第一次月考数学模拟检测卷[范围：三角函数；平面向量]-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（北师大版2019必修第二册）

第一次月考模拟检测卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

范围：三角函数、平面向量

（时间：120 分钟，满分：150 分）

一、单选题单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。）

1．（2022秋·重庆合川·高一重庆市合川中学校考期末）若，则它是（　　）

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】B

【分析】将弧度制化为角度制，再判断角度所在象限.

【解析】，故，

故在第二象限，

故选：B.

2．半径为，圆心角为的弧长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据弧长公式直接计算求解.

【解析】因为半径为，圆心角为，

所以弧长，

故选：A

【点睛】本题主要考查了弧长公式，弧度制，属于容易题.

3．下列化简结果错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据向量加减法运算法则计算即可

【解析】对A，原式，正确；

对B，原式，正确；

对C，原式，正确；

对D，原式，错误.

故选：D．

4．把函数的图象向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数的图象的平移变换可得到平移后的图象对应的函数的解析式，根据函数为偶函数，可求得结果.

【解析】函数的图象向右平移个单位后,

得到的图象对应的解析式是： ，

由于该函数为偶函数，故，

即，而，

故，

故选：D

5．已知是上的偶函数，且，当时，，则（    ）

A．－0.75 B．－0.25 C．0.25 D．0.75

【答案】D

【分析】由条件可得是周期为的函数，又是偶函数，所以，代入已知解析式即可求解.

【解析】由得，

，故，

所以4是的一个周期，

故，

故选：D．

6．满足的一个可能值为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】借助三角函数的单调性，采用中间值法，逐一判断四个选项，即可得到答案.

【解析】当时，，，不满足，所以A选项错误；

当时，，，不满足，所以B选项错误；

当时，，，，满足，所以C选项正确；

当时，，，不满足，所以D选项错误.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角函数的单调性，熟记特殊三角函数值是本题的解题关键，属于基础题.

7．记函数的图象为，函数的图象为，则（     ）

A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到；

B．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到

C．把向左平移个单位长度，再把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到

D．把向左平移个单位长度，再把得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到

【答案】B

【解析】利用函数的图象变换规律对各个选项进行检验即可.

【解析】对于A， 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到，错误；

对于B， 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，

再把得到的图象向右平移个单位长度，得到，正确；

对于C， 把向左平移个单位长度，得到，再把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，不正确；

对于D， 把向左平移个单位长度，得到，再把得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到，错误.

故选：B.

【点睛】本题考查函数的图象变换规律，可以先平移变换再伸缩，或先伸缩变换再平移变换，属于基础题.

8．已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由确定点的位置，再利用与的面积之比列方程来求得的值.

【解析】由得，

设，则.

由于，所以A，B，D三点共线，如图所示，

∵与反向共线，，∴，∴，

∴.

故选：D

二、多选题多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9．已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（    ）

A．且

B．存在相异实数λ，μ，使

C．x＋y＝(其中实数x，y满足x＋y＝0)

D．已知梯形ABCD，其中＝，＝

【答案】AB

【分析】由向量共线定理即可判断AB符合条件，C中存在x＝y＝0的情况，D中可能不是梯形上下底.

【解析】对于A，因为向量是两个非零向量，

且，解得：，，

此时，所以共线，故A正确；

对于B，由共线定理知，存在相异实数λ，μ，即λ，μ不全为0，

使λ－μ＝，则非零向量是共线向量，故B正确；

对于C，x＋y＝ (其中实数x，y满足x＋y＝0)，

如果x＝y＝0，则不能保证共线，故C不正确；

对于D，已知梯形ABCD中，＝，＝，不一定是梯形的上、下底，故D错误．

故选：AB

10．若为第二象限角，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项.

【解析】因为为第二象限角,

,,

所以A,B正确，D不正确；

当时，，当时，，所以C不一定正确.

故选:AB

11．已知的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小正周期为

B．在上单调递增

C．当时，的取值范围为

D．是偶函数

【答案】AB

【分析】利用平移的原则得，则最小正周期为，则可判断A，求出，利用复合函数单调性则可判断BC，根据奇偶函数的判定方法则可判定D.

【解析】，

对A，的最小正周期为，故A正确；

对B，当，，根据在上单调递增，

则在上单调递增，故B正确；

对C，由B得，即取值范围为，故C错误；

对D，定义域关于原点对称，但，

则为奇函数，故D错误.

故选：AB.

12．（2022春·吉林·高一东北师大附中校考阶段练习）已知 两点位于直线 两侧， 是直线 上两点， 且 的面积是 的面积的 2 倍，若 ， 下列说法正确的是（    ）

A． 为奇函数

B． 在 单调递减

C． 在 有且仅有两个零点

D． 是周期函数

【答案】ABC

【分析】设与直线交于，利用向量共线定理可得，进而可得，然后利用函数奇偶性的定义可判断A，利用基本函数的单调性可判断B，利用数形结合可判断C，利用函数周期性的可判断D.

【解析】设与直线交于，由题可得，

又，

∴，

∴，

∴，函数的定义域为，

又，

∴函数为奇函数，故A正确；

因为函数在 上为减函数，

所以 在 上单调递减，故B正确；

由，可得，

所以函数 在 的零点数即为与的交点数，

结合函数的图象可得 在 有且仅有两个零点，故C正确；

因为，函数为周期函数，而函数不是周期函数，故不是周期函数，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．与终边相同的最小正角的弧度数是_________.

【答案】

【分析】根据终边相同角的表示法，结合坐标系中角的定义，可得答案.

【解析】因为，

所以与的终边相同，即.

