第二章 平面向量及其应用（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（北师大版2019必修第二册）

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班级              姓名             学号             分数           第二章平面向量及其应用（B卷·能力提升练）（时间：120 分钟，满分：150 分）一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。）1．（2023春·高一单元测试）下列说法错误的是（    ）A．零向量与任一向量都平行 B．方向相反的两个向量一定共线C．单位向量长度都相等 D．，，均为非零向量，若，则【答案】D【分析】根据向量的基本性质逐一判断即可.【解析】规定：零向量与任一向量都平行，故A正确；方向相反的两个向量一定共线，故B正确；单位向量长度都为1，故C正确；当时，且成立，但不一定成立，故D错误；故选：D.2．（2023春·高一单元测试）已知向量，，，若与共线，则（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根据向量的坐标运算求得的坐标，利用向量共线的坐标表示列出方程，求得答案.【解析】由题意向量，，，则，由于与共线，则，故选：D3．（2023春·高一单元测试）已知向量 ，满足， ，，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.【解析】，，，.，因此，.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.4．（2023春·高一单元测试）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，，则解此三角形的结果有（    ）A．无解 B．一解 C．两解 D．一解或两解【答案】C【分析】根据题意作出图形，推得，从而得到圆与射线有两个交点，进而得到满足题意的三角形有两个，由此得解.【解析】依题意，作出，，落在射线上，过作于，如图，则在中，由正弦定理，得，因为，所以，故以为圆心，半径为的圆与射线相交，即有两个交点，显然，这个两交点都可以作为点，与构造，且，所以满足题意的三角形有两个，即解此三角形的结果有两解.故选：C..5．（2023春·高一单元测试）在中，，，，是边上的一点，且，则的长为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过正弦定理求出的长，然后利用余弦定理求出的值即可．【解析】如图由题意可知；，所以由正弦定理得： ，在中，由余弦定理可知， ．所以．故选：C．6．（2023春·高一单元测试）在四边形中,,,点在线段上,且,设,,则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出图象,根据向量加减法则及向量共线定理即可得出结果.【解析】解:由题知,,，画出示意图如下:因为,,,所以.故选:C7．（2023春·高一单元测试）已知是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足：，则一定为的A．重心 B．边中线的三等分点（非重心）C．边中线的中点 D．边的中点【答案】B【解析】如图所示：设 的中点是， 是三角形 的重心， 在 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心故选B8．（2023春·高一单元测试）在给出的下列命题中，错误的是（    ）A．设是同一平面上的四个点，若，则点必共线B．若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C．已知平面向量满足，则为等腰三角形D．已知平面向量满足，且，则是等边三角形【答案】B【分析】对A，化简得出，根据向量共线定理可判断；对B，根据平面向量基本定理可判断；对C，根据可得，根据可得为的角平分线即可判断；对D，由平方可求得的夹角，即可判断.【解析】对A，若，则，即，则，且有公共点，故共线，故A正确；对B，根据平面向量基本定理可得若共线，则不满足题意，故B错误；对C，，，即，所以，又，所以为的角平分线，所以为等腰三角形，故C正确.对D，若，且，则，则，即，则，则的夹角为，同理的夹角为，的夹角为，所以是等边三角形，故D正确.综上，错误的选项为B.故选：B.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9．（2023春·高一单元测试）下列说法正确的有（    ）A． B．C．若，则 D．若与是单位向量，则【答案】AC【解析】由向量的数量积运算法则可判断A；由向量数量积的定义可判断B；根据向量数量积的运算法则可判断C；举反例，如果两个向量垂直，则数量积为0，可判断D.【解析】，满足向量的数量积运算法则，故A正确；，所以B不正确；若，则，即，所以，则，所以C正确；若与是单位向量，如果两个向量垂直，则数量积为0，所以判断为，D不正确；故选：AC.10．（2023春·高一单元测试）设向量＝(k，2)，＝(1，－1)，则下列叙述错误的是（    ）A．若k<－2，则与的夹角为钝角B．||的最小值为2C．与共线的单位向量只有一个为D．若||＝2||，则k＝或－【答案】CD【分析】对于A选项，得k<2且k≠－2，所以A选项正确；对于B选项，||≥2，所以B选项正确；对于C选项，与共线的单位向量为或，所以C选项错误；对于D选项，得k＝±2，所以D选项错误．【解析】对于A选项，若与的夹角为钝角，则且与不共线，则k－2<0且k≠－2，解得k<2且k≠－2，所以A选项正确；对于B选项，||＝≥＝2，当且仅当k＝0时等号成立，所以B选项正确；对于C选项，||＝，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，所以C选项错误；对于D选项，∵||＝2||＝2，∴＝2，解得k＝±2，所以D选项错误．故选：CD11．（2023春·高一单元测试）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用三角形的性质：大边对大角以及正弦定理即可求解.【解析】对于A，由，所以，又由正弦定理：，所以，所以只有一个锐角，故A正确；对于B，，由正弦定理：，可得，满足条件的是锐角或钝角，故B不正确’；对于C，由正弦定理：，可得，即，满足题意，故C正确；对于D，由正弦定理：，可得，即无解，故D不正确.故选：AC【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的性质，需熟记定理的内容，属于基础题.12．（2023春·高一单元测试）在中，角A，B，C所对的对边分别为a，b，c，下列命题中正确的是（    ）A．若，则B．若，，，则满足条件的有且仅有一个C．若，则是直角三角形D．