第八章 成对数据的统计分析（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）

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班级 姓名 学号 分数
第八章 成对数据的统计分析（A卷·知识通关练）
核心知识1：线性回归方程
1．（2023·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）若某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过________亿元．
2．（2023·广东·五华县五华中学高二期中）已知下列命题：
①在线性回归模型中，相关指数越接近于1，表示回归效果越好；
②两个变量相关性越强，则相关系数r就越接近于1；
③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位；
④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.
⑤回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；
⑥若的观测值满足≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
⑦从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误． 其中正确命题的序号是__________．
3．（2023·全国·高二课时练习）对四对变量与进行线性相关检验，已知是观测值组数，是相关系数，若已知①，；②，；③，；④，；则变量和具有线性相关关系的是________．
4．（2023·全国·高二课时练习）某同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示．
数学成绩x
76
82
72
87
93
78
89
66
81
76
物理成绩y
80
87
75
a
100
79
93
68
85
77
已知y与x线性相关，且y关于x的回归直线方程为，则下列说法正确的是________．（参考数据：）
①；②y与x正相关；③y与x的相关系数为负数；④若数学成绩每提高5分，则物理成绩估计能提高5.5分．
5．（2023·全国·高二课时练习）将两个变量x、y的n对样本数据，，，…，在平面直角坐标系中表示为散点图，根据x、y满足一元线性回归模型及最小二乘法，求得其经验回归方程为．设为回归直线上的点，则下列说法正确的是________．
①越小，说明模型的拟合效果越好；
②利用最小二乘法求出的线性回归直线一定经过散点图中的某些点；
③相关系数r的绝对值越接近于1，说明成对样本数据的线性相关程度越强；
④通过经验回归方程进行预报时，解释变量的取值不能距离样本数据的范围太远，求得的预报值不是响应变量的精确值．
6．（2023·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（理））如图是某采矿厂的污水排放量单位：吨与矿产品年产量单位：吨的折线图：

(1)依据折线图计算相关系数精确到，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合
(2)若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量．
相关公式：，参考数据：．
回归方程中，




7．（2023·安徽·高二期末）为了解温度对物质参与的某种化学反应的影响，研究小组在不同温度条件下做了四次实验，实验中测得的温度x（单位：°C）与的转化率y% （转化率=）的数据如下表所示：
x
45
55
65
75
y
23
38
65
74
(1)求y与x的相关系数（结果精确到0.01）；
(2)该研究小组随后又进行了一次该实验，其中的起始量为50 g，反应结束时还剩余2.5 g，若已知y关于x的线性回归方程为，估计这次实验是在多少摄氏度的温度条件下进行的..
参考数据： ，，，.
参考公式：相关系数




8．（2023·江西吉安·高二期末（理））防疫抗疫，人人有责，随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增.下表是某口罩厂今年的月份与订单（单位：万元）的几组对应数据：
月份
1
2
3
4
5
订单
20
24

43
52
(1)求关于的线性回归方程，并估计6月份该厂的订单数；
(2)求相关系数（精确到0.01），说明与之间具有怎样的相关关系.
参考数据：，，.，.参考公式：相关系数；回归直线的方程是，其中.




9．（2023·江西·南昌十五中高二阶段练习（文））近些年来，短视频社交软件日益受到追捧，用户可以通过软件选择歌曲，拍摄音乐短视频，创作自己的作品.某用户对自己发布的视频个数x与收到的点赞个数之和y之间的关系进行了分析研究，得到如下数据：
x
3
4
5
6
7
y
45
50
60
65
70
(1)计算x，y的相关系数r（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为发布的视频个数与收到的点赞数之和的相关性很强；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.
参考公式：，，.参考数据：，.





核心知识2：非线性回归方程
10．（2023·全国·高二专题练习）根据党的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫政策，中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童的课余文化生活，培养良好的阅读习惯，在农村留守儿童聚居地区捐建“小候鸟爱心图书角”.2016年某村在寒假和暑假组织开展“小候鸟爱心图书角读书活动”，号召全村少年儿童积极读书，养成良好的阅读习惯，下表是对2016年以来近5年该村庄100位少年儿童的假期周人均读书时间的统计：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码
1
2
3
4
5
每周人均读书时间（小时）
1.3
2.8
5.7
8.9
13.8
现要建立关于的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一:；模型二:，即使画出关于的散点图，也无法确定哪个模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一的方程为.
(1)请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程（计算结果保留到小数点后一位）；
(2)用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为.
附：参考数据：，其中，.
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.




