第五章 一元函数的导数及其应用（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）

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第五章 一元函数的导数及其应用（A卷·知识通关练）
核心知识1 导数的概念
1．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为,
所以,
故选:A.
2．（2022·全国·高二专题练习）已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（　　）
A．经过4s后物体向前走了10m
B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m
D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s
【答案】D
【解析】∵物体做直线运动的方程为，
根据导数的物理意义可知，函数的导数是t时刻的瞬时速度，
∴表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s．
故选：D．
3．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意可知切点，
函数的图象在点处的切线方程是，
，即

又

即
故选：D.
4．（2022·浙江·高二期中）函数在区间上的平均变化率等于（    ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以，即函数在区间上的平均变化率为；
故选：C
5．（2022·江苏苏州·高二期末）2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪速度为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，故当时，该运动员的滑雪速度为.
故选：B

核心知识2 导数的运算：求函数的导数
6．（2022·江西·萍乡市第二中学高二开学考试（理））求下列函数的导数．
（1）（为常数）；
（2）.
【解析】（1）由可得；
（2）由可得
7．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（文））求下列函数的导数.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解析】（1）由，可得
（2）由，可得
（3）由，
可得
（4）由，可得
8．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【解析】（1）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（2）函数可以看作函数和的复合函数，
∴ .
（3）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（4）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（5）函数可以看作函数和的复合函数，
∴ ．
（6）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
9．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【解析】（1），.
（2），
，.
（3），

.
（4），
.
（5），
．
10．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）
．
核心知识3 利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处）
11．（2022·辽宁·阜新市第二高级中学高二期末）曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】，
当时，，
所以曲线在点处的切线方程为.
故答案为：.
12．（2022·浙江省常山县第一中学高二期中）已知，则在x＝1处的切线方程是______．
【答案】
【解析】已知当时，
由，得
根据点斜式可得：
故答案为:
13．（2022·辽宁实验中学高二开学考试）已知曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】将代入，则，即，
由，则，由题意，，
将代入，则，由，则，
将代入，则，
则切线方程为，即.
故答案为：.
14．（2022·全国·高二课时练习）过点且与曲线相切的直线方程为______．
【答案】或
【解析】由题意，设切点坐标为，则，
又由函数，可得，可得，所以，
根据斜率公式和导数的几何意义，可得，即，
解得或，所以切线的斜率为或，
所以切线方程为或，即或.
故答案为：或.
15．（2022·辽宁丹东·高二期末）写出a的一个值，使得直线是曲线的切线，则a=______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】设切点为，直线恒过定点，
，则，
则，可得其中一个根，
，此时，得.
故答案为： （答案不唯一）
16．（2022·全国·高二专题练习）过点且与曲线相切的直线共有________条.
【答案】2
【解析】设切点的坐标为，因为，
所以切线的方程为，
将代入方程整理得，解得或.
故切线方程为或，
即过点且与曲线相切的直线共有2条.
故答案为：
17．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）已知函数，.
(1)求曲线在处切线的方程；
(2)若直线l过坐标原点且与曲线相切，求直线l的方程.
【解析】（1），所以，所以，，所以切线方程为：，整理得.
（2），所以，设切点坐标为，所以切线斜率为，
则切线方程为：，又因为切线过原点，所以将代入切线方程得，解得，所以切线方程为：，整理得.
18．（2022·陕西·西安中学高二阶段练习）已知二次函数，其图象过点，且.
(1)求、的值；
(2)设函数，求曲线在处的切线方程.
【解析】（1）因为，则，
所以，，解得.
（2）因为的定义域为，且，
所以，，，故切点坐标为，
所以，函数在处的切线方程为.
19．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，且.
(1)求的解析式；
(2)求曲线在处的切线方程.
【解析】（1）因为，且，所以，解得，所以函数的解析式为.
（2）由（1）可知，；
又，所以曲线在处的切线方程为，即.

