高中数学上教版（2020）选修第二册9.3 数学建模活动单元测试巩固练习

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第5章导数及其应用
（A卷·知识通关练）

一、导数的定义
1．（2023·高三课时练习）若fx在x0处可导，则f'x0可以等于（    ）．
A．limΔx→0fx0-fx0-ΔxΔx B．limΔx→0fx0+Δx-fx0-ΔxΔx
C．limΔx→0fx0+2Δx-fx0-ΔxΔx D．limΔx→0fx0+Δx-fx0-2ΔxΔx
【答案】A
【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断得出结果.
【详解】由导数定义f'x0=limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx，
对于A， f'x0=limΔx→0fx0-fx0-Δxx0-x0-Δx=limΔx→0fx0-fx0-ΔxΔx，A满足；
对于B，f'x0=limΔx→0fx0+Δx-fx0-Δxx0+Δx-x0-Δx=limΔx→0fx0+Δx-fx0-Δx2Δx，
f'x0=12limΔx→0fx0+Δx-fx0-ΔxΔx，B不满足；
对于C，f'x0=limΔx→0fx0+2Δx-fx0-Δxx0+2Δx-x0-Δx=limΔx→0fx0+2Δx-fx0-Δx3Δx，
f'x0=13limΔx→0fx0+2Δx-fx0-ΔxΔx，C不满足；
对于D，f'x0=limΔx→0fx0+Δx-fx0-2Δxx0+Δx-x0-2Δx=limΔx→0fx0+Δx-fx0-2Δx3Δx，
f'x0=13limΔx→0fx0+Δx-fx0-2ΔxΔx ，D不满足.
故选：A.
2．（2023秋·山西晋城·高二统考期末）有一机器人的运动方程为s(t)=t2+6t，（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为（    ）
A．5 B．7 C．10 D．13
【答案】C
【分析】对运动方程求导，根据导数的意义，将t=2代入导函数即可求解.
【详解】因为s(t)=t2+6t，所以s'(t)=2t+6，
则s'(2)=2×2+6=10，
所以该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为10，
故选：C.
3．（2022秋·吉林·高二吉林省实验校考期末）某物体的运动方程为st=3t2（位移单位：m，时间单位：s），若v=limΔt→0s3+Δt-s3Δt=18m/s，则下列说法中错误的是（    ）
A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度
B．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度
C．18m/s是物体从3s到3+Δts这段时间内某一时刻的速度
D．18m/s是物体从3s到3+Δts这段时间内的平均速度
【答案】ACD
【分析】由瞬时速度定义可得答案.
【详解】因limΔt→0st+Δt-stΔt表示t秒这一时刻的瞬时速度，则limΔt→0s3+Δt-s3Δt表示在3s这一时刻的瞬时速度，故不选B，选ACD.
故选：ACD
4．（2022春·陕西榆林·高二校考阶段练习）设函数fx可导且fx在x0处的导数值为1，则limΔx→0fx0+2Δx-fx03Δx=__________．
【答案】23
【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答.
【详解】依题意，f'(x0)=1，
所以limΔx→0fx0+2Δx-fx03Δx=23lim2Δx→0fx0+2Δx-fx02Δx=23f'(x0)=23.
故答案为：23
5．（2023·高三课时练习）利用导数的定义求函数y=x2+2022在点x＝2022处的导数．
【答案】4044
【分析】利用导数的定义直接求解.
【详解】因为y=x2+2022，
所以Δy=Δx+20222+2022-20222+2022=Δx2+4044Δx，
所以ΔyΔx=Δx2+4044ΔxΔx=Δx+4044，
所以f'2022=limΔx→0Δx+4044=4044.
6．（2023·高二课时练习）已知一物体的位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为St=t3，求此物体在t=2时的速度．
【答案】12m/s.
【分析】根据导数的定义，可求出S't=3t2.
【详解】因为，ΔSΔt=St+Δt-StΔt =t+Δt3-t3Δt=Δt2+3tΔt+3t2，
根据导数的概念可得，S't=limΔt→0ΔSΔt=limΔt→0Δt2+3tΔt+3t2=3t2，即S't=3t2.
所以，S'2=3×22=12，
所以此物体在t=2时的速度是12m/s．

二、导数的几何意义
7．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）设函数fx=2lnx-12x2+x的图像在x=1处的切线为l，则l在x轴上的截距为（    ）
A．-34 B．34 C．32 D．-32
【答案】B
【分析】先求导得到切线斜率，写出切线方程，再求出x轴截距即可.
【详解】因为f'x=2x-x+1，所以f'1=2,f1=12,l的方程为y-12=2x-1，
即y=2x-32,令2x-32=0，解得x=34,则l在x轴上的截距为34.
故选：B
8．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）函数y=f(x)的图象如图所示，f'(x)是函数f(x)的导函数，令a=f'(2)，b=f'(4)，c=f(4)-f(2)2，则下列数值排序正确的是（    ）

A．b 【答案】C
【分析】利用导数的几何意义判断.
【详解】由函数图象知：f'(2) 所以a 故选：C
9．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数fx=xex，过点a,b作曲线fx的切线，下列说法正确的是（    ）
A．当a=0，b=0时，有且仅有一条切线
B．当a=0时，可作三条切线，则0 C．当a=2，b>0时，可作两条切线
D．当0 【答案】AD
【分析】分点0,0为切点、不为切点两种情况，求出切线方程可判断A；设切点坐标为x0,y0，利用导数求出切线方程为y-x0ex0=1-x0ex0x-x0，当a=0时，b=x02ex0，设gx=x2ex，利用导数求出gx单调性，结合图象可判断B；当a=2时，求出b=x02-2x0+2ex0，设hx=x2-2x+2ex，利用导数求出hx单调性，结合图象可判断C；当0 【详解】A：当a=0,b=0时，点0,0在f(x)=xex上，f'(x)=1-xex，
若0,0为切点，则切线斜率为k=f'(0)=1，所以切线方程为y=x，
若0,0不为切点，设切点坐标为x0,y0，所以y0=x0ex0，
切线斜率为y0x0=1-x0ex0，所以x0=0，y0=0，即切点为原点，所以a=0,b=0时，有且仅有一条切线，正确；
B：设切点坐标为x0,y0，所以y0=x0ex0，f'(x)=1-xex，
则切线的斜率为k=1-x0ex0，切线方程为y-x0ex0=1-x0ex0x-x0，
当a=0时，b-x0ex0=1-x0ex0-x0，则b=x02ex0，
设gx=x2ex，则g'x=2x-x2ex=x2-xex，
当x∈-∞,0时，g'x<0，gx单调递减，
当x∈2,+∞时，g'x<0，gx单调递减，
当x∈0,2时，g'x>0，gx单调递增，
所以x=0时gx有极小值，为g0=0，x=2时gx有极大值，为g2=4e2，
x>0时fx=xex>0，画出f(x)=xex的图象，

