第二章 一元二次函数、方程和不等式（A卷•基础提升练）-【单元测试】高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）

第二章  一元二次函数、方程和不等式基础提升测试

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项

的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不

能答在试卷上，

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知，则下列大小关系正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

结合不等式的性质以及差比较法确定正确答案.

【详解】

为正数，为负数，所以，，

，

所以.

故选：C

2．不等式的解集是（       ）

A．    B．     C． D．，或

【答案】C

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解法计算可得；

【详解】

解：由，解得，即不等式的解集为；

故选：C

3．负实数，满足，则的最小值为（       ）

A．0 B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意有，再代入根据基本不等式求解最小值即可

【详解】

根据题意有，故，当且仅当，时取等号.

故选：A

4．已知，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由于，所以，则，然后利用基本不等式可求出其最小值

【详解】

由于，所以

所以，

当且仅当，即时取等号.

故选：A.

5．设，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由不等式的运算性质即可得到答案.

【详解】

由题意，.

故选：B.

6．已知正实数a，b满足，则的最小值是（       ）

A． B．3 C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知得， 代入得，令，根据基本不等式可求得答案.

【详解】

解：因为，所以，所以 ，

所以，

令，则，且 ，

所以，当且仅当，即，时，取等号，

所以的最小值是.

故选：A.

7．已知，则且是且成立的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

利用充分不必要条件的定义和不等式的性质进行判断可得答案.

【详解】

因为且，所以且；

取，，则且，但不满足，所以前者是后者的充分不必要条件.

故选：A.

8．已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由题设可得，又即为方程两个不等的实根，即有，结合、得，即可求其最小值.

【详解】

由题意知：当有，

∵知：是两个不等的实根.

∴，而，

∵，即，

∴，令，

则，

∴当时，的最小值为.

故选：B

【点睛】

关键点点睛：由已知条件将函数转化为一元二次方程的两个不同实根为，结合韦达定理以及，应用二次函数的性质求最值即可.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】

【分析】

应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.

【详解】

A：由重要不等式知：，而，故，正确；

B：由，则，故，错误；

C：由，则，错误；

D：，故，正确.

故选：AD

10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，，则下面结论正确的有（       ）

A．若，则

B．

C．若，则有最大值

D．若，则

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据基本不等式及其推理分别判断各选项.

【详解】

因为，，

若，则，当且仅当且，即，时取等号，A正确；

因为，即，当且仅当时取等号，

所以，B错误；

若，则，当且仅当时取等号，C正确；

若，则，解得，所以，D错误.

故选：AC.

11．如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（       ）

A． B．

C． D．当时，或

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题的结论是否成立，即可求出答案.

【详解】

因为二次函数的图象的对称轴为，所以得，故A正确；

当时，，故B正确；

该函数图象与轴有两个交点，则，故C正确；

因为二次函数的图象的对称轴为，点坐标为，所以点的坐标为，所以当时，或，故D错误.

故选：ABC.

12．已知x>0，y>0，且x+2y=3，则下列正确的是（       ）

A．的最小值为3 B．的最大值为6

C．xy的最大值为 D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据基本不等式求解判断．

【详解】

因为，

，当且仅当，即时等号成立，A正确；

由得，所以，B错；

，，当且仅当时，等号成立，C正确；

，当且仅当，即时等号成立，D正确．

故选：ACD．

三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分

13．若关于的方程的解是正数，则的取值范围是______.

【答案】且

【解析】

【分析】

直接求解分式方程，然后由解为正数和分母不为零可求出的取值范围

【详解】

方程解得，

依题意得且，

解得且4，

故答案为：且

14．若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

【分析】

分和两种情况讨论，当时需满足，即可得到不等式，解得即可；

【详解】

解：当时，不等式无解，满足题意；

当时，，解得；

综上，实数的取值范围是．

故答案为：

15．已知正实数a，b满足，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

化简得，，再将看成整体，利用基本不等式求解最小值即可

【详解】

由有，则，当且仅当，即，时取等号.

故答案为：

16．已知函数，，a为常数.若对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，则实数a的取值范围是___________.

