高中数学上教版（2020）选修第二册7.3 常用分布单元测试课后作业题

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第7章 概率初步（续）
（A卷·知识通关练）

一、条件概率
1．（2023·安徽合肥·统考一模）核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（    ）
A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995%
2．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛，则在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为（    ）
A．13 B．16 C．12 D．14
3．（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）在射击比赛中，甲乙两人对同一目标各进行一次射击，甲击中目标的概率为35，乙击中目标的概率为45，在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为（    ）
A．34 B．1225 C．1523 D．37
4．（2022秋·江苏南京·高三校考期末）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和4个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，第一次取出的球是红球的概率（    ）
A．1019 B．215 C．4790 D．12
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知随机事件A，B，P(A)=13，P(B)=14，P(A∣B)=34，则P(B∣A)=________.
6．（2023·湖南·模拟预测）已知甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则P(B|A)=__________．
7．（2023·广东·高三校联考阶段练习）某公司在某地区进行商品A的调查，随机调查了100位购买商品A的顾客的性别，其中男性顾客18位，已知该地区商品A的购买率为10%，该地区女性人口占该地区总人口的46%，从该地区中任选一人，若此人是男性，求此人购买商品A的概率______
8．（天津市滨海新区八所重点学校2023届高三下学期开学联考数学试题）有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，从中取出2个，则取出的编号互不相同的概率为___________；在取出球的编号互不相同的条件下，2号红球被取到的概率为___________．

二、全概率公式
9．（江西省赣州市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题）甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（    ）
A．511 B．910 C．1255 D．2755
10．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（    ）
A．12 B．736 C．1148 D．16
11．（2023·全国·模拟预测）某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率为0.7，若第一次未击中目标，则第二次击中目标的概率为0.5，已知第一次击中目标的概率为0.8，则在第二次击中目标的条件下，第一次也击中目标的概率为（    ）
A．1425 B．1433 C．2833 D．2539
12．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为______．
13．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）《夺冠》这部影片讲述的是中国女排从1981年首夺世界冠军到2016年里约奥运会生死攸关的中巴大战，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的传奇经历.现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分.前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局.在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜.在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方.经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为23；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为12.
(1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；
(2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第i个回合拥有发球权的概率为Pi.假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.





14．（2022春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一批彩电.
(1)假设100台彩电中有10台次品，现采用不放回抽样从中依次抽取3次，每次抽1台，求第3次才抽到合格品的概率；
(2)若甲、乙、丙3个车间的产量依次占全厂的45%、35%、20%，且各车间的次品率分别为4%、2%、5%，.现从一批产品中检查出1个次品，求该次品来自甲、乙、丙车间的概率分别是多少?




三、贝叶斯公式
15．（2023秋·江西上饶·高二统考期末）某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（    ）
A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84
16．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）某批产品来自A，B两条生产线，A生产线占60%，次品率为4%；B生产线占40%，次品率为5%，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A生产线的概率是（    ）
A．12 B．611 C．35 D．59
17．（2023春·浙江·高三开学考试）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为13,13,13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14,15,16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是__________．
18．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）有三个笼子，里面分别放有两只雄兔一只雌兔、两只雄兔两只雌兔、以及三只雌兔.如果在从一个笼子里拿出一只雄兔之后，那么再从这个笼子里取出雄兔的概率为______.
19．（2023·全国·高二专题练习）贝叶斯公式
设A1,A2,⋯,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪⋯∪An=Ω，且PAi>0,i=1,2,⋯,n，则对任意事件B⊆Ω， P(B)>0，有PAi|B=_________＝_________，i=1,2,⋯,n．

四、随机变量的分布、期望和方差
20．（2023·全国·模拟预测）在一次抽奖活动中，某同学在标有“1”，“1”，“4”，“5”，“1”，“4”的六张卡片中依次不放回地抽取一张卡片，直到抽完全部卡片.记事件Aii=1,2,3表示第i次抽到标号为“1”的卡片，X表示抽到标号为“5”的卡片需要的次数.则下列说法正确的是______（填标号）.① PA1=PA2；②PA1|A2=25；③EX=72.
21．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）为丰富师生的课余文化生活，倡导“每天健身一小时，健康生活一辈子”，深入开展健身运动，增强学生的身体素质和团队的凝聚力，某中学将举行趣味运动会．某班共有8名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学4名，女同学4名．按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这8名报名的同学中随机选出4名．
(1)求选出的4名同学中有男生的概率；
(2)记选出的4名同学中女同学的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．




