第一章 空间向量与立体几何（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）

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第一章 空间向量与立体几何（A卷·知识通关练）
核心知识1 空间向量及其线性运算
1．（2022·重庆长寿·高二期末）如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（          ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】-＝，
．
故选：A．
2．（2022·福建·浦城县教师进修学校高二期中）给出下列命题
①空间中所有的单位向量都相等；
②方向相反的两个向量是相反向量；
③若满足，且同向，则；
④零向量的方向是任意的；
⑤对于任意向量，必有．
其中正确命题的序号为（       ）
A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤
【答案】C
【解析】对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误；
对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误；
对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度（模）能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误；
对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，为任意的，故④正确；
对于⑤，为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确．
综上，正确的命题序号为④⑤，
故选：C．
3．（多选题）（2022·浙江嘉兴·高一期末）如图，在平行六面体中，AC和BD的交点为O，设，，，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】选项A：．判断正确；
选项B：．判断错误；
选项C：．判断正确；
选项D：．判断错误．
故选：AC
4．（多选题）（2022·福建宁德·高二期中）如图正四棱柱，则下列向量相等的是（       ）

A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】CD
【解析】由正四棱柱可知，
A：，但与方向相反，故A不符题意；
B：，但与方向不同，故B不符题意；
C：，且与方向相同，故C符题意；
D：，且与方向相同，故D符题意．
故选：CD．
核心知识2 空间向量的数量积运算
5．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
．
又，，，
所以，，，
所以

，
所以．
故选：A．
6．（2022·江苏宿迁·高二期末）四面体中，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，所以
所以，
所以，又，所以，
所以，因为，所以；
故选：C
7．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（       ）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，故．
故选：D．
8．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________．
【答案】
【解析】

根据题意为正四面体，
两两成角，
所以，
，
所以
．
故答案为：
核心知识3 空间向量基本定理
9．（2022·湖南师大附中高一期末）已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量___________．
【答案】
【解析】设，
即有，
因为是空间的一个单位正交基底，
所以有，
所以．
故答案为：
10．（2022·四川雅安·高二期末（理））设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心，
所以，
因为D是PG上的一点，且，
所以，
因为，
所以


，
因为，
所以，
所以为，
故选：B
11．（2022·广东梅州·高二期末）已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
即
故选：D．
12．（多选题）（2022·江苏省镇江中学高二期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（       ）

A． B．
C．的长为 D．
【答案】BD
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A选项，，A错误，
对于B选项，，B正确：
对于C选项，，则，
则，C错误：
对于，则，D正确．
故选：BD．
13．（多选题）（2022·浙江浙江·高一期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．记，则下列说法正确的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由，故A正确；
由为中点，
所以，
故B错误；
对C，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，
即模长为，夹角为，

，所以，故C正确；
，，
又，
所以，
故D正确．
故选：ACD．
14．（多选题）（2022·河北邯郸·高二期末）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（       ）
A．若，则
B．，，两两共面，但，，不共面
C．一定存在实数x，y，使得
D．，，一定能构成空间的一个基底
【答案】ABD
【解析】∵，，是空间的一个基底，则，，不共面，且两两共面､不共线，
∴若，则，A正确，B正确；
若存在x，y使得，则，，共面，与已知矛盾，C错误；
设，则，此方程组无解，
∴，，不共面，D正确．
故选：ABD．
核心知识4 空间向量运算的坐标表示
15．（2022·福建宁德·高二期末）已知，，，则的坐标为______．
【答案】
【解析】由题设，，
所以．
故答案为：
16．（2022·福建莆田·高二期末）已知向量，且与互相垂直，则k的值为（       ）
A．－2 B．－ C． D．2
【答案】A
【解析】由与互相垂直，则，解得
故选：A
17．（2022·贵州遵义·高二期末（理））在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为点，则其关于平面对称的点为．
故选：A．
18．（2022·江苏淮安·高二期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，M为PC上一动点，，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设，，故，，，，
由可知，，即，
又因为为钝角，所以，
由，，可知，，
，整理得，
解得，
故选：D．
19．（2022·江苏南通·高二期中）设、，向量，，且，，则（          ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，．
故选：D．
20．（2022·四川内江·高二期末（理））已知，，则（       ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】，，
．
故选：B．
21．（多选题）（2022·福建宁德·高二期末）已知，，，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C．为钝角 D．在方向上的投影向量为
【答案】BD
【解析】因为，所以，不垂直，A错，
因为，所以，B对，
因为，所以，所以不是钝角，C错，
因为在方向上的投影向量，D对，
故选：BD．
22．（多选题）（2022·云南师大附中高二期中）已知空间中四点A（1，1，0），B（0，1，2），C（0，3，2），D（－1，3，4）．下列说法中，正确的有（       ）
A． B．
C．A，B，C三点共线 D．A，B，C，D四点共面
【答案】ABD
【解析】易知，，，，，
因为，所以，故选项A正确；
因为，且四点不共线，所以，故选项B正确；
因为，所以A，B，C三点不共线，故选项C错误；
易知当时，A，B，C，D共面，
即，所以，
，解得，
，所以A，B，C，D共面，故选项D正确．
故选：ABD．
23．（2022·上海虹口·高二期末）已知空间三点，，共线，则________，________．
【答案】3     6
【解析】由已知得：．
因为A，B，C三点共线，所以．
所以，解得：p=3，q=6．
故答案为：3；6
核心知识5 用空间向量研究平行、垂直问题
24．（多选题）（2022·江苏·连云港高中高二期中）给出下列命题，其中是真命题的是（       ）
A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直
B．若直线的方向向量，平面的法向量，则
C．若平面，的法向量分别为，，则
D．若存在实数使则点共面
【答案】AD
【解析】对于A：因为直线的方向向量，直线的方向向量，
且，所以，所以与垂直．故A正确；
对于B：因为直线的方向向量，平面的法向量，且，所以不成立．故B不正确；
对于C：因为平面，的法向量分别为，，且，所以不垂直，所以不成立．故C不正确；
对于D：若不共线，则可以取为一组基底，由平面向量基本定理可得存在实数使则点共面；
若共线，则存在实数使所以共线，则点共面也成立．
综上所述：点共面．故D正确．
故选：AD
25．（2022·北京房山·高二期末）如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（       ）

