第四章 指数函数与对数函数（知识通关详解）-【单元测试】高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）

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第四章 指数函数与对数函数
一．指数与指数函数
（一）指数
1．根式的概念：
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作=0。
注意：(1)
(2)当 n是奇数时， ，当 n是偶数时，
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂的意义，规定：
正数的正分数指数幂的意义：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）
（2）
（3）
题型一：根式的化简求值
例1：下列运算中正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A，，所以，错误；
对于B，因为，所以，则，错误；
对于C，，正确；
对于D，，错误．
故选：C．
举一反三
1.式子的计算结果为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】.
故选：D.
2．化简________.
【答案】##
【详解】.故答案为：.
题型二：指数幂的运算
例2：计算：___．
【答案】##0.5
【详解】原式.
故答案为：
举一反三
1．（多选）下列化简结果中正确的有（m、n均为正数）（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】A. ，故正确；B. ，故错误；
C. ，故错误；D. ，故正确.
故选：AD
2．计算：
(1)；
(2).
解：(1)
(2)

题型三：分数指数幂与根式的互化
例3：已知，为正数，化简_______．
【答案】
【详解】原式．故答案为：．
举一反三
1．（     ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】.故选：B.
2.若，则等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，则．
故选：C．
题型四：指数幂的化简、求值
例4：化简：，并求当时的值.
【详解】由

时，原式
举一反三
已知，则=__________.
【答案】
【解析】
【详解】
,,, .
二 指数函数
1．指数函数定义：
一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，叫底数，函数定义域是．
2．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：



图象


性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）过定点，即时
（4）在上是增函数
（4）在上是减函数
3.与指数函数相关的定义域及值域问题
（1）求由指数函数构成的复合函数的定义域时,可能涉及解指数不等式(即未知数在指数上的不等式),解指数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底数幂的形式,利用指数函数的单调性将幂的形式转化为熟悉的不等式.
（2）求由指数函数构成的复合函数的值域,一般用换元法即可,但应注意中间变量的值域以及指数函数的单调性。
4.指数式的大小比较
（1）比较同底不同指数幂的大小,利用函数单调性进行比较
（2）比较不同底同指数幂的大小，可利用两个不同底指数函数图象间的关系,结合单调性进行比较.
（3）比较既不同底又不同指数幂的大小，可利用中间量结合函数的单调性进行比较.
题型一：指数函数的概念
例5：函数是指数函数，则（       ）
A．或 B． C． D．且
【答案】C
【详解】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.
故选：C
举一反三
若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为___．
【答案】
解：设指数函数的解析式为（a＞0且a≠1），
∴，解得，∴.故答案为：.
题型二：指数函数的图像
例6：在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：函数的是指数函数，且，排除选项C，
如果，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：，所以B正确；对称轴在x轴左侧，C不正确；
如果，二次函数有一个零点，所以D不正确．故选：B．
举一反三
如图所示，函数的图像是（       ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，时，时，.
故选：B.
题型三：指数函数的定义域
例7：函数的定义域为___________
【答案】
【详解】由题，即，即，
因为为单调递增函数，所以，即故答案为：
举一反三
1.已知函数的定义域为，则_________．
【答案】
【详解】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，
当时，由，可得，解得，合乎题意.
故答案为：.
2．函数的定义域为 _________.
【答案】
解：要使有意义，则；解得，且；
的定义域为.
故答案为：
题型四：指数函数的值域
例8：函数的值域为_________________.
【答案】
【详解】当时，，则，故函数的值域为.
故答案为：.
举一反三
函数且的值域是，则实数 ____.
【答案】或
【详解】当时，函数且是增函数，
值域是， ；
当时，函数且是减函数，
值域是， .
综上所述，可得实数或.
故答案为：或
题型五：指数函数的单调性
例9：不等式恒成立，则的取值范围是_________．
【答案】
解：因为 在R上递增，所以不等式恒成立，
即，恒成立，亦即恒成立，
则，解得，故的取值范围是．
故答案为：
举一反三
1.求函数的单调区间___________.
【详解】设t＝>0，又在上单调递减，在上单调递增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函数t＝在R上单调递减，所以函数的增区间为，减区间为.
故答案为：增区间为，减区间为
2．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：，使得，等价于， ，
由对勾函数的单调性知在上单调递减，所以，
又在上单调递增，所以，
所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.
题型六：指数函数过定点问题
例10：函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：令，解得，所以当时，，
所以函数过定点.故选：B
举一反三
函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.
【答案】##4.5
【详解】当时，，过定点，
又点在直线上，，即，
，，，
（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为.
故答案为：.

