高中数学上教版（2020）必修第三册11.4 球单元测试课后练习题

第11章  简单几何体（B卷·能力提升练）

（时间：120分钟，满分：150分）

一、填空题(共54分)

1．(本题4分)（2017·上海交大附中高二期中）如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________.

2．(本题4分)（2022·上海·格致中学高二期末）若正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4，则此正四棱柱的体积为______．

3．(本题4分)（2022·上海市杨浦高级中学高二期末）正四棱柱的高为底面边长的倍，则其体对角线与底面所成角的大小为_________.

4．(本题4分)（2022·上海崇明·二模）已知圆锥的母线长等于2，侧面积等于，则该圆锥的体积等于________．

5．(本题4分)（2022·上海市新场中学高一期末）在棱长为2的正方体中，那么点到平面的距离为___________.

6．(本题4分)（2022·上海市行知中学高二期中）已知圆锥的表面积为，其侧面展开扇形的圆心角大小为，则这个圆锥的底面半径为______.

7．(本题5分)（2022·上海市嘉定区第二中学高一期末）定义空间点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离.在空间中，记边长为1的正方形区域（包括边界及内部的点）为，则到距离等于1的点所围成的几何体的体积为___________.

8．(本题5分)（2022·上海市青浦高级中学高一期末）设地球半径为R，地球上北纬30°圈上有A，B两点，点A在西经10°，点B在东经110°，则点A和B两点东西方向的距离是___________.

9．(本题5分)（2022·上海市光明中学模拟预测）如图所示，有边长为2的正方体为正方体表面的一个动点．若三棱锥的体积为，则的取值范围是____________．

10．(本题5分)（2022·上海·复旦附中高二期中）已知正方体的棱长为1，其内切球（即该球与正方体的六个面均有且仅有一个公共点）上有两个动点M、N，点P为正方体表面上一动点，当线段MN长度最大时，的取值范围是______．

11．(本题5分)（2022·上海·复旦附中高二期中）如图所示，过三棱台上底面的一边，作一个平行于棱的截面，与下底面的交线为DE．若D、E分别是AB、BC的中点，则______．

12．(本题5分)（2022·上海·华师大二附中高二期末）类比教材中推导球的体积公式的方法，试计算椭圆T：绕y轴旋转一周后所形成的旋转体(我们称为橄榄球)的体积为________.

二、单选题(共20分)

13．(本题5分)（2022·上海交大附中高三期中）下面是关于三棱锥的四个命题，其中真命题的编号是（       ）

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．

③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．

④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．

A．①② B．①④ C．②③ D．①③

14．(本题5分)（2022·上海静安·二模）中国古代建筑使用榫卯结构将木部件连接起来，构件中突出的部分叫榫头，凹进去的部分叫卯眼，图中摆放的部件是榫头，现要在一个木头部件中制作出卯眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么卯眼的俯视图可以是（       ）

A． B． C． D．

15．(本题5分)（2022·上海市青浦高级中学模拟预测）如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三视图．搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（       ）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

16．(本题5分)（2022·上海市青浦高级中学高一期末）在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（含边界）一点，以下选项错误的是（       ）.

A．若，则满足条件的P点有且只有一个

B．若，则点P的轨迹是一段圆弧

C．若平面，则长的最小值为

D．若且平面，则平面截正方体外接球所得截面的面积为

三、解答题(共76分)

17．(本题12分)（2022·上海交大附中模拟预测）已知正四棱柱，其中．

(1)若点是棱上的动点，求三棱锥的体积．

(2)求点到平面的距离

18．(本题14分)（2022·上海中学高一期末）如图，某钢性“钉”由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O，钉尖为．

(1)当在同一水平面内时，求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(2)若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为，要用某种线性材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少厘米？

19．(本题16分)（2022·上海黄浦·二模）如图，直角边长为的等腰直角三角形及其内部绕边旋转一周，形成一个圆锥．

(1)求该圆锥的侧面积；

(2)三角形绕逆时针旋转到，为线段中点，求与平面所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

20．(本题16分)（2022·上海市嘉定区第二中学高一期末）如图，是底面边长为1的正三棱锥，D､E､F分别为棱长上的点，截面底面ABC，且棱台与棱锥的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）

(1)证明：为正四面体；

(2)若，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(3)设棱台体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明，若不存在，请说明理由（直平行六面体指侧棱垂直于底面，底面是平行四边形的四棱柱）

21．(本题18分)（2022·上海·模拟预测）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形（正四棱锥被平行于底面的平面截去一个小正四棱锥后剩下的多面体）玻璃容器Ⅱ的高均为，容器Ⅰ的底面对角线的长为，容器Ⅱ的两底面对角线、的长分别为和．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为．现有一根玻璃棒l，其长度为．（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）

(1)求容器Ⅰ、容器Ⅱ的容积；

(2)①将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，求l没入水中部分（水面以下）的长度；

②将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求l没入水中部分（水面以下）的长度．