本题考查茎叶图中数据的分析问题，属于基础题.

6. 函数的极大值点为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】对函数求导，根据导数由函数单调性，即可容易求得函数的极大值点.

【详解】，当或时，，单调递增；

当时，，单调递减；

故的极大值点为.

故选：A.

【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.

7. 袋中有2个红球5个白球，取出一个白球放回，再取出红球的概率是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】取出一个白球再放回，相当于情况不变．用红球个数除以球的总数即为摸到红球的概率．

【详解】解：所有机会均等的可能有7种，摸到红球的可能有2种，因此取出红球的概率为 ，故选B.

【点睛】本题考查古典概型，概率等于所求情况数与总情况数之比．

8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线交于，两点，若的周长为，则的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由椭圆的定义知的周长为，结合已知条件求出，再由离心率求出，进而求出，从而得出答案.

【详解】依题意的周长为，

.

故选:C

【点睛】本题考查椭圆的定义在解题中应用，以及离心率求椭圆的标准方程，属于基础题.

9. 已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】对函数求导函数，由已知条件得其导函数在上有零点，建立不等式组可得范围.

【详解】,由于函数在上有极值点，所以在上有零点,所以，解得.

故选：C.

【点睛】本题主要考查导函数的极值问题，关键在于得出导函数在所给的区间上有零点，转化为求解不等式组的问题，属于基础题,

10. 若直线与的图象有三个不同的交点，则实数的取值范围是

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：因，故函数在处取极小值，在取极大值，故结合函数的图象可知当，两函数与的图象有三个交点，应选A.

考点：导数在研究函数的零点中的运用．

11. 设拋物线的焦点是，直线与抛物线相交于两点，且，线段的中点到拋物线的准线的距离为，则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 3 D.

【答案】C

【解析】

【分析】设出线段的长度，用余弦定理求得的长度，利用抛物线的定义以及梯形的中位线长度的计算，从而转化为的关系式，再结合不等式即可求得其最小值.

【详解】设，，

过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，如下所示：

则，，

因为点为线段的中点，根据梯形中位线定理可得，点到抛物线的准线的距离为，

因为，所以在中，由余弦定理得，

所以，

又因为，所以，当且仅当时，等号成立，（显然存在），

所以，则的最小值为.

故选：C.

【点睛】关键点睛：本题考查抛物线中的最值问题，处理问题的关键是充分利用抛物线的定义，还要注意到不等式的应用。

12. 设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P­2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是

A. (0,1) B. (0,2) C. (0,+∞) D. (1,+∞)

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：设（不妨设），则由导数几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即．分别令得又与的交点为，故选A．

考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据双曲线定义，求解.

【详解】由双曲线的定义得，又，

所以，或

经检验，舍去，

所以.

故答案为：.

14. 下图给出是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是____________.

【答案】

【解析】

【分析】结合题中程序框图,当时,不满足判断框条件,当时,满足判断框的条件,从而可得出结论.

【详解】开始,

第一次循环,,,此时不满足判断框的条件;

第二次循环,,,此时不满足判断框的条件;

第三次循环,,,此时不满足判断框的条件;

…

到第十次循环,,,此时满足判断框的条件,

输出,

故判断框的条件是“”.

故答案为:.

【点睛】本题考查程序框图,考查判断框应该填入的条件,考查学生的推理能力,属于基础题.

15. 设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则成立时的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【详解】设函数，则，即函数在上单调递减；

因为为奇函数，所以为偶函数，因此在上也单调递增；

又，所以，

当时，；当时，；

当时；当时，；

故应填答案．

16. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是____________.

【答案】

【解析】

【分析】参变分离后令，则根据已知可得，利用导数求出，即可得出答案.

【详解】，

，

，

，

令，

则若关于的不等式有解，

则，

，

，则当时，，当时，，

故当时，单调递增，当时，单调递减，

则，

则，

故实数的取值范围是，

故答案为：.

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 在直角坐标系中，设倾斜角为的直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点.

（1）若，求线段中点的坐标；

（2）若，其中，求直线的斜率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【详解】试题分析：（1）将曲线的参数方程化为普通方程，当时，设点对应参数为．直线方程为代入曲线的普通方程，得，由韦达定理和中点坐标公式求得，代入直线的参数方程可得点的坐标；（2）把直线的参数方程代入椭圆的普通方程可得关于参数的一元二次方程，由已知条件和韦达定理可得，求得的值即得斜率.