A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线异面，直线平面
D．直线与直线相交，直线平面
【答案】A
【解析】连接；由正方体的性质可知，是的中点，所以直线与直线垂直；
由正方体的性质可知，所以平面平面，
又平面，所以直线平面，故A正确；

以为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，
显然直线与直线不平行，故B不正确；

直线与直线异面正确，，，所以直线与平面不垂直，故C不正确；
直线与直线异面，不相交，故D不正确；
故选：A．
26．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一期末）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（       ）

A．//
B．
C．//平面
D．平面
【答案】B
【解析】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；
对于B，因，则，即，B正确；
对于C，设平面的法向量为，则，令，得，
，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；
对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确．
故选：B
27．（2022·浙江·於潜中学高二期中）在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，因为，
所以，令，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以
因为，，
所以，
所以，解得，
故选：D
28．（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点，
对于A，，，，与不垂直，A不是；

对于B，，，，，B是；

对于C，，，，与不垂直，C不是；

对于D，，，，与不垂直，D不是．

故选：B
核心知识6 用空间向量研究异面直线所成角问题
29．（2022·福建省福州第一中学高一期末）如图，三棱锥中，，，，分别是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值等于（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，
，
由

可得

则异面直线与所成角的余弦值为
故选：C
30．（2022·陕西汉中·高二期末（理））正方体中，E，F分别为，的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，建立空间直接坐标系，设正方体的棱长为2，

因为E，F分别为，的中点，易知，A（2，0，0），E（0，1，2），
C（0，2，0），F（2，2，1），所以，，
所以=．
因为异面直线AE与FC所成角为锐角．
所以异面直线AE与FC所成角的余弦值为．故A，B，C错误．
故选：D．
31．（2022·山东济宁·高一期末）如图，圆台的轴截面ABCD为等腰梯形，，E为弧AB的中点，F为母线BC的中点，则异面直线AC和EF所成角的正切值为（       ）

A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】设圆台的上底面圆心为，下底面圆心为，则，连接，
因为是弧AB的中点，所以，以为原点，
分别以为轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，
设异面直线AC和EF所成角为，
所以，可得．
故选：C．

32．（2022·山东济南·高一期末）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，
所以，
因为M为BC中点，N为AD中点，
所以有，

，
根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，
故选：B
核心知识7 用空间向量研究线面角问题
33．（2022·陕西渭南·高二期末（理））如图，在长方体中，，，E是线段上的动点．

（1）求证：；
（2）是否存在点E，使得直线AC与平面所成角为45°，若存在，求出DE的长；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）如图，连接，DB，在长方体中，

∵底面ABCD，底面ABCD，∴．又，，∴平面，又平面，
（2）假设存在这样的点E，使得直线AC与平面所成角为45°．设，如图，以D为原点，直线DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，．∴，，．设平面的法向量为，则令，则，．∴平面的一个法向量为．∴，解得．∴存在这样的点E，当时，直线AC与平面所成角为45°．
34．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一期末）在如图所示的几何体中，、、都是等腰直角三角形，AB=AE=DE=DC，且平面ABE⊥平面BCE，平面DCE⊥平面BCE．

