第六章 计数原理（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）

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第六章 计数原理（A卷·知识通关练）
核心知识1：分类加法与分类乘法计数原理的综合
1．（2023·辽宁营口·高二统考期末）有5名学生全部分配到4个地区进行社会实践，且每名学生只去一个地区，其中A地区分配了1名学生的分配方法共（    ）种
A．120 B．180 C．405 D．781

2．（2023·河南南阳·高二统考期末）将甲，乙等5名志愿者全部分派到4个核酸采样点协助工作（每个采样点至少1人），其中甲，乙两人不能去同一个采样点，则不同的分派方案共有（    ）
A．120种 B．216种 C．240种 D．432种

3．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有（　　）
A．30种 B．36种 C．42种 D．48种

4．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考开学考试）党的二十大报告既鼓舞人心，又催人奋进．为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到4个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（    ）
A．480种 B．240种 C．120种 D．60种

5．（2023·北京怀柔·高二统考期末）从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，则不同安排方式的种数可表示为（    ）
A． B． C． D．

6．（2023·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中，两人不能分在同一个社团，则不同的安排方案数是（    ）
A．56 B．28 C．24 D．12

核心知识2：排列与组合的计算
7．（2023·高三课时练习）已知，则_________.

8．（2023·高二课时练习）计算：______．

9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则______．

10．（2023·高三课时练习）不等式的解集为________．

11．（2023·全国·高三对口高考）计算的值为_________.

12．（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）若，则的值为__________.

13．（2023·高二课时练习）设，则______．

14．（2023·高二课时练习）若，则的值为______．

15．（2023·高二课时练习）关于n的不等式的解集为______．

核心知识3：相邻问题与不相邻问题
16．（2023·山东滨州·高三统考期末）由3个2,1个0,2个3组成的六位数中,满足有相邻4位恰好是2023的六位数个数为（    ）
A．3 B．6 C．9 D．24

17．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有排法（    ）种
A．120 B．24 C．48 D．96

18．（2023·重庆·高三统考学业考试）某球队6名队员站成一排拍照留念，要求队员A和B不相邻且均与队员C相邻，则不同的排法共有（    ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

19．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）2022年2月4日北京冬奥会顺利开幕.在开幕式当晚，周明约李亮一家一起观看.周明一家四口相邻而坐，李亮一家四口也相邻而坐，已知他们两家人的8个座位连在一起（在同一排且一人一座），且周明与李亮也相邻而坐，则他们不同的坐法有（    ）
A．432种 B．72种 C．1152种 D．144种

20．（2023·广东茂名·统考一模）将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（    ）
A．480种 B．240种 C．15种 D．10种

21．（2023·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（    ）
A．24个 B．36个 C．72个 D．60个

22．（2023·全国·高三专题练习）某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告，新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则不同的播放顺序共有（　　）
A．60种 B．120种 C．144种 D．300种


核心知识4：数字排列问题
23．（2023·全国·高三专题练习）用1，2，3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有（    ）
A．600个 B．540个 C．480个 D．420个

24．（2023·全国·高三专题练习）用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（    ）
A．36 B．48 C．60 D．72

25．（2023春·广东清远·高二统考期末）回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如22，575，1661等．那么用数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为（    ）
A．25 B．20 C．30 D．36

26．（2023春·上海徐汇·高二期末）用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且1和2相邻，则这样的六位数的个数为（    ）
A．20 B．40 C．60 D．80

27．（2023春·山西·高二统考阶段练习）在1，2，3，4，5，6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（    ）
A．36个 B．48个 C．54个 D．60个

28．（2023春·浙江·高二慈溪中学校联考阶段练习）用这五个数字能组成无重复数字且与不相邻的五位数的个数有（    ）
A．36 B．48 C．60 D．72


核心知识5：涂色与几何问题
29．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有4种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（    ）．

A．96 B．84 C．60 D．48

30．（2023·全国·高三专题练习）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（    ）

A．12 B．24 C．48 D．84

31．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（　　）种不同的涂色方法？

A．260 B．180 C．240 D．120

32．（2023·全国·高三专题练习）四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂法有（    ）
A．36种 B．72种 C．48种 D．24种

33．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，已知三边所在直线的方程分别为，则内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（    ）
A．95 B．91 C．88 D．75

34．（2023·全国·高三专题练习）已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（    ）个.

A．10 B．12
C．16 D．20

核心知识6：分堆与分组问题
35．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）为推动黄河流域生态保护和高质量发展，某市环保局派出4个宣传小组，到黄河沿岸5个社区做环保宣讲活动，每个小组至少去1个社区，每个社区只安排1个小组，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）．

36．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的3名学生中既有男生又有女生的选法有___________种

37．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）把6本不同的书分给甲乙丙丁4个人，每人至少得一本，则不同的分配方法___________.

38．（2023·上海静安·统考一模）2022年11月27日上午7点，时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑，途径黄浦、静安和徐汇三区.数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务.现将5名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、路线垃圾回收组4个组，每组至少分配1名志愿者，则不同的分配方法共有__________种.（结果用数值表示）

39．（2023·全国·高三专题练习）某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为____________．

40．（2023·全国·高三专题练习）有编号分别为1，2，3，4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子，恰有一个空盒，有________种放法.