11．（2023·全国·高二专题练习）某市一中学课外活动小组为了研究经济走势，对该市1994—2016年的GDP（国内生产总值）相关数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．






12
113.7
3.9
2.24
1012




15
17840
212.52
1699.6
其中，，，，，，，．
(1)根据散点图判断，，与哪一个适合作为该市GDP值y关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)试预测该市2018年的GDP值．
参考公式：，．




12．（2023·全国·高二专题练习）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
56.5
31
22.75
17.8
15.95
14.5
13
12.5
根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数.

(1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
(3)根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？
参考数据（其中）：








0.34
0.115
1.53
184
5777.555
93.06
30.705
13.9
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关系数.




13．（2023·全国·高二专题练习）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额x(单位：亿元)对年盈利额y(单位：亿元)的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额和年盈利额的数据通过对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，e为自然对数的底数.令，经计算得如下数据：






26
215
65
2
680
5.36




11250
130
2.6
12
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程；(系数精确到0.01)
（ii）若希望2021年盈利额y为200亿元，请预测2021年的研发资金投入额x为多少亿元？(结果精确到0.01)
附：①相关系数，回归直线中：，；②参考数据：.




14．（2023·全国·高二专题练习）某公司在市场调查中，发现某产品的单位定价(单位：万元/吨)对月销售量(单位：吨)有影响.对不同定价和月销售量数据作了初步处理，







0.24
43
9
0.164
820
68
3956
表中.经过分析发现可以用来拟合与的关系.
（1）求关于的回归方程；
（2）若生产吨产品的成本为万元，那么预计价格定位多少时，该产品的月利润取最大值，求此时的月利润.
附：对于一组数据，，…，，其回归直线线的的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.




15．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为1—5．
年份代码x
1
2
3
4
5
车载音乐市场规模y
2.8
3.9
7.3
12.0
17.0
(1)由上表数据知，可用指数函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.1）；
(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y关于x的回归方程后，通过修正，把作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模．
参考数据：




1.94
33.82
1.7
1.6
其中，．
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．




16．（2023·广西南宁·高三南宁二中校考期末）2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G、中国5G的底气来自哪里.现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.

月份x
1
2
3
4
5
6
收入y（百万元）
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0
(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入.（结果保留小数点后两位）
(3)从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据：








3.50
21.15
2.85
17.70
125.35
6.73
4.57
14.30
其中，设（i=1，2，3，4，5，6）.
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（，）（i=1，2，3，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.




核心知识3：独立性检验
17．（2023·高二课时练习）某中学为调查高一年级学生的选科倾向，随机抽取了300人，其中选考物理的有220人，选考历史的有80人，统计各选科人数如表所示，则下列说法中正确的是（    ）．
选考类别
选择科目
思想政治
地理
化学
生物
物理类
80
100
145
115
历史类
50
45
30
35
参考数据：，其中.
附表：

0.10
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A．选考物理类的学生中选择政治的比例比选考历史类的学生中选择政治的比例高
B．选考物理类的学生中选择地理的比例比选考历史类的学生中选择地理的比例高
C．参照附表，根据小概率值的独立性检验，我们认为选择生物与选考类别无关
D．参照附表，根据小概率值的独立性检验，我们认为选择生物与选考类别有关
18．（2023·高二课时练习）疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗的预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：

未发病
发病
总计
未注射疫苗
30


注射疫苗
40


总计
70
30
100
现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断中错误的是（    ）．A．注射疫苗发病的动物数为10
B．某个发病的小动物为未注射疫苗动物的概率为
C．能在犯错概率不超过0.005的前提下认为疫苗有效
D．该疫苗的有效率约为80%
19．（2023·全国·高三专题练习）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（    ）

A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C．样本中选择物理学科的人数较多
D．样本中男生人数少于女生人数
20．（2023·全国·高二专题练习）假设2个分类变量和的列联表如下：


合计




a
10


c
30

合计

40
100
对于同一样本，以下数据能说明和有关系的可能性最大的一组是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
21．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）某学校为研究高三学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校400名高三学生（其中女生220名）平均每天体育锻炼时间进行调查，得到下表：
平均每天锻炼时间（分钟）






人数
40
72
88
100
80
20
将日平均体育锻炼时间在40分钟以上的学生称为“锻炼达标生”，调查知女生有40人为“锻炼达标生”．
(1)完成下面2×2列联表，试问：能否有99.9%以上的把握认为“锻炼达标生”与性别有关？

锻炼达标生
锻炼不达标
合计
男



女



合计


400
附：，其中．

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
(2)在“锻炼达标生”中用分层抽样方法抽取10人进行体育锻炼体会交流，再从这10人中选2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．