当a=0时，若有三条切线，则y=b与f(x)=xex有3个交点，由图得0 C：当a=2时，由切线方程得b-x0ex0=1-x0ex02-x0，则b=x02-2x0+2ex0，
设hx=x2-2x+2ex，则h'x=-x2+4x-4ex=-x-22ex≤0，
所以hx单调递减，且hx=x-12+1ex>0，
如图，

所以当a=2，b>0时，y=b与hx=x2-2x+2ex有且只有一个交点，所以只能作一条切线，错误；
D：当0 设tx=x2+1-xaex，则t'x=2+ax-x2-2aex=x-a2-xex，
因为00，tx单调递增，
所以当x∈-∞,a时t'x<0，tx单调递减，
所以当x∈2,+∞时t'x<0，tx单调递减，
x=a时，tx有极小值为ta=a2+1-aaea=aea>0，
x=2时，tx有极大值为t2=4+1-2ae2=4-ae2>0，
tx的图象为

若有两条切线，则b的取值为4-ae2或aea，正确.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：利用导数研究含参函数零点问题主要有两中方法：
（1）利用导数研究函数f(x)的最（极）值，转化为函数f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想，其本质就是在含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题；
（2）分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y=g(x)图象交点问题.
10．（2023·安徽淮南·统考一模）已知函数f(x)=x+4x+2，则（    ）
A．f(x)的值域为[6,+∞)
B．直线3x+y+6=0是曲线y=f(x)的一条切线
C．f(x-1)图象的对称中心为(-1,2)
D．方程f2(x)-5f(x)-14=0有三个实数根
【答案】BD
【分析】A.分x>0,x<0两种情况求函数的值域；B.利用导数求函数的切线，判断选项；C.利用平移判断函数的对称中心；D.首先求fx的值，再求解方程的实数根.
【详解】A.x>0时，f(x)=x+4x+2≥4+2=6，当x=2时等号成立，
当x<0时，f(x)=x+4x+2≤-4+2=-2，当x=-2时等号成立，故A错误；
B.令f'x=1-4x2=-3，得x=±1，f1=7，所以图象在点1,7处的切线方程是y-7=-3x-1，得3x+y-10=0，f-1=-3，所以图象在点-1,-3处的切线方程是y+3=-3x+1，得3x+y+6=0，故B正确；
C. y=x+4x的对称中心是0,0，所以f(x)=x+4x+2的对称中心是0,2，向右平移1个单位得fx-1，对称中心是1,2，故C错误；
D. f2(x)-5f(x)-14=0，解得：fx=-2或fx=7，
当x+4x+2=-2，得x+22=0，x=-2，1个实根，当x+4x+2=7时，得x=1或x=4，2个实根，所以共3个实根，故D正确.
故选：BD
11．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知l是曲线y=x2+klnx在x=1处的切线,若点0,-1到l的距离为1,则实数k=______.
【答案】-54
【分析】根据题意写出直线l的方程,根据点到直线的距离公式即可求出k.
【详解】解:由题知y=x2+klnx,
所以y'=2x+kx,
因为l是曲线y=x2+klnx在x=1处的切线,
所以当x=1时,y=1,且kl=2+k,
所以l:y=2+kx-1-k,
因为点0,-1到l的距离为1,
所以d=k2+k2+1=1,
解得:k=-54.
故答案为:-54
12．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线fx=2x3-3x，过点M(0,32)作曲线的切线，则切线的方程为____________.
【答案】21x-y+32=0
【分析】设切点坐标为N(x0,2x03-3x0)，根据切线所过的点得到x0的方程，解出x0后可得所求的切线方程.
【详解】设切点坐标为N(x0,2x03-3x0)，f'x=6x2-3,则切线的斜率k=f'(x0)=6x02-3，
故切线方程为y=(6x02-3)x+32，又因为点N(x0,2x03-3x0)在切线上，
所以2x03-3x0= (6x02-3)x0+32，整理得到x03=-8，
解得x0=-2，所以切线方程为y=21x+32．
故答案为: 21x-y+32=0.
13．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设直线x+y+1=0是曲线y=a-lnx的一条切线，则a=_________．
【答案】-2
【分析】设切点为x0,y0，根据导数的几何意义求出切点的横坐标，再根据切点即在曲线上又在切线上即可得解.
【详解】设切点为x0,y0，
y'=-1x，
则y'x=x0=-1x0=-1，所以x0=1，
所以切点为1,a，
又切线为x+y+1=0，
所以1+a+1=0，解得a=-2.
故答案为：-2.
14．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知直线l与曲线y=ex、y=2+lnx都相切，则直线l的方程为______．
【答案】y=x+1或y=ex
【分析】分别求出两曲线的切线方程是y=ex1x+ex11-x1和y=1x2x+1+lnx2，解方程ex1=1x2，ex11-x1=1+lnx2，即得解.
【详解】解：由y=ex得y'=ex，设切点为x1,ex1，所以切线的斜率为ex1，
则直线l的方程为：y=ex1x+ex11-x1；
由y=2+lnx得y'=1x，设切点为x2,2+lnx2，所以切线的斜率为1x2，
则直线l的方程为：y=1x2x+1+lnx2．
所以ex1=1x2，ex11-x1=1+lnx2，
消去x1得1x2-11+lnx2=0，
故x2=1或x2=1e，所以直线l的方程为：y=x+1或y=ex．
故答案为：y=x+1或y=ex
15．（2023·全国·高二专题练习）已知曲线y=2x-x2上的两点A2,0和B1,1，求：
(1)割线AB的斜率kAB；
(2)过点A的切线的斜率kAT；
(3)点A处的切线的方程．
【答案】(1)kAB=-1；
(2)kAT=-2；
(3)2x+y-4=0.

【分析】（1）根据斜率公式，即可得到；（2）令y=fx，根据导数的定义求出f'x，分成切点为A点和不是A点两种情况.当切点不是A点时，设出切点坐标，表示出切线斜率，得到关系式，求出参数值，得到这种情况不符合，所以斜率即为kAT=f'2=-2；（3）根据（2）中求出的斜率kAT，代入点斜式方程，整理即可得到结果.
【详解】（1）由已知可得，kAB=1-01-2=-1.
（2）令y=fx，ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx =2x+Δx-x+Δx2-2x-x2Δx =2Δx-2xΔx-Δx2Δx =2-2x-Δx，
根据导数的定义可得，f'x=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→02-2x-Δx=2-2x.
①当切点为A点时，根据导数的几何意义知kAT=f'2=2-2×2=-2；
②当切点不是A点时.
设切点坐标为x0,2x0-x02，x0≠2，则kAT=2-2x0，
又kAT=2x0-x02-0x0-2=-x0，所以有2-2x0=-x0，解得x0=2，
因为x0≠2，所以此时无解.
综上所述，过点A的切线的斜率kAT=-2.
（3）由（2）知，曲线在点A处的切线的斜率kAT=-2，
代入点斜式方程有，y=-2x-2，整理可得切线的方程为2x+y-4=0.
16．（2023·高二课时练习）已知fx=x3-2x2+x+6，求曲线y=fx在点P-1,2处的切线与坐标轴围成的三角形的面积S．
【答案】254.
【分析】根据导数的定义可求出f'x=3x2-4x+1，根据导数的几何意义，可得k=f'-1=8，进而求出切线方程以及切线与两坐标轴的交点坐标，即可求出结果.
【详解】ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx
=x+Δx3-2x+Δx2+x+Δx+6-x3-2x2+x+6Δx =Δx2+3x-2Δx+3x2-4x+1，
根据导数的概念可得，f'x=limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0Δx2+3x-2Δx+3x2-4x+1
=3x2-4x+1，
所以f'x=3x2-4x+1，则f'-1=8，
根据导数的几何意义可得，曲线y=fx在点P-1,2处的切线的斜率k=8，
所以曲线y=fx在点P-1,2处的切线的方程为y-2=8x+1，即8x-y+10=0．
令x=0，得y=10；令y=0，得x=-54．
由此知该切线与两条坐标轴的交点分别为0,10与-54,0，所以所求三角形的面积S=12×54×10=254．

