江苏省南京市玄武区2022-2023学年九年级下学期期中数学试卷

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2022-2023学年江苏省南京市玄武区九年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  体积为的正方体的棱长在(    )

A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间

3.  如图为某数学兴趣小组做的某种削铅笔刀的模型，则该几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  实数在数轴上的对应点的位置如图所示若实数满足，则的值可以是(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在平面直角坐标系中，，，为的中点，反比例函数的图象经过点若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，，点在边上，过的内心作于点若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.  国务院第七次全国人口普查领导小组办公室月日发布，江西人口数约为人，将用科学记数法表示为______ ．

8.  使二次根式有意义的的取值范围是______ ．

9.  分解因式：______．

10.  若是方程的一个根，则代数式的值为______ ．

11.  若关于，的方程组的解满足，则的值为______ ．

12.  如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为，扇形的半径为，扇形的圆心角等于，则与之间的关系是______ ．

13.  如图，在的内接五边形中，，则______

14.  如图，的半径是，是的内接三角形，过圆心分别作、、的垂线，垂足为、、，连接，若，则为______ ．

15.  如图，在中，，，，过的中点作，交于点，则的长为______．

16.  如图，在平面直角坐标系中，半径为的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为          ．
 

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
解不等式组，并求它的整数解．

19.  本小题分
为了解某校名初中生冬季最喜欢的体育活动，该校随机抽取了校内部分学生进行调查，整理样本数据，得到下列统计图．

根据以上信息回答下列问题：
共抽取了______名校内学生进行调查，扇形图中的值为______．
通过计算补全直方图．
在各个项目被调查的学生中，男女生人数比例如表：

根据这次调查，估计该校初中毕业生中，男生人数是多少？

20.  本小题分
为庆祝建党周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从，，，四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
“志愿者被选中”是______ 事件填“随机”或“不可能”或“必然”；
请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出，两名志愿者被选中的概率．

21.  本小题分
如图，在▱中，，交于点，点，在上，．

求证：四边形是平行四边形；
若，求证：四边形是菱形．

22.  本小题分
某玩具经销商用万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完该经销商又用万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的倍，但每套进价多了元．
该经销商两次共购进这种玩具多少套？
若第一批玩具销售完后总利润率为，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？

23.  本小题分
已知函数．
若点是函数图象上一点，则点关于原点的对称点是否在该函数图象上？请说明理由．
设，是该函数图象上任意两点，且，求证：．

24.  本小题分
如图是一种手机平板支架．由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图是其侧面结构示意图．量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．若，，求点到直线的距离．结果保留小数点后一位，参考数据：，，，
 

25.  本小题分
如图，点是等腰的外心，是圆的切线，切点为，过点作，交于点连接并延长交于点，连接，交过点的直线于点，且．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，求的长．

26.  本小题分
已知抛物线、、是常数，的对称轴为直线．
______；用含的代数式表示
当时，若关于的方程在的范围内有解，求的取值范围；
若抛物线过点，当时，抛物线上的点到轴距离的最大值为，求的值．

27.  本小题分
如图，在矩形中，是上一点将矩形沿翻折，使得点落在上．
求证：∽；
若恰是的中点，与有怎样的数量关系？请说明理由．
在中，连接，、、分别是、、上的点都不与端点重合，若∽，且的面积等于面积的，则 ______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用单项式乘单项式的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据估算无理数的大小，即可解答．
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟练估算无理数的大小．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看，可得选项B的图形，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：将，在数轴上表示出来如下：

．
在和之间．
选项中只有符合条件．
故选：．
根据点在数轴上的位置可求．
本题考查实数与数轴上的点的对应关系．找到的位置是求解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
过作轴于，

，
，
为的中点，，
，
，
，
，
，
故选：．
过作轴于，先证明，再求解，，，可得的坐标，从而可得答案．
本题考查的是等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，锐角三角函数的应用，求解的坐标是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，，过点作于点．

是的内心，
，
在和中，
≌，
，
是的内心，
，
在和中，
≌，
，，
，
在和中，
≌，
，
设，
，
，
，
．
故选：．
如图，连接，，，，过点作于点证明≌，推出，，证明≌，推出，设，根据，可得，求出即可解决问题．
本题考查三角形的内心，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再对剩余项利用平方差公式继续进行因式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．
 

10.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的一个根，
，
，



．
故答案为：．
先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
本题考查了解一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

11.【答案】 

【解析】解：将方程组中的两方程相加可得，
由题意得，，
解得，
故答案为：．
将方程组中的两方程相加可得，再整体代入可求得此题结果．
此题考查了运用整体思想求解二元一次方程组相关问题的能力，关键是能将原方程组准确变形并计算．
 

12.【答案】 

【解析】解：扇形的弧长是：，
圆的半径为，则底面圆的周长是，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：，
即：，
与之间的关系是．
故答案为：．
利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
五边形是圆内接五边形，
四边形是圆内接四边形，
，
，
．
故答案为：．
连接，根据圆内接四边形对角互补可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，然后求解即可．
本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连结，如图，
，
，
在中，，，
，
，
，，
，，
为的中位线，
．
故答案为．
连结，根据垂径定理由得到，在中，根据勾股定理得，则，再根据垂径定理由，得到，，所以为的中位线，则．
本题考查了垂径定理，也考查了勾股定理和三角形中位线性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，
∽，
，
设，则，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
过点作，垂足为，先证明一线三等角模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质可设，则，然后再证明字模型相似三角形∽，从而可得，进而根据列出关于的方程，进行计算可求出，的长，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．
如图，连接，取的中点，连接，过点作于首先证明点的运动轨迹是以为圆心，为半径的，设交于求出，当点与重合时，的面积最小．
【解答】
解：如图，连接，取的中点，连接，过点作于．

