第九章 平面向量（A卷•基础提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（苏教版2019必修第二册）

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第九章 平面向量A卷•基础练本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟。一、单选题1．已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平面向量基底的意义，逐项判断即可作答.【详解】是平面内两个不共线的向量，对于A，，即向量共线，A不是；对于B，，即向量共线，B不是；对于D，，即向量共线，D不是；对于C，因为，即向量与不共线，则向量与能作为平面的一个基底，C是.故选：C2．设D为△ABC所在平面内一点，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平面向量基本定理和向量的线性运算展开整理化简即可求解.【详解】因为，也即，整理化简可得：，故选：.3．已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（    ）A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6【答案】B【分析】先根据向量的线性运算得到，然后再利用奔驰定理即可求解.【详解】由可得：,整理可得：，由可得，整理可得：，所以，整理得：，由奔驰定理可得：，故选：.4．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（    ）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用平面向量线性运算法则以及平面向量基本定理，将用表示出来，求出，的值，即可求解．【详解】由题意可得，因为是平行四边形，所以，所以，所以，因为，所以，则．故选:D5．点为内一点，若，设，则实数和的值分别为（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】先证明成立得到，再利用向量的线性运算即可.【详解】如图所示，延长交于，显然，由面积关系可得，所以，而，所以，所以，即，又由题可知，所以，所以，整理得，所以，故选：A6．已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用极化恒等式求解即可.【详解】取OC中点D，由极化恒等式得又，∴的最小值为．故选:C.7．如图，正方形中，分别为的中点，且，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量线性运算可得，从而得到的值.【详解】，，，.故选：C.8．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平面向量的线性运算可得，由，，三点共线，知，再根据基本不等式中的“乘1法”，即可得解．【详解】因为点是的重心，且，，所以，因为，，三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．故选：． 二、多选题9．已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用向量的坐标运算，结合平面向量数量积、用坐标求向量的模、共线向量的坐标表示逐项计算判断作答.【详解】对于A，，，与不垂直，A不正确；对于B，，有，B正确；对于C，，有，C不正确；对于D，，由选项C知，，D正确.故选：BD10．已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（    ）A．向量与可能平行 B．点P在线段EF上C． D．【答案】BC【分析】根据平面向量线性运算化简得到，即可判断ABC选项；根据点为线段靠近点的三等分点得到，，，然后得到，即可判断D选项.【详解】因为，所以，即，所以点为线段靠近点的三等分点，故A错，BC正确；设边上的高为，因为，分别为，中点，所以，，又点为线段靠近点的三等分点，，，所以，则，，所以，故D错.故选：BC.11．中，点M是边的中点，，则一定不是（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】ABC【分析】根据向量的加法、减法运算及数量积的运算求解即可.【详解】因为点M是边的中点，所以,故由可得,所以,即,故选：ABC12．下列说法中正确的有（    ）A．已知在上的投影向量为且，则；B．已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是；C．若非零向量满足，则与的夹角是.D．在中，若，则为锐角；【答案】AC【分析】结合投影向量的概念以及平面向量数量积的定义可判断A选项，结合平面向量数量积和向量共线的坐标运算即可判断B选项，根据平面向量夹角的公式以及数量积的运算律即可判断C选项，结合平面向量数量积的定义即可判断D选项.【详解】设与的夹角为，又因为在上的投影向量为，所以，即，所以，故A正确；因为，则，又因为与夹角为锐角，所以，且与不共线，即，解得，所以则的取值范围是，故B错误；因为，两边同时平方得，即，所以，即，因此，又因为向量夹角的范围是，所以，故C正确；因为，所以，因为，故，又因为，故，因此为钝角，故D错误，故选：AC. 三、填空题13．已知向量，满足，，，则实数______．【答案】1【分析】根据平面向量的坐标的线性运算求得，根据向量的模的坐标运算列方程即可得实数的值.【详解】解：已知向量，满足，，所以，则，解得.故答案为：1.14．如图，在平行四边形中，点满足，，与交于点，设，则_____.【答案】【分析】作辅助线，利用重心的性质即可求解.【详解】如图，设是上除点外的令一个三等分点，连接，连接交于，则.在三角形中，是两条中线的交点，故是三角形的重心，结合可知，由于是中点，故.所以，由此可知.故答案为：.15．已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则__.【答案】【分析】计算，，计算得到答案.【详解】由题意得，所以.故答案为：16．已知向量满足，则与的夹角为_______________．【答案】【分析】根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】，，设与的夹角为，，因为，所以，故答案为： 四、解答题17．已知非零平面向量，的夹角为，.(1)证明：；(2)设，求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）首先将条件等式两边同时平方，根据向量的数量积运算求得.再将平方即可证明结论成立；（2）将平方可得，然后根据二次函数的性质求解最值即可.【详解】（1）由可得，所以.又因为，的夹角为，故.联立两式可得，结合是非零向量可得.所以，则.（2），所以当时，取最小值，即取最小值.18．如图， 正方形 中， 是 中点， 是 中点， 与 交于点 ， 求 的余弦值．【答案】【分析】运用平面向量数量积的方法求解.【详解】设正方形ABCD的边长为2， ，则有 ，  ， ，  ；综上， .19．如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．(1)用，表示；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)3. 【分析】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可；（2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据三点共线找出等量关系；【详解】（1）在中，由,又，所以，所以（2）因为，又，所以，，所以，又三点共线，且在线外，所以有：，即.20．已知平面向量，，，，且与的夹角为．(1)求(2)若与垂直，求k的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用向量的平方等于模长的平方和数量积公式求解即可；（2）利用向量垂直数量积为0求解即可.【详解】（1）由题意可得，所以.（2）因为向量与垂直，所以，解得.21．已知与的夹角为．(1)求的值；(2)设，求的夹角．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据可以得到答案；（2）计算即可.【详解】（1）由已知，得：，∴，∴；（2）∵，，∴，由（1）得：，∴，∵，∴.22．已知向量､的夹角为，且，设，.(1)求；(2)试用来表示的值；(3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用向量数量积运算求得正确答案.（2）利用向量数量积运算求得正确答案.（3）根据与的夹角为钝角列不等式，由此求得的取值范围.【详解】（1）.（2）.（3）由于与的夹角为钝角，于是且与不平行.其中，而，于是实数的取值范围是.