三、基本初等函数的导数
17．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考开学考试）下列求导运算正确的是（    ）
A．x-2'=x-3 B．xsinx'=sinx+xcosx
C．e2x'=e2x D．cosπ3'=-sinπ3
【答案】B
【分析】根据导数的运算法则以及复合函数的求导法则，求出各项的导数，即可得出答案.
【详解】对于A项，x-2'=-2x-2-1=-2x-3，故A项错误；
对于B项，xsinx'=x'⋅sinx+x⋅sinx'=sinx+xcosx，故B项正确；
对于C项，e2x'=e2x⋅2x'=2e2x，故C项错误；
对于D项，cosπ3'=0，故D项错误.
故选：B.
18．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）函数f(x)=log21x的导函数为（    ）
A．f'(x)=ln2x B．f'(x)=1xln2 C．f'(x)=-ln2x D．f'(x)=-1xln2
【答案】D
【分析】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.
【详解】依题知，1x>0，即x>0，
由求导公式：loga'x=1xlna，
复合函数的求导法则：设u=gx，则f'gx=f'u⋅g'x
得：f'x=11xln2×1x'=xln2×-1x2=-1xln2，
故选：D.
19．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）已知函数fx=xsinx+cosx，则f'x=（    ）
A．xcosx B．-xcosx
C．2sinx+xcosx D．xsinx
【答案】A
【分析】根据导数运算法则直接求解即可.
【详解】f'x=x'sinx+xsinx'+cosx'=sinx+xcosx-sinx=xcosx.
故选：A.
20．（2023秋·山西运城·高二康杰中学校考期末）已知函数fx=4sinx+3xf'0，则f'0=（    ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
【答案】B
【分析】先求f'x，再求f'0的值.
【详解】解：因为fx=4sinx+3xf'0，
所以f'x=4cosx+3f'0，
所以f'0=4+3f'0，解得f'0=-2．
故选：B.
21．（2023秋·天津河西·高二北京师范大学天津附属中学校考期末）下列求导数运算错误的是（    ）
A．3x'=3xln3 B．x2lnx'=2xlnx+x
C．cosxx'=xsinx-cosxx2 D．2lnx2+1'=2xln2x2+1⋅2lnx2+1
【答案】C
【分析】根据初等函数导数公式、导数的四则运算及复合函数求导法则依次验证各个选项即可.
【详解】对于A，由指数函数求导公式可得3x'=3xln3，A正确；
对于B，x2lnx'=x2'lnx+x2lnx'=2xlnx+x，B正确；
对于C，cosxx'=cosx'⋅x-cosx⋅x'x2=-xsinx-cosxx2，C错误；
对于D，2lnx2+1'=2lnx2+1⋅ln2⋅lnx2+1'=2lnx2+1⋅ln2⋅1x2+1⋅x2+1'=2xln2x2+1⋅2lnx2+1，D正确.
故选：C.
22．（2023·全国·高二专题练习）已知f(x)=tanx，则f'(π6)=（    ）
A．14 B．34 C．43 D．4
【答案】C
【分析】由题意可知，fx=tanx=sinxcosx，利用导数的四则运算即可求出f'x，代入数值即可求得结果.
【详解】因为f(x)=tanx，所以f'(x)=(tanx)'=(sinxcosx)'=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x，所以f'(π6)=1cos2π6=43．
故选：C．

四、导数的四则运算
23．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）下列函数的求导运算中，错误的是（    ）
A．x2+3ex'=2x+3ex B．(2sinx-3)'=2cosx
C．1lnx'=x D．(xcosx)'=cosx-xsinx
【答案】C
【分析】根据求导法则依次计算得到ACD正确，1lnx'=-1xlnx2，B错误，得到答案.
【详解】对选项A：x2+3ex'=2x+3ex，正确；
对选项B：(2sinx-3)'=2cosx，正确；
对选项C：1lnx'=-1xlnx2=-1xlnx2，错误；
对选项D：(xcosx)'=cosx-xsinx，正确.
故选：C
24．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）若函数fx=acosx+bsinx在x=π4处的切线方程为y=4x+2-π，则ba的值是（    ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由导数的几何意义列出方程求解即可.
【详解】f'x=-asinx+bcosx，
由切线斜率为4，得f'π4=-asinπ4+bcosπ4=4，整理得-a+b=42①，
由切线经过π4,2，得fπ4=acosπ4+bsinπ4=2，整理得a+b=22②，
联立①②解得a=-2,b=32，故ba=-3.
故选：A.
25．（2023秋·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）过下列哪些点恰可以作函数fx=2x3-3x的两条切线（    ）
A．-2,-10 B．-2,3 C．-2,6 D．-2,8
【答案】AC
【分析】由fx=2x3-3x，所以f'x=6x2-3，设切点为x0,2x02-3x0，则f'x0=6x02-3，结合导数的几何意义分别求解即可.
【详解】由fx=2x3-3x，所以f'x=6x2-3，
设切点为x0,2x02-3x0，则f'x0=6x02-3.
对于A，因为f-2=-10，所以-2,-10在函数fx=2x3-3x上，
当-2,-10为切点时，有一条切线；
当-2,-10不为切点时，由f'x0=6x02-3=-10-2x02-3x0-2-x0，
即3x03+5x02-8=0，
设gx=3x3+5x2-8，则g'x=9x2+10x=x9x+10，
令g'x>0，则x<-109或x>0；令g'x<0，则-109 所以函数gx在 -∞,-109和0,+∞上单调递增，在-109,0上单调递减，
又g-109=-1444243<0，g0=-8<0，
所以函数gx=3x3+5x2-8只有一个零点，故x0只有一个解，
综上所述，过-2,-10恰可做函数fx=2x3-3x的两条切线，故A正确；
对于B，由f'x0=6x02-3=3-2x02-3x0-2-x0，
即6x03+10x02-3=0，
设hx=6x3+10x2-3，则h'x=18x2+20x=2x9x+10，
令h'x>0，则x<-109或x>0；令h'x<0，则-109 所以函数hx在 -∞,-109和0,+∞上单调递增，在-109,0上单调递减，
又h-109=813729>0，h0=-3<0，
所以函数gx=3x3+5x2-8有3个零点，故x0有3个解，
所以-2,3恰可做函数fx=2x3-3x的三条切线，故B不正确；
对于C，由f'x0=6x02-3=6-2x02-3x0-2-x0，
即3x03+5x02=0，解得x0=0或x0=-53，
所以过-2,6恰可做函数fx=2x3-3x的两条切线，故C正确；
对于D，由f'x0=6x02-3=8-2x02-3x0-2-x0，
即3x03+5x02+1=0，
设ux=3x3+5x2+1，则u'x=9x2+10x=x9x+10，
令u'x>0，则x<-109或x>0；令u'x<0，则-109 所以函数ux在 -∞,-109和0,+∞上单调递增，在-109,0上单调递减，
又u-109=4229729>0，h0=1>0，
所以函数ux=3x3+5x2+1有1个零点，故x0有1个解，
所以-2,8恰可做函数fx=2x3-3x的一条切线，故D不正确；
故选：AC.
26．（2021春·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）已知fx=2x-f12lnx+2f'1x2，则f1=___________.
【答案】-2
【分析】求导后，将x=1代入fx和f'x，得到方程组求解即可.
【详解】解：已知fx=2x-f12lnx+2f'1x2，
则f'x=2lnx+2x-f12⋅1x+2f'1⋅2x
∴f1=2f'1f'1=2-f12+4f'1，解得f1=-2f'1=-1，
故答案为：-2.
27．（2023·安徽合肥·统考一模）函数fx=x3-alnx在点1,f1处的切线与直线2x+y+1=0平行，则实数a=______．
【答案】5
【分析】根据导数的几何意义结合平行关系分析运算.
【详解】∵fx=x3-alnx，则f'x=3x2-ax，
∴f'1=3-a，
若切线与直线2x+y+1=0平行，则f'1=3-a=-2，解得a=5.
故答案为：5.