故答案为.

【点睛】本题考查终边相同角的表示法、角度制与弧度制的互化，考查基本的运算求解能力.

14．已知向量，不平行，向量与平行，则实数___________.

【答案】

【分析】根据与平行即可得出，根据平面向量基本定理即可得出，解出即可．

【解析】因为向量，不平行，向量与平行，

所以，

所以，

解得：.

故答案为：.

15．函数，当时恒有解，则实数的范围是______．

【答案】

【分析】利用换元法，结合二次函数的性质求得的取值范围.

【解析】，

令，得，

令，，其对称轴，

所以在上递增，当时，取得最小值，当时，取得最大值.

所以的取值范围是.

故答案为：

16．（2023秋·山西运城·高一康杰中学校考期末）关于函数有下述结论：

①是偶函数；

②函数是周期函数，且最小正周期为；

③函数在区间上单调递减；

④函数在有3个零点；

⑤函数的最大值为2．

其中所有正确结论的编号是__________．

【答案】①③④⑤

【分析】利用函数奇偶性的概念即可判断①；由判断②；

由，去掉绝对值，得，再根据正弦函数的单调性可判断③；

由函数是偶函数，则只需要考虑上的零点个数，，再根据正弦函数的零点即可判断④；

由函数是偶函数，则考虑的情况即可，写出分段函数解析式即可判断⑤．

【解析】①函数的定义域为R，又，

∴函数是偶函数，故①正确；

②当时，，时，，故最小正周期不为，故②错误；

③当时，，在上单调递减，故③正确；

④∵函数是偶函数，∴只需要考虑上的零点个数，

此时，在上有2个零点，为，

∴在有3个零点，为，故④正确；

⑤∵函数是偶函数，

∴考虑的情况即可，

当时，，

∴的最大值为2，故⑤正确．

故答案为：①③④⑤

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17．（1）已知，，求.

（2）已知向量，且，，求，.

【答案】（1）－ －5；（2） .

【分析】(1)利用向量的数乘及加减法计算即可；

（2）解方程即可得出结果.

【解析】解(1)原式 = + =－ + .

∵，，

∴原式=－(3+2)+(2)= + =－ －5.

(2)将3=两边同乘2，得6－2=2.

与5+2=相加，得11=+2，∴= + .

∴=3=3= .

18．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.

(1)若α＝75°，R＝12 cm，求扇形的弧长l和面积；

(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】分析：（1）利用扇形的弧长公式和面积公式可以直接求值；

（2）由已知得，l＋2R＝20，而S＝lR＝－(R－5)2＋25，利用二次函数的图像性质求最值即可.

详解：(1)α＝75°＝，  l＝12×＝5(cm)．   

所以S=lR=30(cm2)    

(2)由已知得，l＋2R＝20，

所以S＝lR＝ (20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，   

所以当R＝5时，S取得最大值25，

此时l＝10(cm)，α＝2 rad.  

点睛：本题考查扇形的弧长公式和面积公式，考查了逻辑推理能力及计算能力，是基础题．

19．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）如图，以x轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆O相交于点P，已知点P的横坐标为．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角函数的定义及同角三角函数基本关系计算即可；

（2）利用诱导公式化简，然后转化为用表示，代入的值计算即可.

【解析】（1）点P的横坐标为，

，又，

，

；

（2）.

20．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．

(1)用，表示；

(2)若，，求的值．

【答案】(1)

(2)3.

【分析】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可；

（2）根据（1）的结论，转化用，表示，

根据三点共线找出等量关系；

【解析】（1）在中，由,

又，

所以，

所以

（2）因为，

又，

所以，，

所以，

又三点共线，且在线外，

所以有：，

即.

21．（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据图像得出周期，即可根据三角函数周期计算得出，将点代入新解析式，得，根据已知得出范围，结合三角函数的零点得出，将点代入新解析式，即可得出，即可得出答案；

（2）设，根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简，结合已知与函数单调性的定义得出在区间上单调递减，由三角函数的单调区间解出的单调递减区间，即可根据范围结合集合包含关系列出不等式组，即可解出答案.

【解析】（1）由图像可知，周期，

，

因为点在函数图像上，

所以，即，

又，

，

则，即，

因为点在函数图像上，所以，即，

故函数的解析式为.

（2）由题意可得，

设

，当时，恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

在区间上单调递减，

令，解得，

因为，所以，则，

故，解得，

所以最大值为.

22．（2022春·广东广州·高一校联考期末）若函数满足且，则称函数为“函数”.

(1)试判断是否为“函数”，并说明理由；

(2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；

(3)在（2）的条件下，当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求.

【答案】(1)不是，理由见解析

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）根据“函数”的定义判断可得出结论；

（2）分析可知函数是周期为的周期函数，且，分、两种情况分析，结合题意可出函数的解析式，进而可得出函数 上的单调递增区间；

（3）作出函数在上的图象，数形结合可得实数在不同取值下，方程的根之和，再结合函数的周期性可求得的值.

【解析】(1)解：函数不是为“函数”，理由如下：

因为，

，所以，，

因此，函数不是为“函数”.

(2)解：函数满足，所以，函数为周期函数，且周期为，

因为，则.

①当时，，

则；

②当，则，

则，

所以，.

综上所述，，

所以，函数在上的单调递增区间为、.

(3)解：由（2）可得函数在上的图象如下图所示，

下面考虑方程在区间的根之和.

①当或时，方程有两个实数解，其和为；

②当时，方程有三个实数解，其和为；

③当时，方程有四个实数解，其和为.

当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，

所以，当时，；

当或时，；

当时，；

当时，.

因此，.