题型七：指数函数中的参数问题
例11：已知函数为奇函数，则方程的解是________．
【答案】
【详解】因为函数为奇函数，故，解得，故即，故，解得
故答案为：
举一反三
已知的最小值为2，则m的取值范围为______________
【答案】
【详解】当时，，当且仅当，即时取“=”，
当时，，，当，即时，取最小值，
因的最小值为2，于是得，解得，
所以m的取值范围为.
故答案为：
题型八：指数函数实际应用
例12：企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正的常数）．如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（       ）
A．40% B．50% C．64% D．81%
【答案】C
【详解】当时，；当时，，
即，得，所以；
当时，.
故选：C


举一反三
我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（       ）（参考数据：）
A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h
【答案】C
解：由题意得：

设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为


故，
故该新药对病人有疗效的时长大约为
故选：C
二． 对数与对数函数
对数
1．对数的概念：一般地，如果 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：
（ a— 底数， N— 真数，— 对数式）
说明：1. 注意底数的限制，a>0且a≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式．
2、两个重要对数：
（1）常用对数：以10为底的对数, ；
（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , ．
3、对数式与指数式的互化

对数式 指数式
对数底数← a → 幂底数
对数← x → 指数
真数← N → 幂
结论：（1）负数和零没有对数
（2）logaa=1, loga1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0
(3) 对数恒等式：
例1：1．已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，所以，
所以
故选：B
2．设，则__________．
【答案】16
【详解】由得 .故答案为：16
举一反三
1．十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即（且），已知，，则（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
故选：B.
2．方程的解是（       ）
A．1 B．2 C．e D．3
【答案】D
【详解】∵，∴，∴.
故选：D.
对数的运算性质
如果 a > 0，a ¹ 1，M > 0， N > 0 有：
1、 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和
2 、 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差
3 、 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍
说明:
1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
2) 有时可逆向运用公式
3) 真数的取值必须是(0,＋∞)
4) 特别注意：


例2：1．计算：（       ）
A．10 B．1 C．2 D．
【答案】B
【详解】.
故选：B
2．计算：（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
解：；
故选：B
3．计算：___________．
【答案】2
解：，
故答案为：2.
4．计算
(1)
(2).
【解析】
(1)

；
(2)原式＝．
举一反三
1．计算：________.
【答案】4
【详解】，
故答案为：
2．计算=________.
【答案】##5.5
【详解】.
故答案为：.
3．若，则__________
【详解】,即，可得
故答案为：6
4．计算下列各题：
(1)已知，求的值；
(2)求的值.
解：因为，所以、，
所以，，
所以；
(2)解：





换底公式
利用换底公式推导下面的结论
① ②③
例3：1．已知，则下列能化简为的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误.
故选：B.
2．______．（用数字作答）
【答案】1
【详解】
.
故答案为：1
举一反三
1．计算：_____
【答案】##2.5
【详解】
；
故答案为： .
2．计算：等于___________.
【答案】1
【详解】.
故答案为：1．
对数函数
1.对数函数的概念：一般地，形如的函数叫对数函数.
2.对数函数的图像和性质。



图像


性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）图像过定点：
（4）在上是增函数
（1）定义域：
（2）值域：
（3）图像过定点：
（4）在上是减函数
3.指对数函数性质比较

图象特征
函数性质


共性
向x轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
函数图象都在x轴上方
函数的值域为R+
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1）
过定点（0，1）


0 自左向右看，图象逐渐下降
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都小于1
当x>0时,0 在第二象限内的图象纵坐标都大于1
当x<0时,y>1
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始减小极快，
到了某一值后减小速度较慢；