五、简单复合函数的导数
28．（2023春·山西忻州·高三校联考开学考试）函数fx=ln3x-2-2x的图象在点1,f1处的切线方程是（    ）
A．x+y+1=0 B．x+2y+3=0
C．x-2y-3=0 D．x-y-3=0
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式可求出结果.
【详解】f'x=33x-2-2，则切线的斜率是f'1=1，f1=-2，
则切线方程是y--2=1×x-1，即x-y-3=0．
故选：D
29．（2023·高三课时练习）若y=x22sin2x，则y'=______．
【答案】xsin2x-x2cos2xsin22x
【分析】根据复数的除法运算及复合函数的求导公式即可求解.
【详解】y'=12⋅x2'sin2x-x2sin2x'sin22x =12⋅2xsin2x-2x2cos2xsin22x =xsin2x-x2cos2xsin22x.
30．（2021·全国·高二专题练习）y=sin2x⋅cos3x的导数是________________________．
【答案】2cos2xcos3x-3sin2xsin3x
【分析】根据导数的乘法运算法则以及复合函数的求导法则求解出结果.
【详解】解析：因为y'=sin2x'cos3x+sin2xcos3x'，
所以y'=2cos2xcos3x-3sin2xsin3x，
故答案为：2cos2xcos3x-3sin2xsin3x.
31．（2023·全国·高二专题练习）已知fx=cos2x+lnx，则f'π4=__________.
【答案】-2+4π
【分析】直接求导即可得出答案.
【详解】∵fx=cos2x+lnx，
则f'x=-2sin2x+1x，
则f'π4=-2sinπ2+4π=-2+4π

故答案为：-2+4π
32．（2023·高三课时练习）求下列函数的导数：
(1)y=e-ax2+bx；
(2)y=2sin(1-3x)；
(3)y=3cos2x+x；
(4)y=ln1+sinx；
(5)y=lgsinx2+x2；
(6)y=cos21+x2ex．
【答案】(1)(-2ax+b)e-ax2+bx
(2)-6cos(1-3x)
(3)-13cos-232x+x⋅sin2x+x⋅2xln2+1
(4)cosx2(1+sinx)
(5)12+2x⋅cosx2+x2sinx2+x2⋅lge
(6)(x-1)2exsin21+x2ex

【分析】根据复合函数求导公式及运算法则，结合基本函数求导公式求解即得.
【详解】（1）因为函数y=e-ax2+bx可以看做函数y=eu和u=-ax2+bx的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
y'x=y'u⋅u'x
=eu'⋅-ax2+bx'
=eu×-2ax+b
=(-2ax+b)e-ax2+bx；
（2）因为函数y=2sin(1-3x)可以看做函数y=2sinμ和u=1-3x的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
y'x=y'u⋅u'x
=2sinμ'⋅1-3x'
=2cosμ×-3
=-6cos(1-3x)；
（3）因为函数y=3cos2x+x可以看做函数y=3u和u=cos2x+x的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，y'x=y'u⋅u'x，
又因为函数u=cos2x+x可以看做函数μ=cost和t=2x+x的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
μ'x=μ't⋅t'x
所以y'x=y'u⋅u't⋅t'x
=3μ'⋅cost'⋅2x+x'
=13μ-23×-sint×2xln2+1
=13cos-232x+x-sin2x+x×2xln2+1
=-13cos-232x+x⋅sin2x+x⋅2xln2+1；
（4）函数y=ln1+sinx可化为y=12ln1+sinx
因为函数y=12ln1+sinx可以看做函数y=12lnμ和u=1+sinx的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，y'x=y'u⋅u'x，
所以y'x=y'u⋅u'x
=12lnμ'⋅1+sinx'
=12μ×cosx
=cosx2(1+sinx)；
（5）因为函数y=lgsinx2+x2可以看做函数y=lgu和u=sinx2+x2的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，y'x=y'u⋅u'x，
又因为函数u=sinx2+x2可以看做函数μ=sint和t=x2+x2的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
μ'x=μ't⋅t'x
所以y'x=y'u⋅u't⋅t'x
=lgμ'⋅sint'⋅x2+x2'
=1μln10×cost×12+2x
=12+2x⋅cosx2+x2sinx2+x2⋅lge；
（6）函数y=cos21+x2ex可化为y=1+cos21+x2ex2，
因为函数y=1+cos2+2x2ex2可以看做函数y=1+cosμ2和u=2+2x2ex的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，y'x=y'u⋅u'x，
所以y'x=y'u⋅u'x
=1+cosμ2'2+2x2ex'
=-12sinμ⋅4xex-ex2+2x2e2x
=-12sinμ⋅-2x2+4x-2ex
=(x-1)2exsin21+x2ex.
33．（2022春·陕西榆林·高二校考阶段练习）求下列函数的导数．
(1)y=x-1x+1+x+1x-1
(2)y=e-2x+1x-16
【答案】(1)y'=-4x-12
(2)y'=e-2x+1x-158-2x

【分析】（1）利用导数运算规则即可求得该式的导数；
（2）利用复合函数的导数及导数运算规则即可求得该式的导数.
【详解】（1）y=x-1x+1+x+1x-1=x-12+x+12x+1x-1=2x+2x-1
y'=2x+2x-1'=2x+2'x-1-2x+2x-1'x-12
=2x-1-2x+2x-12=-4x-12
（2）y'=e-2x+1x-16'=e-2x+1'x-16+e-2x+1x-16'
=-2e-2x+1x-16+e-2x+1⋅6x-15=e-2x+1x-158-2x