22．（2023·福建漳州·统考二模）北京时间2022年11月21日0时，卡塔尔世界杯揭幕战在海湾球场正式打响，某公司专门生产世界杯纪念品，今年的订单数量再创新高，为回馈球迷，该公司推出了盲盒抽奖活动，每位成功下单金额达500元的顾客可抽奖1次．已知每次抽奖抽到一等奖的概率为10%，奖金100元；抽到二等奖的概率为30%，奖金50元；其余视为不中奖．假设每人每次抽奖是否中奖互不影响．
(1)任选2名成功下单金额达500元的顾客，求这两名顾客至少一人中奖的概率；
(2)任选2名成功下单金额达500元的顾客，记ξ为他们获得的奖金总数，求ξ的分布列和数学期望．





23．（2023秋·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)任取一个零件，如果取到的零件是次品的条件下，零件来自第一台机床将损失1万元，来自第二台机床将损失2万元，来自第三台机床将损失3万元.设该工厂的损失为X万元，求X的分布列与数学期望.





24．（2023·安徽淮北·统考一模）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
奖项组别
个人赛
团体赛获奖
一等奖
二等奖
三等奖
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50

(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为ξ，来自高二的人数为η，试判断Dξ与Dη的大小关系．（结论不要求证明）




25．（2023·湖南·模拟预测）党的二十大胜利召开，某单位组织举办“百年党史”知识对抗赛，组委会将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组委会随机从百年党史题库抽取2道抢答试题，每位选手抢到每道试题的机会相等．比赛细则为：选手抢到试题且回答正确得100分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手得50分；2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为45，乙回答正确的概率为35，两名选手每道试题回答是否正确相互独立．
(1)求乙同学得100分的概率；
(2)记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．


26．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）某地开展生态环境保护主题的知识竞赛，满分为100分，现从参赛者的答卷中随机抽取100份作为样本，经统计得到如下成绩分布表．
竞赛分数
(60，70]
(70，80]
(80，90]
(90，100]
份数
8
32
40
20

若规定对竞赛的得分类别作如下规定：得分大于90分的为“优秀”，得分大于80不大于90分的为“良好”，
(1)估计所有参赛者的得分的平均数和中位数；
(2)从获得“良好”和“优秀”等第的样本试卷中，按分层抽样抽取6份，再从中随机抽取3份，获“优秀”者奖励200元购书券，获“良好”者奖励100元购书券，记购书券总金额为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望．




27．（2023秋·浙江宁波·高三期末）甲、乙两位棋手，与同一台智能机器人进行国际象棋比赛，相互独立，互不影响，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率0.5.记甲在一轮比赛中的得分记为X，在两轮比赛中的得分为Y.
(1)若甲单独与机器人进行三次比赛，求甲恰有两次赢的概率；
(2)求X的分布列；
(3)求Y的均值.




28．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）某大型国有企业计划在某双一流大学进行招聘面试，面试共分两轮，且第一轮通过后才能进入第二轮面试，两轮均通过方可录用．甲、乙、丙、丁4名同学参加面试，已知这4人面试第一轮通过的概率分别为23，45，34，34，面试第二轮通过的概率分别为12，512，49，23，且4人的面试结果相互独立．
(1)求甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率；
(2)记甲、乙、丙、丁4人中最终被录用的人数为X，求X的分布列和数学期望．




29．（2022春·重庆荣昌·高二重庆市荣昌永荣中学校校考期中）设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X
−1
0
1
P
12
1-2q
q2

(1)求q的值；
(2)求P（X<0),PX<1．




30．（2023·广东茂名·统考一模）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛.
(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；
(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积-2分.现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为35，乙赢概率为25，比赛共进行二轮.
（i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；
（ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值.
五、二项分布
31．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）甲乙两人玩闯关游戏,该游戏一共要闯三关,每个人每一关能否闯关成功是相互独立的,甲第一,第二,第三关闯关成功的概率分别是56,35,13,乙第一,第二,第三关闯关成功的概率都是35.规定每一关闯关成功记1分,未闯关成功记0分,用ξ表示甲在闯关游戏中的得分,用η表示乙在闯关游戏中的得分,则在“ξ+η=4”的条件下,“ξ>η”的概率为（    ）.
A．231 B．142 C．353 D．1067
32．（湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研数学试题）已知离散型随机变量X服从二项分布Bn,p，其中n∈N*,0 A．a+b=1 B．p=12时，a=b
C．0 33．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知随变量从二项分布B1001,12，则（    ）
A．P(X=k)=C1001k121001 B．P(X≤301)=P(X≥701)
C．P(X>E(X))>12 D．PX=k最大时k=500或501
34．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知随机变量ξ满足ξ∼B2,p，若Pξ≤1=34，则p=__________．
35．（2023·高一课时练习）甲、乙两人共同抛掷一枚硬币，规定硬币正面朝上甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，并结束游戏．
(1)求在前3次抛掷中甲得2分、乙得1分的概率；
(2)若甲已经积得2分，乙已经积得1分，求甲最终获胜的概率．