41．（2023·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末）编号为的5个小球，放入编号为的3个盒子，每个盒子至少一个球，编号为1的小球必须放入1号盒子，那么不同的放法有___________种.（填写数字）

42．（2023·全国·高三专题练习）将编号为，，，的个小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，若放在同一盒子里的个小球编号不相邻，则共有__________种不同的放法．

43．（2023·高三课时练习）某市拟成立一个由6名中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的4所实验中学，要求每所实验中学都有学生参加，那么不同的名额分配方法的种数是_________.

核心知识7：隔板法
44．（2023·全国·高三专题练习）六元一次方程的正整数解有________组．

45．（2023春·重庆·高二校联考阶段练习）已知关于的三元一次方程，且，则该方程有__________组正整数解.

46．（2023·全国·高三专题练习）某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答）

47．（2023·全国·高二专题练习）已知，满足方程，则这个方程解的组数为________．（用数字作答）

48．（2023·全国·高三专题练习）关于，，的方程（其中，，）的解共有_____组．

核心知识8：二项式定理
49．（2023·河北唐山·高三统考期末）的展开式共有七项，且常数项为20，则（    ）
A．1 B． C．2 D．

50．（2023·北京通州·高三统考期末）设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5

51．（2023·北京丰台·高三统考期末）在的展开式中，常数项为（    ）
A． B．24 C． D．48

52．（2023·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末）的展开式中，共有多少项？（    ）
A．45 B．36 C．28 D．21

53．（2023·全国·高三专题练习）（　　）
A．3n B．2·3n
C．－1 D．

54．（2023·全国·高三专题练习）在的展开式中，常数项为（    ）
A．-60 B．60 C．-240 D．240

55．（2023·全国·高三专题练习）若是一组数据的方差，则的展开式的常数项为（    ）
A． B．3360 C．210 D．16

56．（2023·全国·高二专题练习）设，则（    ）
A．21 B．64 C．78 D．156

57．（2023·全国·高三专题练习）已知的展开式中只有第项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为，则不正确的命题是（    ）
A． B．
C．展开式中常数项为 D．展开式中含的项为

58．（2023·吉林长春·高二长春市第二中学校考期末）的二项展开式中的常数项为（    ）
A． B． C． D．

59．（2023·全国·高二专题练习）的展开式的常数项为（    ）
A．6 B．10 C．15 D．16


核心知识9：二项式系数
60．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）的展开式中x2y4的系数为（    ）
A．192 B．240 C．432 D．256

61．（2023·全国·高三专题练习）已知的二项展开式中，第三项与第项的二项式系数和为84，则第四项的系数为（    ）
A．280 B．448 C．692 D．960

62．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中的系数是（    ）
A．45 B．84 C．120 D．210

63．（2023·浙江宁波·高三期末）若二项式的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是（    ）
A． B． C． D．

64．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期末）已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（    ）
A． B． C． D．

65．（2023·全国·高三专题练习）若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式中二项式系数最大的项为（    ）
A． B． C． D．

66．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）设，则（    ）
A． B． C． D．

67．（2023·江西赣州·高三统考期末）若展开式的各项系数和为729，展开式中的系数为（    ）
A． B． C．30 D．90

68．（2023·全国·高三专题练习）已知，设，下列说法：
①，②，③，④展开式中所有项的二项式系数和为1.
其中正确的个数有（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3

69．（2023·全国·高三专题练习）在二项式的展开式中，下列结论：
①第5项的系数最大；
②所有项的系数和为；
③所有奇数项的二项式系数和为；
④所有偶数项的二项式系数和为．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4

70．（2023·辽宁·高二沈阳市第三十一中学校联考期末）在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（    ）
A．16 B．32 C．1 D．

71．（2023·全国·高二专题练习）已知，则等于（    ）
A．15 B．16 C．7 D．8

核心知识10：项的系数
72．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）的展开式中x的系数为______．

73．（2023·山东东营·高二统考期末）已知，则______．

74．（2023·江苏苏州·高三常熟中学校考期末）的展开式中所有有理项的系数之和为__________.

75．（2023·全国·高二专题练习）的展开式中有理项共有______项．

76．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）若展开式中的系数为30，则________.

77．（2023·全国·模拟预测）若展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为______.

78．（2023·辽宁·校联考模拟预测）的展开式中除常数项外的各项系数和为______．

79．（2023·全国·高二专题练习）若二项式的展开式的第5项是常数项，那么这个展开式中第______项系数最大．

80．（2023·全国·高二专题练习）的展开式中，二项式系数最大项的是______项，其系数是______（用数字作答）；系数最大的项是_____.

81．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）已知，则________．

82．（2023·甘肃兰州·校考一模）若，则的值为______．

83．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）在的展开式中，的系数为__________.

84．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）的展开式中含的系数是_______.

85．（2023·广西南宁·高三南宁二中校考期末）在展开式中，含的项的系数是___________.

86．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中的系数为___________．

87．（2023·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）的展开式中的系数是__________.

88．（2023·全国·高三专题练习）若的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中的系数是___________.

核心知识11：二项式的应用
89．（2023·高二课时练习）将精确到0.01的近似值是______．

90．（2023·全国·高三专题练习）的计算结果精确到0.01的近似值是_________．

91．（2023·全国·高二专题练习）若能被13整除，则实数a的值可以为________．（填序号）
①0；②11；③12；④25．

92．（2023·全国·高二专题练习）（1）用二项式定理证明能被14整除；
（2）除以100的余数．




93．（2023·全国·高二专题练习）求证：当n为偶数时，．




94．（2023·全国·高二专题练习）求证：．