六、利用导数研究函数的单调性
34．（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）函数fx=xcosx-sinx在区间-π,0上的最大值为（    ）
A．1 B．π C．32 D．3π2
【答案】B
【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由题意得f'x=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
当x∈-π,0时，sinx≤0，f'x≤0，
所以fx在区间-π,0单调递减，故函数最大值为f-π=π，
故选：B
35．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）已知函数fx=2x-sinx，则下列选项正确的是（    ）
A．fe C．fe 【答案】D
【分析】求导，判断fx在0,+∞上单调性，利用单调性比较大小.
【详解】因为函数fx=2x-sinx，
所以f'x=2-cosx>0，
所以fx在0,+∞上递增，
又因为2.7 所以f2.7 故选：D
36．（2023·全国·高二专题练习）已知函数f(x)=13ax3+x2+x+4，则“a≥0”是“fx在R上单调递增”的（    ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】求得fx在R上单调递增的充要条件即可判断.
【详解】由题f'x=ax2+2x+1
若fx在R上单调递增，则f'x≥0恒成立，a>0Δ=4-4a≤0即a≥1，
故“a≥0”是“fx在R上单调递增”的必要不充分条件
故选:C.
37．（2022年浙江省宁波市高中数学竞赛试题）已知实数x1,x2满足2x1+lnx1=3,ln1-x2-2x2=1，则x1+x2=_____．
【答案】1
【分析】令f(x)=2x+lnx，根据其为增函数可得x1+x2=1.
【详解】设f(x)=2x+lnx，则f'(x)=2+1x>0，故f(x)在0,+∞上为增函数，
而ln1-x2-2x2=1即为21-x2+ln1-x2=3，
由题可得fx1=f1-x2，所以x1=1-x2，即x1+x2=1．
故答案为：1
38．（贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（文）试题）已知函数fx=a-xlnx．
(1)求曲线y=f(x)在点1,f1处的切线方程；
(2)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围．
【答案】(1)y=a-1x-1
(2)a≤-1e2

【分析】(1)先求出f1=0，借助导函数求得f'1=a-1，进而可得切线方程.
(2) 函数f(x)在(0,+∞)上单调递减等价于f'x=-xlnx-x+ax≤0成立，令gx=-xlnx-x+a，借助导数判断gx单调性，进而得到最大值，则有1e2+a≤0，进而可得答案.
【详解】（1）根据题意，
函数fx的定义域为0,+∞,f1=0，
f'x=-lnx+a-xx
∴f'1=a-1
∴曲线fx在点1,f1处的切线方程为y=a-1x-1．
（2）fx的定义域为0,+∞
f'x=-lnx+a-xx=-xlnx-x+ax
令gx=-xlnx-x+a
g'x=-lnx-2
令g'x=0⇒x=1e2
g'x>0⇒0 g'x<0⇒x>1e2
∴gx在0,1e2上为增函数，在1e2,+∞上为减函数，g(x)max=g1e2=1e2+a
∵fx为单调递减的函数
∴1e2+a≤0
∴a≤-1e2．
39．（2022秋·江苏南京·高二南京市宁海中学校考期末）已知函数fx=kx-xlnx，k∈R.
(1)当k=2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当0 【答案】(1)f(x)单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,+∞)
(2)[1，+∞)

【分析】（1）直接对函数fx求导，利用导函数的正负即可求出单调区间.
（2）求出导函数，对参数k进行分类讨论即可.
【详解】（1）当k=2时，fx=2x-xlnx，x>0，f'x=1-lnx，
由f'x>0，解得0e，
所以函数f(x)单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,+∞).
（2）fx=kx-xlnx，故f'x=k-1-lnx，
当k≥1时，因为0 即f(x)在(0，1]上单调递增，所以f(x)≤f（1）=k恒成立，
当k<1时，令f'x=0，解得x=ek-1∈(0,1)，
当x∈(0,ek-1)，f'x>0，f(x)单调递增；
当x∈(ek-1,+∞)，f'x<0，f(x)单调递减，
于是f(ek-1)>f1=k，与f(x)≤k恒成立相矛盾，
综上，k的取值范围为[1，+∞).

七、利用导数研究函数的极值
40．（2023·全国·高三专题练习）fx是定义在R上的函数，满足2fx+f'x=xex，f-1=-12e，则下列说法正确的是（    ）
A．fx在R上有极大值 B．fx在R上有极小值
C．fx在R上既有极大值又有极小值 D．fx在R上没有极值
【答案】D
【分析】先由题意得f'-1=0，再构造gx=e2xfx，得到g'x=xe3x，进而再构造hx=e2xf'x=xe3x-2gx，判断出hx≥0，即f'x≥0，由此得到选项.
【详解】解：根据题意，2fx+f'x=xex，故2f-1+f'-1=-e-1，
又f-1=-12e，得2-12e+f'-1=-1e，故f'-1=0，
令gx=e2xfx，
则g'x=2e2xfx+e2xf'x=e2x2fx+f'x=e2x⋅xex=xe3x，
即2e2xfx+e2xf'x=xe3x，
记hx=e2xf'x=xe3x-2e2xfx=xe3x-2gx，
所以h'x=e3x+3xe3x-2g'x=e3x+3xe3x-2xe3x=e3xx+1，
当x<-1时，h'x<0，当x>-1时，h'x>0，
所以函数hx在-∞,-1上递减，在-1,+∞上递增，
所以hx≥h-1=e-2f'-1=0，即e2xf'x≥0，即f'x≥0，
所以fx在R上单调递增，故fx在R上没有极值.
故选项ABC说法错误，选项D说法正确.
故选：D
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而得到结果
41．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知函数f（x）在R上的导函数为f'x，则“f'x0=0”是“x0是f（x）的极值点”的（    ）
A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】D
【分析】根据极值点定义和充分条件、必要条件定义即可判断．
【详解】由极值点的定义，若x0为fx的极值点，则有f'x0=0，而由f'x0=0不一定推得x0为fx的极值点，例如fx=x3，
故“f'x0=0”是“x0是fx的极值点”的必要不充分条件.
故选：D
42．（2023秋·湖南张家界·高二统考期末）若函数fx=12x2-x+alnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（    ）
A．0,14 B．0,12 C．-∞,14 D．-∞,14
【答案】A
【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解.
【详解】函数的定义域为(0,+∞)，
因为函数fx=12x2-x+alnx有两个不同的极值点，
所以f'x=x-1+ax=x2-x+ax=0有两个不同正根，
即x2-x+a=0有两个不同正根，
所以Δ=1-4a>0x1+x2=1>0x1x2=a>0解得0 故答案为:A.
43．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）定义在区间-12,4上的函数fx的导函数f'x的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．函数fx在区间1,4上单调递增
B．函数fx在区间1,3上单调递减
C．函数fx在x=1处取得极大值
D．函数fx在x=0处取得极大值
【答案】A
【分析】根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断A、B；根据函数的极值点和导数的关系可判断C、D的结论．
【详解】在区间1,4上f'(x)>0，故函数fx在区间1,4上单调递增，故A正确；
在区间1,3上f'(x)>0，故函数fx在区间1,3上单调递增，故B错误；
当x∈(0,4)时，f'(x)>0，可知函数fx在(0,4)上单调递增，故x=1不是函数f(x)的极值点，故C错误；
当x∈(-12,0)时，f'(x)<0，fx单调递减；当x∈(0,4)时，f'(x)>0，fx单调递增，故函数fx在x=0处取得极小值，故D错误，
故选：A.
44．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考开学考试）已知函数fx=x-1lnx，下列说法正确的是（    ）
A．fx在0,+∞单调递增 B．fx在x=1处取得极小值
C．fx≥0在0,+∞恒成立 D．fx在x=e处的切线斜率为1e
【答案】BC
【分析】由已知可得f'x=lnx-1x+1.构造gx=lnx-1x+1，可得出fx的单调性以及极值情况，即可判断A、B、C项，求出f'e=2-1e，根据导数的几何意义即可判断D项.
【详解】由已知，fx=x-1lnx定义域为0,+∞，f'x=x-1'⋅lnx+x-1⋅1x=lnx-1x+1.
令gx=lnx-1x+1，则g'x=1x+1x2>0在0,+∞上恒成立，
所以gx在0,+∞上单调递增，所以f'x在0,+∞上单调递增.
又因为f'1=0，所以当0 当x>1时，fx>f'1=0，所以fx在1,+∞单调递增，故A项错误；
所以，fx在x=1处取得极小值，也是最小值f1=0，所以fx≥0在0,+∞恒成立，故B、C项正确；
因为f'e=lne-1e+1=2-1e，根据导数的几何意义有，fx在x=e处的切线斜率为-1e，故D项错误.
故选：BC.
45．（2023秋·青海西宁·高三校考期末）已知a>0，函数fx=ax-xex．
(1)求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)证明：fx存在唯一的极值点.
【答案】(1)y=a-1xa>0
(2)证明见解析