36．（2023春·广东·高三统考开学考试）2022年“五一”期间，为推动消费市场复苏，补贴市民，深圳市各区政府发放各类消费券，其中某区政府发放了市内旅游消费券，该消费券包含A，B，C，D，E，F六个旅游项目，甲、乙、丙、丁四人每人计划从中任选两个不同的项目参加，且他们的选择互不影响．
(1)求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目A的概率；
(2)记X为这四个人中选择项目A的人数，求X的分布列及数学期望；
(3)如果将甲、乙、丙、丁四个人改为n个人(n>4)，其他要求相同，问：这n个人中选择项目A的人数最有可能是多少人？




37．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）2022年10月1日，某超市举行“迎国庆促销抽奖活动”，所有购物的顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数（尾数中的奇偶数随机出现）的顾客，可以获得三次抽奖，三次抽奖获得奖品的概率分别为12，13，14，每次中奖都可以获得一份奖品，且每次抽奖是否中奖互不影响.
(1)求顾客获得两个奖品的概率；
(2)若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为X，求X的分布列与数学期望.




六、超几何分布
38．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示：

若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记X为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（    ）
A．X的可能取值为0，1，2，3 B．PX=0=13
C．EX=1.2 D．DX=1425
39．（2022春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为110，若记取出3个球中黑球的个数为X，则D[X]=__．
40．（2023·云南红河·统考一模）在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．
(1)求PB，PBA，
(2)若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．




41．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀，为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表
成绩
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
人数
5
5
15
25
10

(1)从参加接训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率，
(2)用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90）的学生为X，求X的分布列和数学期望，




42．（2023·全国·模拟预测）某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，竞赛成绩的频率分布表如下：
竞赛成绩
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
频率
0.08
0.24
0.36
0.20
0.12

(1)估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)已知样本中竞赛成绩在50,60的男生有2人，从样本中竞赛成绩在50,60的学生中随机抽取3人进行调查，记抽取的男生人数为X，求X的分布列及期望.




七、正态分布
43．（2021春·河北衡水·高二校联考阶段练习）若X∼N7,2.25，则PX≤10=（    ）
（参考数据：Pμ-σ≤X≤μ+σ=0.682,Pμ-2σ≤X≤μ+2σ=0.9545，Pμ-3σ≤X≤μ+3σ=0.9973）
A．0.97725 B．0.9545 C．0.9973 D．0.99865
44．（2023秋·江苏南京·高三统考阶段练习）已知随机变量X的概率密度函数为φx=12πae-x-b22a2(a>0，b>0)，且φx的极大值点为x=2a，记fk=PXk+a，则（    ）
A．X~Nb,a
B．X~N2a,a2
C．fa=g2a
D．f2a+g2a=fa+ga
45．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为X，Y）均服从正态分布，X∼Nμ1,σ12，Y∼Nμ2,σ22，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（    ）

参考数据: 若 Z~Nμ,σ2, 则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545
A．Pμ1-2σ1≤X≤μ1+σ1≈0.8186
B．对于任意的正数t，有PX≤t>PY≤t
C．PY≥μ1 D．PX≤σ1 46．（2022秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N110,81，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ-2σ<ξ<μ+2σ=0.9545（    ）
A．该校学生成绩的期望为110
B．该校学生成绩的标准差为9
C．该校学生成绩的标准差为81
D．该校学生成绩及格率超过95%
47．（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）某校3200名高中生举行了一次法律常识考试，其成绩大致服从正态分布，设X表示其分数，且X∼N70,82，则下列结论正确的是（    ）
（附：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ-σ≤X≤μ+σ=0.6827,Pμ-2σ≤X≤μ+2σ=0.9545,Pμ-3σ≤X≤μ+3σ=0.9973）
A．EX=0.2,DX=8
B．P70≤X≤78=0.34135
C．分数在62,78的学生数大约为2185
D．分数大于94的学生数大约为4
48．（2023·高三课时练习）某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间51,69的人数大约是_________．

49．（2023秋·江苏·高三统考期末）某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”．测试后统计分析如下：学生的平均成绩为x=80，方差为s2=25．学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰．假设学生的测试成绩X近似服从正态分布Nμ,σ2（其中μ近似为平均数x，σ2近似为方差s2，则估计获表彰的学生人数为___________．（四舍五入，保留整数）
参考数据：随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ-σ 50．（2021秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布Nμ,150，其中μ近似为样本平均数x
①利用该正态分布，求P187.8≤Z≤212.2．
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值Z位于区间187.8,212.2内的产品件数，利用①的结果，求EX．
附：150≈12.2．若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ-σ