安徽省安庆市潜山县2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

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2022-2023学年安徽省安庆市潜山县八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若是二次根式，则的值不可以是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，点是平面坐标系内一点，则点到原点的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在中，、、的对边分别为、、，下列条件能判断不是直角三角形的是(    )

A.  B.
C. ，， D. ，，

5.  如图，直角的周长为，且：：，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  把一元二次方程化成的形式，下列化法中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B. 且 C.  D. 且

9.  为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排天，每天安排场比赛设比赛组织者邀请了个队参赛，则下列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，已知中，，垂足为，平分交于，若，，且的面积为，则点到的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  比较大小：______．

12.  如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，且点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______．

13.  若方程是关于的一元二次方程，则的值为______ ．

14.  如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与点重合，则的长是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
解方程：．

17.  本小题分
如图，每个小正方形的边长都是，的三个顶点分别在正方形网格的格点上．
求，的长；
判断的形状，并说明理由．

18.  本小题分
为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地，如图所示，经测量，，米，米，米，米求出空地的面积．

19.  本小题分
已知，，求下列代数式的值：
；
．

20.  本小题分
如图，等腰中，，为上任意一点，，，垂足分别为、，．
求证：；
若，，求的值．

21.  本小题分
如图四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，、、是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”请解决下列问题：
求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；
若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的值．

22.  本小题分
某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为元时，月销售量为吨，每售出吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降元时，月销售量就会增加吨．
填空：当每吨售价是元时，此时的月销售量是______吨；
该经销店计划月利润为元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，是轴上一个动点不与原点重合，以线段为一边在其右侧作等边三角形．
求点的坐标；
在点的运动过程中，的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．
当时，求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：若是二次根式，则，
、、均符合二次根式的定义，的值不能取，
故选：．
根据二次根式的定义判断即可得．
本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：连接，点的坐标是，
点到原点的距离，
故选：．
连接，在直角坐标系中，根据点的坐标是，可知的横坐标为，纵坐标为，然后利用勾股定理即可求解．
此题考查勾股定理、坐标与图形性质的理解，掌握点到坐标轴的距离是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减运算可判断，，根据二次根式的乘除运算法则可判断，，从而可得答案．
本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则”是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、由条件，且，可求得，故是直角三角形；
B、由条件可得到，满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
C、，，，，故是直角三角形；
D、，，，，故不是直角三角形．
故选：．
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理．
 

5.【答案】 

【解析】解：设，，
则，
又直角的周长为，
，
解得：，
．
故选：．
设，，则根据勾股定理可求出，再由直角的周长为可解得的值，这样也就得出了的值．
本题考查勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键先求出含的表达式，然后列出方程解出．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
移项，得．
配方，得，
即．
故选：．
根据配方法解方程的步骤求解可得．
本题主要考查了解一元二次方程配方法，配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
根据勾股定理可求出，根据等腰三角形的性质可得，则即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】
解：根据题意可知，在中，，，
根据勾股定理，得，
，，
，
，
故橡皮筋被拉长了．
故选：．
【点评】
本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质等知识，根据勾股定理求出的长是解题关键．  

8.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且．
故选：．
根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
即．
故选：．
利用比赛的总场数参赛队伍数参赛队伍数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：的面积为，
，
，
在中，，
，
平分，
点到的距离的长度．
故选：．
先利用三角形的面积公式计算出，再利用勾股定理计算出，则，然后根据角平分线的性质求解．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了实数的大小比较．注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．
先把变为算术平方根的相反数，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
【解答】
解：
，
故填空答案．  

12.【答案】 

【解析】解：作于，
由坐标可得：，
，，
点的坐标为
故答案为：
根据等边三角形的性质得出点的坐标即可．
此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质得出点的坐标．
 

13.【答案】 

【解析】解：方程是关于的一元二次方程，
且，
解得：，
故答案为：．
根据一元二次方程的定义得出且，求出即可．
本题考查了一元二次方程的定义和解一元二次方程，能根据一元二次方程的定义得出和是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作于，

是直角梯形的折痕，
，，
又，
，
，
，
在中，
，
设，则，
，
解得，即，
则，
，
故答案为：．
先过点作于，利用勾股定理可求出，利用翻折变换的知识，可得到，，再利用平行线性质可得，，进而得出，最后利用勾股定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，勾股定理等知识点的理解和运用，关键是根据题意得出方程．
 

15.【答案】解：

． 

【解析】先化简式子，再合并同类项和同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

16.【答案】解：移项得，
配方得，
即，
开方得，
，． 

【解析】本题考查配方法解一元二次方程．
根据配方法即可解．
 

17.【答案】解：，，
，
，
，
是直角三角形． 

【解析】先利用勾股定理分别计算两边的长即可；
利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形．
此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

18.【答案】解：连接，
在中，，
在中，，，
而，
即，
，

 

【解析】连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，为斜边；由此看，四边形的面积等于面积减的面积解答即可．
本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
 

19.【答案】解：，，
，
，
；

． 

【解析】直接利用已知得出，的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；
结合平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
 

20.【答案】证明：过作于，

，，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
又，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
即；
解：过点作于点，

，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】过作于，可得矩形，所以，再由矩形得，又由得，所以，结合，，则≌，所以得，根据等式的性质得出；
根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求解即可．
此题考查的知识点是全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，关键是作辅助线证矩形，再证≌．
 

21.【答案】证明：，
，
，
关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；
解：当时，有，即，
四边形的周长是，
，即，
，
，
又，
，即，
． 

【解析】只要证明即可解决问题．
当时，有，即，由，即，推出，推出，，由，可得，由此即可解决问题．
本题考查勾股定理的应用、一元二次方程的根的判别式、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：；
设当售价定为每吨元时，
由题意，可列方程．
化简得．
解得，．
当售价定为每吨元时，销量更大，
所以售价应定为每吨元． 

【解析】

【分析】
本题考查理解题意能力，关键是找出降价元，却多销售吨的关系，从而列方程求解．
因为每吨售价每下降元时，月销售量就会增加吨，可求出当每吨售价是元时，此时的月销售量是多少吨．
设当售价定为每吨元时，根据当每吨售价为元时，月销售量为吨，每售出吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共元，当每吨售价每下降元时，月销售量就会增加吨，且该经销店计划月利润为元而且尽可能地扩大销售量，以元做为等量关系可列出方程求解．
【解答】
解：，
故答案为；
见答案．  

23.【答案】解：如图，过点作轴于点，

为等边三角形，且，
，，
，而，
，，
点的坐标为；
，始终不变．理由如下：
、均为等边三角形，
、、，
，
在与中，
，
≌，
；
如图，过点作轴于，

，
，，，
，，
，，，
由可知，≌，
，
的面积． 

【解析】先求，，由直角三角形的边角关系即可解决问题；
由“”可证≌，得到，即可解决问题；
由直角三角形的性质可求，，的长，由全等三角形的性质可求，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．