【分析】(1)根据导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程；
(2)讨论自变量x，利用导数研究函数的单调性，确定函数的极值点即可证明.
【详解】（1）因为fx=ax-xex，
所以f'x=a-x+1ex，
所以f'0=a-1，又f0=0，
所以曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y=a-1xa>0
（2）因为f'x=a-x+1ex，a>0，
当x<-1时， f'x>0，函数y=fx在-∞，-1上单调递增，
所以函数y=fx在-∞，-1上没有极值点，
当x≥-1时，令f'x=0，可得a-x+1ex=0，
设gx=x+1ex-a，则g'x=x+2ex，
因为x≥-1，所以g'x>0，
函数gx=x+1ex-a在-1，+∞上单调递增，
又g-1=-a<0，ga=a+1ea-a>0，
所以方程a-x+1ex=0存在唯一解，设其解为x0，则f'x0=0，
则当x∈-1,x0时，gx<0，即f'x>0，函数fx在-1,x0单调递增，
当x∈x0,+∞时，gx>0，即f'x<0，函数fx在x0,+∞单调递减，
所以x=x0为函数fx的极大值点.
所以x=x0为函数fx的唯一极值点，故fx存在唯一的极值点.
【点睛】(1)可导函数y=fx在点x0处取得极值的充要条件是f'x0=0，且在x0左侧与右侧f'x的符号不同．
(2)若y=fx在(a,b)内有极值，那么fx在(a,b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
46．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知函数f(x)=exx2-ax+2alnx.
(1)判断fx极值点的个数；
(2)当a≤e时，证明：fx≥0.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）先对fx求导，再构造函数g(x)=exx2(x>0)，利用导数研究g(x)的图像，从而分类讨论a≤e24与a>e24，得到f'x的正负情况，由此得解；
（2）利用同构法得到f(x)=ex-2lnx-a(x-2lnx)，再构造函数h(x)=x-2lnx，从而将问题转化为证明a≤ett，再构造函数φ(t)=ett，由此得证.
【详解】（1）因为f(x)=exx2-ax+2alnx，所以f'(x)=x-2xexx2-a，
令g(x)=exx2(x>0)，则g'(x)=(x-2)exx3，
当02时，g'x>0；
所以gx在0,2上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，所以g(x)min=g(2)=e24，
当a≤e24时，exx2-a≥0，若x∈0,2，则f'(x)<0，若x∈(2,+∞)，则f'(x)>0，
所以fx只有一个极值点；
当a>e24时，存在x1∈(0,2)，x2∈(2,+∞)，使exx2-a=0，
当x∈0,x1∪x2,+∞时，exx2-a>0；当x∈x1,x2时，exx2-a<0；
所以若x∈0,x1，则f'(x)<0；若x∈x1,2，则f'(x)>0；若x∈2,x2，则f'(x)<0；若x∈x2,+∞，则f'(x)>0；
所以fx有三个极值点；
综上，当a≤e24时，fx只有一个极值点；当a>e24时，fx有三个极值点.
（2）f(x)=exx2-ax+2alnx=ex-2lnx-a(x-2lnx)，
令h(x)=x-2lnx，则h'(x)=x-2x，
所以当x∈0,2时，h'x<0，hx单调递减；当x∈(2,+∞)时，h'(x)>0，hx单调递增；
所以h(x)≥h(2)=2-2ln2，
令t=x-2lnx，则fx≥0等价于et-at≥0，
因为t=h(x)=2-2ln2>0，所以et-at≥0等价于a≤ett，
令φ(t)=ett，t≥2-2ln2，则φ'(t)=(t-1)ett2，
当t∈[2-2ln2,1)时，φ'(t)<0，φ(t)单调递减，当t∈(1,+∞)时，φ'(t)>0，φ(t)单调递增，
所以φ(t)min=φ(1)=e，
因为a≤e，所以a≤φ(t)，故fx≥0.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

八、利用导数研究函数的最值
47．（江西省重点中学协作体2022-2023学年高二下学期第一次（2月）联考数学试题）已知函数fx=lnx-x2，则下列说法正确的是（    ）
A．fx在x=22处取得最大值 B．fx在12,22上单调递增
C．fx有两个不同的零点 D．fx 【答案】ABD
【分析】利用函数的导数与单调性的关系可判断A,B，根据单调性与最值的关系可判断C，构造函数h(x)=ex-lnx-2，利用导数讨论单调性和最值即可判断D.
【详解】函数的定义域为0,+∞，f'x=1x-2x=1-2x2x，
令f'x>0解得022，
所以fx=lnx-x2在0,22单调递增，22,+∞单调递减，
所以fx在x=22处取得最大值，A正确；
fx在12,22上单调递增，B正确，
fxmax=f22=ln22-12<0，所以函数fx无零点，C错误；
fx 也即ex-lnx-2>0恒成立，
令h(x)=ex-lnx-2,h'(x)=ex-1x,x>0，
令m(x)=ex-1x,m'(x)=ex+1x2,
所以m'(x)>0恒成立，所以m(x)=ex-1x在0,+∞单调递增，
m(12)=e-2<0,m(1)=e-1>0,
所以m(x)在0,+∞存在唯一零点x0，且x0∈12,1，
m(x0)=ex0-1x0=0，即ex0=1x0，
当x∈(0,x0),h'(x)=m(x)<0，函数h(x)单调递减，
当x∈(x0,+∞),h'(x)=m(x)>0，函数h(x)单调递增，
所以h(x)≥h(x0)=ex0-lnx0-2=1x0+x0-2≥21x0⋅x0-2=0，
当且仅当1x0=x0,x0=1，但是x0∈12,1，所以等号不成立，
所以h(x)>0恒成立，即fx 故选:ABD.
48．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知函数f(x)=x2-4(x-a),a∈R且f'(-1)=0．
(1)求a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)求函数f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值．
【答案】(1)a=12
(2)调递增区间为(-∞,-1),43,+∞，单调递减区间为-1,43
(3)最大值为92，最小值为-5027