【答案】[0，1]##

【解析】

【分析】

可根据已知条件，构造函数，通过分类讨论得到的解析式，然后利用二次函数的对称轴确定其单调性，列式求解即可.

【详解】

对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，即，令，即只需在[0，2]上单调递增即可，

当时，，函数图象恒过；

当时，；

当时，；

要使在区间[0，2]上单调递增，则当时，的对称轴

，即；

当时，的对称轴，即；

且,

综上

故答案为：[0，1].

四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．(1)若不等式的解集为，求的值.

(2)不等式的解集为A，求集合A.

【答案】(1)；(2){或}.

【解析】

【分析】

(1)根据二次不等式的解法即可求解；

(2)根据分式不等式的解法求解即可.

【详解】

(1)由题意得：－1，3就是方程的两根，

∴，则，∴；

(2)将不等式转化为，∴或，

∴或.

18．（1）已知，求的最小值．

（2）求关于x的不等式的解集：．

【答案】（1）8 ；（2）时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为．

【解析】

【分析】

（1）整理可得，结合基本不等式分析计算；（2）不等式分类讨论问题，结合本题，首先讨论最高项系数的符号；其次讨论两根的大小．

【详解】

解：（1）因为，所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为8．

（2），

当时，不等式为，解集为，

时，不等式分解因式可得，

当时，故，此时解集为．

当时，，故此时解集为，

当时，可化为，又，

解集为．

当时，可化为，

又，解集为，

综上所述：时，解集为，

时，解集为，

时，解集为，

时，解集为，

时，解集为．

19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．

(1)求的取值范围；

(2)若，求方程的两个根．

【答案】(1)且；

(2)，.

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，从而到关于的不等式，求出的范围即可；

（2）利用根与系数的关系可得，根据可得关于的方程，整理后即可解出的值，最后求出方程的根．

(1)

∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴且，

即且，

解得：且．

(2)

∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，

∴，

∵，

∴，

解得：，

经检验：是分式方程的解，

∴当时，方程为：，

解得：，．

20．冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为（单位：），经过市场调查了解到：每月土地占地费（单位：万元）与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则与分别为万元和万元.记两项费用之和为.

(1)求关于的解析式；

(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．

【答案】(1)

(2)这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元

【解析】

【分析】

（1）依题意设出，，然后根据已知求出，然后可得；

（2）通过配凑使得积为定值，然后由基本不等式可得.

(1)

∵每月土地占地费（单位：万元）与成反比，

∴可设，

∵每月库存货物费（单位：万元）与（4x+1）成正比，

∴可设，

又∵在距离车站5km处建仓库时，与分别为12.5万元和7万元，

∴，.

∴

∴.

(2)

当且仅当，即x＝6.5时等号成立，

∴这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元．

21．已知函数的图象过点，且满足．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数在上的最小值；

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据函数图象过点，得到，再根据求解；

（2）由，，分，，求解.

(1)

解：因为函数的图象过点，

所以

又，

所以，

解得，

所以；

(2)

，，

当时，即时，函数在上单调递减，

所以，

当时，即时，函数在上单调递减，

在单调递增，所以；

当时，函数在上单调递增，

所以．

综上：

22．已知函数．

(1)若的解集是，求实数的值．

(2)若恒成立，求实数的取值范围；

(3)当时，函数在有解，求的取值范围．

【答案】(1)1

(2)

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次不等式的解集的端点值为一元二次方程的根，由此求解出的值；

（2）要使恒成立，即，根据的取值进行分类讨论，由此求解出不等式解集；

（3）将问题转化为“在有解”，然后分析二次函数在的最小值小于等于，由此求解出的取值范围，即可求出的取值范围.

(1)

由题意可知：且，解得．

(2)

若恒成立，则

当时，不恒成立；

当时，解得：.

实数的取值范围为：.

(3)

时，在有解，

即在有解，

因为的开口向上，对称轴，

①即，时，函数取得最小值即，∴．

②即时，当取得最小值，此时，解得．

③当即时，当时取得最小值，此时，解得，

综上，或．

所以：的范围为：.