（1）求证：平面BCE；
（2）求直线AB与平面EAD所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：分别取的中点，连接，设，则，，又平面平面，平面平面平面，平面，同理可证平面，，又因为，所以四边形是平行四边形，，又平面平面，平面；
（2）如图，取的中点为，则，以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，则，，设平面的一个法向量为，，则，令，得平面的一个法向量为，则，即直线AB与平面EAD所成角的正弦值为．

35．（2022·内蒙古通辽·高二期末（理））如图，在四棱锥中，底面为菱形，，分别为，的中点，

（1）证明：平面．
（2）若平面，，且，求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：取的中点，连接，．因为，分别为，的中点，所以，，又底面为菱形，所以，所以，，所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．
（2）因为平面，，所以以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．

因为，所以，，，，则，，，设平面的法向量，则，令，得，设直线与平面所成的角为，则
36．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）如图，在四棱锥中，，，底面是菱形，是的中点，．

（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）连接，∵底面是菱形，且，∴是等边三角形，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面；
（2）∵，∴，∵底面是菱形，是的中点，，∴，∵，∴，即，又由（1）知，，∴以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，，，设是平面的一个法向量，∴，取，得，设直线与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为．
核心知识8 用空间向量研究二面角问题
37．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）如图，在四棱锥中，是直角三角形，，四边形是等腰梯形，，，．

（1）证明：；
（2）若平面平面，求平面与平面的夹角的正弦值．
【解析】（1）如图，取AB中点E，连接DE，EP，取AE中点F，连接DF，FP，

由题意可知，和为全等的等边三角形．因为，，且，所以平面DFP，又因为平面DFP，所以．
（2）因为平面平面，且，所以平面．以为坐标原点，，，的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，平面的一个法向量．设平面的一个法向量，则，即，可取，所以，所以平面与平面的夹角的正弦值为．
38．（2022·海南·海口中学高二期末）如图，在四棱锥中，∥，，，为边的中点，异面直线与所成的角为90°．

（1）在直线上找一点，使得直线平面PBE，并求的值；
（2）若直线CD到平面PBE的距离为，求平面PBE与平面PBC夹角的余弦值．
【解析】（1）∥，，，为边的中点，所以四边形是正方形，
因为，异面直线与所成的角为90°，
所以，
又因为在平面内相交，
所以平面，建立如图所示的坐标系：

设，，则，
令，
因为，，
所以是平面PBE的法向量．
要使平面PBE，
只需，
解得：；
（2），
因为∥，
又因为平面PBE， 平面PBE，
所以∥平面PBE，
所以到平面PBE的距离等于点到平面PBE的距离，
于是，
解得：，
所以，，
令，
因为，
所以是平面的法向量，
由（1）可知平面的法向量，
因为平面与平面的夹角为锐角，
所以平面PBE与平面PBC夹角的余弦值为：．
39．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）如图，在几何体中，平面，平面，，，又，．

（1）求与所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小．
【解析】（1）以为正交基底，建立空间直角坐标系，如图所示．，

设与所成角为，，∴；
（2），设平面的法向量所以，即，解得，取，因为，设平面的法向量，所以，即，解得，取，设平面与平面所成的二面角的平面角为，则，又，所以．
40．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【解析】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，则，解得，所以点A到平面的距离为；
（2）取的中点E，连接AE，如图，因为，所以，又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由（1）得，所以，，所以，则，所以的中点，则，，设平面的一个法向量，则，可取，设平面的一个法向量，则，可取，则，所以二面角的正弦值为．
核心知识9．用空间向量研究距离问题
41．（2022·广东茂名·高二期末）已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，而为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离．
故选：A
42．（2022·重庆长寿·高二期末）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点．

（1）求直线DE和PF夹角的余弦值；
（2）求点E到平面PBF的距离．
【解析】（1）因PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，则PD、DA、DC三线两两互相垂直，
如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则，
则直线DE的方向向量，直线PF的方向向量，
，
所以直线DE和PF夹角的余弦值为．
（2）由（1）知，，，，
设平面PBF的法向量，则，令，得，
所以点E到平面PBF的距离为．
43．（2022·江苏宿迁·高二期末）如图，三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点P，Q分别在上，且．

（1）求证：平面；
（2）当点P是边的中点时，求点到直线的距离．
【解析】（1）作，交于点，由，则，

∵，
∴，即，
∴且，连接，
所以四边形为平行四边形，
∴，
∵平面，且平面，
∴平面．
（2）取中点，连接、，
∵，，，
根据余弦定理得：，
∴，
则，又平面平面，平面平面，
∴平面，
∵是等边三角形，
∴，
如图建立空间直角坐标系，

则，
∴，
∴，
∴点到直线的距离为．