【分析】(1)求导得f'(x)=3x2-2ax-4，代入f'(-1)=0，得可得答案；
(2)由题意可得f'(x)=(3x-4)(x+1)，分别解f'(x)>0，f'(x)<0，即可得函数的单调递增、减区间；
(3)根据导数的正负，判断函数在[-2,2]上的单调性，即可得答案.
【详解】（1）解：因为函数f(x)=x2-4(x-a),a∈R，
∴f'(x)=2x(x-a)+x2-4=3x2-2ax-4，
由f'(-1)=0，得3+2a-4=0，
解得a=12；
（2）解：由（1）可知f'(x)=3x2-x-4=(3x-4)(x+1)，
解不等式f'(x)>0，得x>43或x<-1，
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),43,+∞，
解不等式f'(x)<0，得-1 所以函数f(x)的单调递减区间为-1,43；
（3）解：当-2≤x≤2时，函数f(x)与f'(x)的变化如下表所示：
令f'(x)=0， 解得x=43或x=-1，
x
-2,-1
x=-1
-1,43
x=43
43,2
f'x
+
0
-
0
+
fx
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

因为f(-1)=92，f(2)=0；
所以当x=-1时，函数f(x)取得极大值f(-1)=92；
又因为f(-2)=0，f43=-5027，
所以当x=43时，函数f(x)取得极小值f43=-5027，
∴函数f(x)的最大值为92，最小值为-5027．
49．（2021春·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）已知函数fx=x3+ax2+bx+2在x=-1处取得极值3.
(1)求a，b的值；
(2)求函数fx在区间-2，2上的最值.
【答案】(1)a=1，b=-1
(2)f(x)的最小值为0，最大值为12

【分析】（1）求出函数f(x)的导函数，利用极值的性质列方程组，即可求解a，b的值；
（2）由（1）可得函数f(x)及其导函数，利用导数求出f(x)的单调区间，从而求出极值与端点处的函数值，从而可得最值．
【详解】（1）依题意，f'x=3x2+2ax+b，因为f(x)在x=-1处取得极值3，
所以f'-1=3-2a+b=0f(-1)=1+a-b=3，解得a=1，b=-1．
此时f'x=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)，显然当x<-1和x>13时，f'x>0，
当-1 所以f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=3，
所以a=1，b=-1．
（2）由（1）知，f(x)=x3+x2-x+2，f'x=(3x-1)(x+1)，
当-20，当-1 所以f(x)在[-2，-1)，(13，2]上单调递增，在(-1,13)上单调递减，
f(-2)=0，f(-1)=3，f(13)=4927，f2=12，
所以f(x)的最小值为0，最大值为12．
50．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数fx=xsinx+cosx，x∈-π,π．
(1)求fx的单调区间与最值；
(2)若存在x0∈0,π，使得不等式fx0≥ax02+1成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为(-π,-π2)，(0,π2)，单调递减区间为(-π2,0)，(π2,π)，fxmax=π2,fxmin=-1
(2)(-∞,1]

【分析】（1）对fx求导后研究f'(x)的正负， 确定fx的单调性与最值；
（2）设F(x)=xsinx+cosx-a(x2+1),x∈[0,π],由题意知F(x)≥0有解，分类讨论F(x)的单调性并求F(x)最大值即可.
【详解】（1）f'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
所以在(-π,-π2)，(0,π2)上，f'(x)>0，f(x)单调递增，
在(-π2,0)，(π2,π)上，f'(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)单调递增区间为(-π,-π2)，(0,π2)，单调递减区间为(-π2,0)，(π2,π)．
fπ2=f-π2=π2,f-π=fπ=-1，f(0)=1，
∴fxmax=π2,fxmin=-1.
（2）设F(x)=xsinx+cosx-a(x2+1),x∈[0,π],
F'(x)=xcosx-2ax=x(cosx-2a),
当2a≤-1，即a≤-12时，F'(x)≥0，F(x)在[0,π]上单调递增，
Fmax(x)=F(π)=-1-a(π2+1)≥0，a≤-1π2+1，所以a≤-12成立；
当2a≥1，即a≥12时，F'(x)≤0，F(x)在[0,π]上单调递减，Fmax(x)=F(0)=1-a≥0，即a≤1，所以12≤a≤1；
当-12 当x∈(0,x0),cosx>2a,F'(x)>0，F(x)单调递增，
当x∈(x0,π),cosx<2a,F'(x)<0，F(x)单调递减，
所以Fmax(x)=F(x0)=x0sinx0+cosx0-a(x02+1)
=x0sinx0+cosx0-12cosx0(x02+1)
=x0sinx0+12cosx0-x022cosx0，
令φ(x)=xsinx+12cosx-x22cosx,x∈(0,π)，
φ'(x)=12sinx+x22sinx>0，所以φ(x)>φ(0)=12，F(x0)≥0成立．
综上，a的取值范围为(-∞,1]．
【点睛】关键点点睛：函数求导后的计算方向：
（1）求导后不要急于求f'(x)=0的根，因为有时候会无根，无根的原因是f'(x)出现恒正或恒负，所以要先考虑f'(x)会不会出现恒正或恒负的情况，这时候要看f'(x)的最大值小于等于零或最小值大于等于零.
（2）当f'(x)有正有负时f'(x)=0才会有根可求，求根时可以直接解方程，或者猜根，或者使用零点存在定理证明有根.
51．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）已知函数fx=x3+ax2+bx+2a在x=1处取得极小值1.
(1)求实数a,b的值；
(2)求函数y=fx在区间-2,2上的值域.
【答案】(1)a＝3，b＝－9
(2)1,28

【分析】（1）对函数求导，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；
（2）由（1）得到f(x)的解析式，利用导数研究其单调性，进而可求出最值，得到值域.
【详解】（1）因为fx=x3+ax2+bx+2a，所以f'x=3x2+2ax+b，
根据题意，f(1)=1,f'(1)=0,即1+a+b+2a=1,3+2a+b=0,
解得a＝3，b＝－9.
（2）由（1）知，fx=x3+3x2-9x+6,f'x=3x2+6x-9=3x+3x-1，
令f'x=0，解得x=-3或x=1，
当x∈-2,2时，f'x及fx的变化情况如下表：
x
-2
-2,1
1
1,2
2
f'x