22．（2023·山东日照·高二统考期末）某中学在该校高一年级开设了选修课《中国数学史》，经过一年的学习，为了解同学们在数学史课程的学习后学习数学的兴趣是否浓厚，该校随机抽取了名高一学生进行调查，得到统计数据如下：

对数学兴趣浓厚
对数学兴趣薄弱
合计
选学了《中国数学史》



未选学《中国数学史》



合计



(1)求列联表中的数据的值，并确定能否有的把握认为对数学兴趣浓厚与选学《中国数学史》课程有关；
(2)在选学了《中国数学史》的人中按对数学是否兴趣浓厚，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人做进一步调查．若初始总分为分，抽到的人中，每有一人对数学兴趣薄弱减分，每有一人对数学兴趣浓厚加分．设得分结果总和为，求的分布列和数学期望．
附：

0.150
0.100
0.050
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635




23．（2023·浙江绍兴·高三统考期末）从某学校获取了容量为200的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：
数学成绩
语文成绩
合计
不优秀
优秀
不优秀
80
40
120
优秀
40
40
80
合计
120
80
200
(1)依据的独立性检验能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2)从200个样本中任取3个，记这3人中语文数学成绩至少一门优秀的人数为，求的分布列与期望.
附：












参考公式：，其中.




24．（2023春·全国·高三校联考开学考试）2023年元旦，某鞋店搞促销，进行降价销售，在该天累计到店的人员有100人．经评估后将到店人员分为购买组和观察组，统计到店人员的分布如下表：

60岁以下
60岁及以上
总计
购买组的人数
20
10
30
观察组的人数
60
10
70
总计
80
20
100
(1)是否有的把握认为到店人员是否购买与年龄有关？
(2)现从购买组的人中按分层抽样的方法（各层按比例分配）抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人全部为60岁以下的概率．
参考公式：，其中．

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828




核心知识4：统计的综合应用
25．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上．某市一健身连锁机构对其会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为会员年龄分布图（年龄为整数），图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图．

若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为”健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”．
(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图的数据，补全下方2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关？

年轻人
非年轻人
合计
健身达人



健身爱好者



合计



附：

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(2)将（1）中相应的频率作为概率，该健身连锁机构随机选取3名会员进行回访，设3名会员中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．




26．（2023·全国·高三专题练习）某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下：
改造前：；
改造后：.
(1)完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？
技术改造
设备连续正常运行天数
合计
超过
不超过
改造前



改造后



合计



(2)工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产设备设定维护周期为天（即从开工运行到第天，）进行维护，生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费，经测算，正常维护费为万元/次，保障维护费第一次为万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加万元.现制定生产设备一个生产周期（以天计）内的维护方案：，.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值.
















（其中）




27．（2023·全国·高三专题练习）足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到22列联表如下：

喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200
依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
（i）求（直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．




28．（2023·全国·高三专题练习）某厂计划购买台机床，该种机床使用四年后即被淘汰，并且在使用过程中机床有一易损零件，若在购进机床同时额外购买这种易损零件作为备用件，此时每个只需元．在使用期间如果备件不足再购买，则每个要元．所以在购买前要决策购买数目．使得该厂购买机床时搭配的易损备用零件费用最省．为此业内相关人员先搜集了台以往这种机床在四年内更换的易损零件数，并整理数据后得如下柱状图．

以这台机床更换的易损零件数的频率代替每台机床更换的易损零件数发生的概率．记表示台机床四年内实际共需更换的易损零件数，表示购买台机床的同时备用的易损零件数目，为购买机床时备用件数发生的概率．
（1）求时的最小值；
（2）求的分布列及备用的易损零件数时的数学期望；
（3）将购买的机床分配给名年龄不同（视技术水平不同）的人加工一批模具，因熟练程度不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同．若用变量表示不同技工的年龄，变量为相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的每日工作效益满足最小二乘法和关于的线性回归方程，已知他们年龄的方差为，所对应的效益方差为.
①试预测年龄为岁的技工使用该机床每日所产生的经济效益；
②试根据的值判断使用该批机床的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱．
附：下面三个计算回归直线方程的斜率和截距及表示随机变量与相关关系强弱的系数计算公式：，.




29．（2023·全国·高三专题练习）某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型．为了解该疾病类型与性别的关系，在某地随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为z，女性人数为2z，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的．
(1)完成下面的2×2列联表．若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则男性患者至少有多少人？

Ⅰ型病
Ⅱ型病
合计
男



女



合计



(2)某药品研发公司欲安排甲、乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队各至多安排2个接种周期进行试验，每人每次接种花费元．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p，根据以往试验统计，甲团队平均花费为；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期．假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．若，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？