，，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的，设交于．
直线与轴、轴分别交于点、，
，，
，，
，
，，
∽，
，
，，
当点与重合时，的面积最小，最小值，
故答案为．  

17.【答案】解：原式；
原式

；
当时，
原式
． 

【解析】分别根据二次根式的化简法则，零指数幂、绝对值计算即可；
先约分，再合并同类项即可，把的值代入计算即可求出值．
此题主要考查了实数的运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：由得：，
，
                             
由得：，
                               
 所以原不等式组的解集为           
所以原不等式组的整数解为，，，，． 

【解析】分别得出不等式的解集，进而得出不等式组的解集，即可得出不等式组的整数解．
此题主要考查了不等式组的解法，求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，利用此规律得出不等式的解集是解题关键．
 

19.【答案】；
跳绳的人数是人，
则；
人，
答：估计该校初中毕业生中男生的人数是人． 

【解析】

解：调查的总人数是人，．
故答案是：，；
见答案
见答案
【分析】
根据踢毽子的人数是，所占的百分比是，据此即可求得调查的总人数，然后利用减去其他组的百分比求得的值；
利用总数乘以百分比求得跳绳的人数，从而补全直方图；
利用加权平均数公式即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．  

20.【答案】解：从，，，四名志愿者中确定两名志愿者参加．
每个人都可能被抽中，
“志愿者被选中”是随机事件，
故答案为：随机．
列表如下：

由表可知，共有种等可能结果，其中，两名志愿者被选中的有种结果，
所以，两名志愿者被选中的概率为． 

【解析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；
列表得出所有等可能结果数，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可．
 

21.【答案】证明：在▱中，，，
．
，
四边形是平行四边形；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形． 

【解析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
根据平行四边形的性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可以证明四边形是菱形．
 

22.【答案】解：设第一次购进了套，则第二次购进了套．
依题意，列方程得：，
解得：，
经检验是原方程的根，，
答：该经销商两次共购进这种玩具套；

由得第一批每套玩具的进价为元，
又总利润率为，
售价为元，
第二批玩具的进价为元，售价也为元．
元．           
答：这二批玩具经销商共可获利元． 

【解析】设第一次购进了套，则第二次购进了套，进而表示出进价，即可得出等式求出答案；
首先求出玩具的售价，进而求出其每件的利润，即可得出答案．
本题主要考查的是分式方程的应用，根据题意找出正确等量关系是解题的关键．
 

23.【答案】解：点关于原点的对称点在该函数图象上，理由如下：
点是函数图象上一点，
，
当时，，
点在该函数图象上，
点关于原点的对称点为，
点关于原点的对称点在该函数图象上；
证明：，是该函数图象上任意两点，
，，




，
，
，，，
，
，
． 

【解析】根据点是函数图象上一点，可得，当时，，可知点在该函数图象上，从而可得点关于原点的对称点在该函数图象上；
根据，是该函数图象上任意两点，可得，，进一步计算，即可得证．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，过作，交的延长线于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意可知，，，，，
在中，，
，
又，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
答：点到直线的距离约为． 

【解析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出、，即可求出点到直线的距离．
本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法，也是基本的方法．
 

25.【答案】解：直线与圆相切，理由为：
过点作直径，连接，如图，
为直径，
，即，
，
，
，．
，
，即，
，
与圆相切；
是的切线，切点为，
，
，
，
，
，
在中，，
设圆的半径为，则，，
在中，，即，
解得：，
，，
，
，
∽，
，
即
． 

【解析】过点作直径，连接，由为直径得，由得，而，，所以，于是，然后根据切线的判断得到结论；
根据切线的性质得到，而，则，根据垂径定理有，根据等腰三角形性质有，在中根据勾股定理计算出；
设的半径为，则，在中，根据勾股定理计算出，求出，，利用中位线性质得，然后判断∽，根据相似比可计算出．
本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：，故，
故答案为：；

当时，函数表达式为：，
方程为：，该方程在在的范围内有解，
则，即；
同时要满足：当时，或时，，
即或，
故或，故，
故；

抛物线过点，该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：，
当时，抛物线上的点到轴距离的最大值为，而顶点到轴的距离为，
则时，该点的坐标为或，即该点坐标为或，
将点或，代入函数表达式得：
或，
解得：或．
，即可求解；
该方程在在的范围内有解，则，即可求解；
抛物线上的点到轴距离的最大值为，即该点坐标为或，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等．
 

27.【答案】 

【解析】证明：四边形是矩形，
，
，
矩形沿翻折后，点落在上，
，

，
又，
∽，
解：；
理由：是由翻折得到，
，
，
，
，
在中，，，
，
；
解：在中有，
又四边形是矩形，
，，
在和中，
，
≌．
，
由翻折可知：，
，
是等边三角形，
∽，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
同理≌，
，
，
设，
，
，
，
设，则．
到的距离为，
 ，
 ，
整理得到：，
，
．
故答案为：．
根据两角对应相等的两个三角形全等即可判断．
由推出，即可解决问题．
首先证明、是等边三角形，设，，想办法列出关于、的方程，即可解决问题．
本题是相似形的综合题，考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，学会把问题转化为方程解决，体现了数形结合的思想，属于中考压轴题．