若，，则外接圆面积的最小值为【答案】ACD【分析】对于A，利用三角形大边对大角及正弦定理的边角变换可证得命题正确；对于B，结合图像，利用直角三角形中正弦的定义可求得，比较与边会发现存在两个满足条件的；对于C，利用余弦定理的推论化简，即可证得命题正确；对于D，先由余弦定理及基本不等式求得的取值范围，再由正弦定理求得外接圆半径的取值范围，，从而求得外接圆面积的最小值【解析】对于A，因为，所以由三角形大边对大角得，又由正弦定理知，故，即，故A正确；对于B，如图，在中，，即，以为圆心，为半径作圆，会发现该圆与有两个交点，即存在两个满足条件的，故B错误；对于C，因为，由余弦定理得，整理得，所以是直角三角形，故C正确；对于D，因为，，所以 ，即，故，即，所以外接圆面积，即外接圆面积的最小值为，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．（2023春·高一单元测试）如图，点O为内一点，且，，，则______【答案】8【分析】由，知点为的重心．连接并延长，交于点，可得和的长，又，利用平面向量的数量积公式计算即可得解．【解析】由，所以点O为的重心．连接CO并延长，交AB于点D．又，所以．在中，，所以．故答案为：8.14．（2023春·高一单元测试）在中，是的中点，，，，则的面积为____________．【答案】【分析】由已知得出，利用平面向量数量积的运算可求得的值，可求得的值，结合三角形的面积公式可求得结果.【解析】，所以，，故，所以，，所以，，因此，.故答案为：.15．（2023·高一课时练习）在中，，则的形状为______．【答案】直角三角形【分析】利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，得到，由此判断出三角形的形状.【解析】因为据正、余弦定理得：，，即，化简得：，，即，所以为直角三角形.故答案为：直角三角形.16．（2023春·高一单元测试）2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A、B两点测得C的仰角分别为、，，且，则大跳台最高高度______.【答案】60【分析】根据题意，分别得出，.然后在，根据余弦定理，即可求出的值.【解析】由已知可得，，，.则在中，，所以.同理可得，.在中，有，，，，根据余弦定理可得，，即，解得（舍去负值）.所以，.故答案为：60.四、解答题（本题共6小题，共70分。）17．（2023春·高一单元测试）已知向量.（1）求；（2）若向量与平行，求的值.【答案】（1） ; （2）.【分析】（1）根据已知条件，利用平面向量线性运算、数量积运算的坐标表示求解.（2）利用平面向量线性运算的坐标表示以及两个向量共线的性质求解.【解析】（1），，，.（2） ，，，向量与平行，，解得.18．（2023秋·湖北·高三统考期末）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且.(1)求边b的值；(2)若D为边BC的中点，，求的面积.【答案】(1)4(2)【分析】（1）根据正弦定理，找到边关系求解.(2)根据余弦定理，求出，再根据面积公式求解.【解析】（1）因为，由正弦定理得：，且，所以.（2）延长AD至点E，满足，连接EB，EC，在中，由余弦定理得：，因为，，代入上式整理得：，所以所以.19．（2023春·高一单元测试）已知单位向量的夹角，向量.（1）若，求的值；（2）若，求向量的夹角.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题意，设 ，又不共线，根据系数关系，列出方程，即可求出的值； （2）根据题意，设向量的夹角为；由数量积的计算公式可得、以及，又由，即可求出结果．【解析】（1）根据题意，向量 ，若，设 ， 则有， 则有，解可得； （2）根据题意，设向量的夹角为； 若，则 ，所以，所以， 又，则，所以， 又， 所以，又由，所以； 故向量的夹角为．【点睛】本题考查了平面向量共线定理和平面向量数量积的计算，涉及向量模、夹角的计算公式，属于基础题．20．（2023春·高一单元测试）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求B的大小；(2)若，①求的取值范围；②求的最大值．【答案】(1)；(2)①；②最大值为.【分析】（1）根据正弦定理边换角结合两角和与差的正弦公式得，则，则得到的大小；（2）①利用基本不等式得，结合三角形任意两边之和大于第三边即可得到范围；②设，，而，根据函数单调性即可其最大值.【解析】（1）因为,又,所以,所以,所以,因为,所以,，可得.（2）①根据余弦定理得,得，因为,所以，结合，所以(当且仅当时取等号)，②设,则,所以,设,则在区间上单调递增,所以的最大值为,所以的最大值为.21．（2022春·山东青岛·高一统考期末）如图所示，在海岛上有一座海拔0.5千米的山，山顶设有一个观察站（观察站高度忽略不计），已知在某时刻观测员测得一轮船在岛北偏东方向，俯角为的处，若10分钟后，又测得该船在海岛北偏西方向，俯角为的处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)若又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的处，问此时船距岛的距离？【答案】(1)千米时(2)千米【分析】（1）先、中确定、的长，进而求得，，最后利用勾股定理求得，用里程除以时间即为船的速度．（2）利用锐角三角函数求出，，利用两角差的正弦公式求得的值，进而利用正弦定理求得．【解析】（1）解：（1）在中，，，．在中，，．在中，，．则船的航行速度为（千米时）．（2）解：在中，，，，所以，在中，，所以．由正弦定理得．．故此时船距岛有千米．22．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①，            条件②，条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________，(1)求；(2)若是的角平分线，且，求的最小值．【答案】(1)条件选择见解析，(2) 【分析】（1）选①，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；选②，利用正弦定理结合余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；选③，利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）由已知结合三角形的面积公式可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【解析】（1）解：选①：因为，由正弦定理可得，即，所以，而，，故，因为，所以；选②：因为，由正弦定理，即，由余弦定理，因为，所以；选③：因为，正弦定理及三角形内角和定理可得，即，因为、，则，所以，，，所以，所以，即.（2）解：由题意可知，，由角平分线性质和三角形面积公式得，        化简得，即，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为．