a>1
自左向右看，图象逐渐上升
增函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
当x>0时,y>1;
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
当x<0时,0 图象上升趋势是越来越陡
函数值开始增长较慢，
到了某一值后增长速度极快；
4.反函数：
一般地,设A,B分别为函数y=的定义域和值域,如果由函数y=f(x)可解得唯一也是一个函数(即对任意一个,都有唯一的与之对应),那么就称函数是函数y=的反函数,记作.在中，y是自变量,x是y的函数,习惯上改写成的形式.
指数函数(a>0,且a≠1)与对数函数互为反函数，互为反函数的两个函数的图像关于直线对称。
注意： 指数增长模型：y=N(1+p)x 指数型函数： y=kax
考点：（1）ab=N, 当b>0时，a,N在1的同侧；当b<0时，a,N在1的 异侧。
（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。
（4）分辨不同底的指数函数图象利用a1=a，用x=1去截图象得到对应的底数。
4.与对数函数有关的函数的定义域
（1）对数函数的定义域为(0,+∞)。
（2）形如的函数,定义域由来确定。
（3）形如的复合函数在求定义域时,必须保证每一部分都要有意义。
5.对数式的大小比较：
（1）若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较.
（2）若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论(分01).
（3）若底数不同、真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以画出对数函数的图象,再进行比较。
（4）若底数与真数都不同,则常借助0,1等中间值进行比较。
题型一：对数函数的概念
例4：下列函数中，是对数函数的是（       ）
A．y＝logxa(x>0且x≠1)B．y＝log2x－1 C． D．y＝log5x
【答案】D
【详解】A、B、C都不符合对数函数的定义，只有D满足对数函数定义．
故选：D.
举一反三
若函数的反函数的图像经过点，则=_______．
【答案】2
解：因为函数的反函数为，，
所以，即，所以或（舍去）；
故答案为：
题型二：对数函数的定义域
例5：函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】要使函数解析式有意义，需满足解得:.
故选：C
举一反三
1．函数的定义域是_______．
【答案】或
解:由，解得或，故答案是或．
2．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．
【答案】
解：∵函数的定义域是R，
∴+ax＞0对于任意实数x恒成立，
即ax＞对于任意实数x恒成立，
当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立；
当x＞0时，则a＞＝，
∵x＞0，∴，则≥，
则≤，可得a＞；
当x＜0时，则a＜，
∵x＜0，∴，则＞1，
则＞1，可得a≤1．
综上可得，实数a的取值范围是．
故答案为：．
题型三：对数函数的值域
例6：已知函数，则的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，所以，
故选：D
举一反三
1．函数的值域是________.
【答案】
【详解】令，则，因为，
所以的值域为，因为在是减函数，
所以，所以的值域为，
故答案为：
2．若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.
【答案】
【详解】因为的最大值为0，所以应有最小值1，因此应有解得.
故答案为：.
题型四：对数函数的图像
例7：已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（       ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
举一反三
函数与的大致图像是（       ）
A．B．C．D．
【答案】A
解：因为在定义域上单调递减，
又，所以在定义域上单调递减，
故符合条件的只有A；
故选：A
题型五：对数函数的单调性
例8：1．满足函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：若在上单调递减，则满足且，
即且，则，
即在上单调递减的一个充分不必要条件是，
故选：D．
2．已知，则实数a的取值范围为______．
【答案】.
解：当时，由，可得，解得；
当时，，可得，得，不满足，故无解.
综上所述a的取值范围为：.
故答案为：.
举一反三
1．若是定义在上的增函数，实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为是定义在上的增函数，
所以，解得，
故选：B
2．函数的单调递减区间为_____
【答案】
【详解】函数的定义域为
又是由与复合而成，
因为外层函数单调递减，所以求函数的单调递减区间即是求内层函数的增区间，而内层函数在上单调递增，所以函数的减区间为
故答案为：
题型六：反函数
例9：已知函数，它的反函数为，则_______．
【答案】
【详解】因为，所以令，解得，
根据互为反函数之间的关系，可得.
故答案为：.
举一反三
已知，分别是方程，的根，则（       ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得是函数的图象与直线交点的横坐标，是函数图象与直线交点的横坐标，
因为的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，所以线段的中点就是直线与的交点，
由，得，即线段的中点为，所以，得，
故选：B
题型七：对数函数的应用
例10：人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（       ）倍．(参考数据：)
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设前者、后者的里氏震级分别为，前者、后者释放出的能量分别为、，则其满足关系和，
两式作差可以得到，
即，所以，故选：C．
举一反三
（多选）某学校为了加强学生核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，让学生以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下，其中研究成果正确的是（       ）
A．函数的定义域为，且是偶函数
B．对于任意的，都有
C．对于任意的a，，都有
D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，，总满足
【答案】BC
【详解】A：由，解得，故的定义域为．
又，
∴为奇函数，故错误．
B：由，，故正确．
C：，
，
∴，故正确．
D：取，，则，，
∴，故错误．故选：BC．
题型八：对数函数的过定点
例11：（2022·上海市实验学校模拟预测）已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为_____．
【答案】##0.125
【解析】
【详解】过定点，所以,所以
故，当且仅当 时等号成立.
故答案为：
举一反三
已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 _______________________．
【答案】
【详解】因为，所以，设幂函数，
因为幂函数 的图象经过，所以，
因此，故答案为：
题型九：对数函数的参数问题
例12：已知，，，，，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，故，即，故求解有，即，又，解得.故
故选：D
举一反三
若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【详解】当时，，
所以要使方程在区间上有解，只需即可，解得或，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
题型十：指数函数与对数函数的综合
例13：1.若关于x的方程有解，则实数的取值范围为(       )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
，
当且仅当时取等号，
故a≥6．
故选：C．
2.（多选）已知函数，若，则实数的值可能是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】当时，，解得：，
当时，解得：，
综上所述：实数的值可能是或，
故选：AC.
举一反三
1．春天是一个美丽、神奇，充满希望的季节，我们每个人都应当保持像春天一样朝气蓬勃的生命力，去创造属于我们自己的美好生活．随着2022年春天的深入，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据）（       ）
A．17天 B．15天 C．12天 D．10天
【答案】A
【详解】设荷叶覆盖水面的初始面积为，则天后荷叶覆盖水面的面积，根据题意，令，即，两边取以10为底的对数得，所以解得．
故选：A．
2．（多选）已知函数，若，则的所有可能值为（   ）
A．1 B． C．10 D．
【答案】AD
【详解】

当时，由可得
当，可得
解得的所有可能值为：或
故选：AD.