-
0
+

fx
28
单调递减
1
单调递增
8

因此当x=1时，fx取得最小值f1=1，
当x=-2时，fx取得最大值f-2=28，
故fx的值域为1,28.
52．（2023秋·浙江舟山·高二统考期末）已知函数f(x)=lnx-12x2.
(1)求f(x)在点x=1处的切线方程；
(2)求f(x)在1e,e上的最值.
【答案】(1)y=-12
(2)f(x)max=-12，f(x)min=1-12e2

【分析】（1）求导，得出切线的斜率，确定切点的纵坐标，写出切线方程；
（2）研究函数在区间1e,e上单调性，计算在1e,e上的极值及f1e和fe，然后比较可得最值．
【详解】（1）∵x>0,f'x=1x-x，∴f'1=0.
∵f1=-12，所以切线方程为y+12=0，即y=-12.
（2）f'x=1-x2x=1-x1+xx
∴x∈1e,1,f'x>0,fx在1e,1单调递增；
x∈1,e,f'x<0,fx在1,e单调递减，
∴x=1时，fx取极大值也是最大值，
∴f(x)max=f(1)=-12，
f1e=ln1e-121e2=-1-12e2,fe=lne-12e2=1-12e2,∴fe ∴f(x)min=fe=1-12e2.

九、利用导数解决实际问题
53．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）有一张扇形铁皮AMN，其圆心角MAN=90∘，半径AM=AN=4.现打算将这张铁皮裁成矩形ABCD（B,C,D分别在AM,MN,AN上），并将此矩形弯成一个圆柱的侧面，则此圆柱的体积的最大值是（    ）
A．3239π B．323π9 C．42π D．42π
【答案】A
【分析】设AB=m，BC=n，由题可得m2+n2=16,后以m为圆柱的底面圆周长，n作为圆柱的高，可得到圆柱体积表达式，后利用导数可得体积最大值.
【详解】如图，设AB=m，BC=n，则m2+n2=AC2=16，故0 不妨将m为圆柱的底面圆周长，n作为圆柱的高
设底面圆半径为r，则由m=2πr得r=m2π，
则圆柱体积V=πr2n=πm2π2n=m2n4π=16-n2n4π，
记Vx=16-x2x4π=14π-x3+16x(0 令V'x=-3x2+164π=0，解得x=433(x=-433舍去)，
易知x∈0,433时，V'x>0，Vx单调递增，
x∈433,4时，V'x<0，Vx单调递减，
故x=433时，Vx取得最大值3239π，则此时圆柱的体积的最大值为3239π.
又若以n为圆柱的底面圆周长，m作为圆柱的高，则V=16-m2m4π，则此时V的最大值同样为函数Vx在x∈0,4上的最大值3239π.综上可得圆柱的体积的最大值为3239π.
故选：A

54．（2023·全国·模拟预测）晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面.在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子A与B（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子B与8个原子A均相切.已知该晶胞的边长（图1中正方体的棱长）为46+233，则当图（2）中所有原子（8个A原子与1个B原子）的体积之和最小值为（    ）

A．64π3 B．32+642π3
C．422+13π3 D．5122+4π3
【答案】B
【分析】设出球B的半径为r，0 【详解】因为该晶胞的边长为46+233，所以正方体对角线成为46+233×3=42+2，
设球B的半径为r，0 所以所有原子的体积之和为V=43πr3+323π22+1-r3=43π822+1-r3+r3，
令fr=822+1-r3+r3，0 则f'r=-2422+1-r2+3r2=38+22-22r+r22r+r-22-8，
因为00恒成立，
则当00，
故fr=822+1-r3+r3在0 故fr=822+1-r3+r3在r=22处取得极大值，也时最大值，
故frmax=8+162，故体积最大值为V=43π×8+162=642+323π.
故选：B
55．（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）已知某种圆柱形饮料罐的容积V为定值，设底面半径为r.
(1)试把饮料罐的表面积S表示为r的函数；
(2)求r为多少时饮料罐的用料最省？
【答案】(1)Sr=2πr2+2Vr(r>0)
(2)r=3V2π

【分析】（1）由体积公式、面积公式消h即可；
（2）由导数法求最小值.
【详解】（1）由题意知，V=πr2h，即h=Vπr2，
S=2πr2+2πrh=2πr2+2Vr，即Sr=2πr2+2Vr(r>0).
（2）S'r=4πr-2Vr2，令S'r=0，解得r=3V2π，
当03V2π时，S'r>0，Sr单调递增.
因此，当r=3V2π时，Sr取得最小值，用料最省.
56．（2022秋·江苏南京·高二校考期末）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C(x)=403x+5(1≤x≤10)，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
【答案】(1)f(x)=8003x+5+6x (1≤x≤10)
(2)当隔热层修建5cm厚时，总费用最小，最小值为70万元．

【分析】（1）根据已给模型确定函数解析式；
（2）利用导数求得最小值．
【详解】（1）每年能源消耗费用为C(x)=403x+5，建造费用为6x，
∴f(x)=20C(x)+6x=8003x+5+6x．(1≤x≤10)．
（2）f'(x)=6-2400(3x+5)2，令f'(x)=0得x=5或x=-253（舍)．
∴当1≤x<5时，f'(x)<0，当50．
∴f(x)在[1，5)上单调递减，在[5，10]上单调递增．
∴当x=5时，f(x)取得最小值f（5）=70．
∴当隔热层修建5cm厚时，总费用最小，最小值为70万元．
57．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）若正方形ABCD的顶点均在半径为1的球O上，则四棱锥O-ABCD体积的最大值为______.
【答案】4327##4273
【分析】设正方形ABCD的边长为x，可得到四棱锥O-ABCD体积为V=13x2⋅1-12x2，令x2=t∈0,2，则V=13t2-12t3，利用导数的知识求得最大值即可求解
【详解】设正方形ABCD的中心为E，连接OE，由球的性质可知OE⊥平面ABCD，
设正方形ABCD的边长为x，因为正方形ABCD的顶点均在半径为1的球O上,且不在大圆上，所以x∈0,2,
所以，OE=OA2-AE2=1-2x22=1-12x2，
所以，四棱锥O-ABCD体积为V=13SABCD⋅OE=13x2⋅1-12x2
令x2=t∈0,2，则V=13t⋅1-12t=13t2-12t3，
令y=t2-12t3，则y'=2t-32t2，故y'=2t-32t2=t2-32t=0得t=0，t=43
所以，当t∈0,43时，y'=2t-32t2>0，y=t2-12t3单调递增，
当t∈43,2时，y'=2t-32t2<0，y=t2-12t3单调递减，
所以，当t=43时y=t2-12t3有最大值ymax=432-12×433=1627，
所以，V=13t2-12t3≤131627=4327，当且仅当x=233时四棱锥O-ABCD体积的最大值.
故答案为：4327