试题解析：设直线上的点，对应参数分别为，．将曲线的参数方程化为普通方程．

（1）当时，设点对应参数为．直线方程为（为参数）．

代入曲线的普通方程，得，则，

所以，点的坐标为．

（2）将代入，得，

因为，，所以．

得．由于，故．

所以直线的斜率为．

考点：直线的参数方程与椭圆参数方程及其在研究直线与椭圆位置关系中的应用.

18. 如图，在三棱柱中，，，，.

（1）证明：平面平面.

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】(1) 在和中，利用勾股定理可得，，再根据面面垂直的判定定理证明即可；

(2) 以为坐标原点建系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，再计算法向量夹角余弦值，即可求出二面角的余弦值.

【详解】(1)证明：如图，连接，在中，，，，

由余弦定理，得，

所以，所以，

所以，同理，又，平面,

所以平面,又平面，

所以平面平面.

(2)解：以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，

所以，，，.

设平面的法向量为，则

令，得.

设平面的法向量为，则

令，得，

所以.

由图可知，二面角锐角，

所以二面角的余弦值为.

【点睛】方法点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：

第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；

第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；

第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；

第四，破“应用公式关”.

19. 已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）若在上单调递增，求的取值范围.

【答案】（1）极小值为，无极大值   

（2）

【解析】

【分析】（1）求导得到，确定函数的单调区间，根据单调区间计算极值得到答案.

（2）在上恒成立，得到，解得答案.

【小问1详解】

当时，，，令得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以的极小值为，无极大值.

【小问2详解】

在上恒成立，即在上恒成立，所以.

20. 有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：

且已知＝380.0.

（1）求第10年的年收入x10；

（2）若该城市居民收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程＝.

①求第10年的销售额y10；

②若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01）.

附：（1）在线性回归方程＝x+中，＝，.（2）﹣10＝254.0，＝12875.0，＝340.0.

【答案】（1）亿元；（2）①万元；②万元.

【解析】

【分析】（1）根据累和符号的意义进行求解即可；

（2）①结合已知所给的数据，结合求的公式进行求解即可；

②根据所给的数据，求出线性回归方程，运用代入法进行求解即可.

【详解】（1）因为＝380.0，所以有：

；

（2）①，，

，解得；

②，

因为，所以有，

因此有＝，

当时，＝,

估计这种商品的销售额是万元.

【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了数学运算能力.

21. 已知椭圆 的离心率为，其左、右焦点分别为，上顶点为，且的面积为.

（1）求椭圆 的方程；

（2）直线 与椭圆交于两点，为坐标原点.试求当为何值时，使得恒为定值，并求出该定值.

【答案】（1）   

（2），定值为5

【解析】

【分析】(1)根据题意列出关于的方程，解方程求得其值，可得答案；

(2)联立，设，可求得根与系数的关系式，从而求得的表达式，由此可得结论.

【小问1详解】

由已知，点 的坐标分别为，

又点的坐标为，且，

于是 ，

解得，

所以椭圆 方程.

【小问2详解】

联立 ，

消元得，，

方程判别式，

即，

设 ，

则 ，

所以

，

当 为定值时，即与无关，

故 ，得，

所以，恒成立

【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.

22. 已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：．

【答案】(1) 见详解；(2)；(3)证明见解析．

【解析】

【详解】试题分析：(1)借助题设条件运用分类整合思想分类讨论；（2）借助题设构设函数,运用导数知识求解；(3)依据题设构设函数,建立不等式运用导数的知识分析推证．

试题解析：

（1）的定义域为，，

当时，，故在单调递增；

当时，，故在单调递减；

当时，令，解得．

则当时，；时，．

故在单调递增，在单调递减．

（2）因为，所以：

当时，恒成立，

令，则，

因为，由得，

且当时，；当时，．

所以在上递增，在上递减，所以，

故．

(3)取,则代入由题设可得,取,并将上述各不等式两边加起来可得．

考点：导数的知识分类整合思想及推理论证能力等有关知识的综合运用．

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以函数解析式为背景,精心设置了三个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力．本题的第一问是求函数的单调区间,求解时分类对函数求导,分析探求出其单调区间；第二问先分析转化,再构造函数,运用导数的知识使得问题获解；(3)运用已知推证的结论构造不等式,从而使得不等式简捷巧妙获证．