核心知识4 与切线有关的综合问题
20．（2022·上海市杨浦高级中学高二期末）函数特性：“函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直”，则下列函数中满足特性的函数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设函数的图像上存在两点，，若，则图像在这两点处的切线互相垂直，
对A，，则，故A不正确；
对B，，则，因为，所以存在，满足，故B正确；
对C，，则，故C不正确；
对D，，则，故D不正确，
故选：B
21．（2022·陕西·西安中学高二阶段练习）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】的导数为，
由于存在垂直于轴的切线，
可得有实数解，
即有，即有，
解得或．
故选：B
22．（2022·重庆市璧山来凤中学校高二阶段练习）若曲线与曲线在它们的公共点处具有公切线，则实数a等于（    ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，得， ，因为在公共点处有公切线，所以且，即且，解得.
故选：B.
23．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）若过点可以作曲线的三条切线，则（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题可得，
设切点，则，整理得，
由题意知关于的方程有三个不同的解，
设，，
由，得或，又，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，单调递增，
当时，
当时，，且，，
函数的大致图像如图所示，

因为的图像与直线有三个交点，
所以，即.
故选：D.
24．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，设切点为，，
，，
则过点的切线方程为，整理得，
由点在切线上，则，即，
因为过直线上一点可以作曲线两条切线，
所以关于的方程有两个不等的实数根，
即函数与函数的图象有两个交点，
，
，
则函数在上单调递增，在上单调递减，且，
时，；时，，
则函数与函数的图象如下图所示：

由图可知，，
故选：C.
25．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则实数的值为（    ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【解析】由题意，函数，则，
可得，，即切点坐标为，
所以在处的切线为，
当时，；当时，，
因为在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，
可得，解得或，
又因为，所以.
故选：C.
26．（2022·山东烟台·高二期末）已知曲线在点（0，1）处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的值为（    ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【解析】的导数，
曲线在处切线斜率，
则曲线在处切线方程为，即
由于切线与曲线只有一个公共点，
联立，得
即解得
故选: A.
27．（2022·湖南郴州·高二期末）过点作曲线的切线有且只有两条，则b的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设切点为，，故过的切线方程为，即.故有且仅有两根.设，则，令则，令则，且，又当时，，.故有且仅有两根则b的取值范围为

故选：A
28．（2022·陕西·延安市第一中学高二期中（理））设函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)设函数，直线与曲线及都相切，且与切点的横坐标为，求证：.
【解析】（1）当时，  显然定义域为R
所以
令得：或
令得：
则在上单调递增，在上单调递减，
.所以的极小值为，极大值为
（2）由于，所以.
当时，，所以在上单调递增，
当时，令，解得：或，
令，解得：，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
综上所述，则时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（3）已知.
设直线与曲线相切于点. 所以，
因为，，所以①，显然.
因为在处的切线方程为，又过点，
所以②，
由①、②可得
为函数的零点，
由于，所以在上单调递增，
且，则在上存在唯一零点，
因此.
29．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，点、为函数图像上两点，且过A、B两点的切线互相垂直，若，求的最小值．
【解析】
∵，过A，B两点的切线互相垂直，∴，
∴，，∴，
当且仅当，即，时等号成立，
∴的最小值为1．
30．（2022·全国·高二课时练习）已知函数．
(1)当a＝1时，求曲线在x＝2处的切线方程；
(2)当时，曲线上存在分别以和为切点的两条互相平行的切线，求的取值范围．
【解析】（1）当a＝1时，，，
因为，所以， 即，
所以曲线在x＝2处的切线方程为，
即；
（2）由题意知，，
即，
整理得，因为，所以，
所以，
令，则，因为，，
所以在上单调递增，即，
所以，即，
所以，即的取值范围为．
31．（2022·全国·高二课时练习）已知两条曲线，，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】∵，，∴，．
设两条曲线的一个公共点为点，∴两条曲线在点处的切线斜率分别为，．若两条切线互相垂直，则，即，∴，
显然不成立，∴这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点的两条曲线的切线互相垂直．
32．（2022·全国·高二期末）已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)若直线l与函数，的图象都相切，求直线l的条数．
【解析】(1)由题设，，定义域为，
则
当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.
(2)因为，，所以，，
设直线分别与函数，的图象相切于点，
则，即
由，得
即，即
由，得，代入上式，得
即，则
设
当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，，
则在上仅有一个零点.
因为，则在上仅有一个零点.
所以在上有两个零点，故与函数，的图象都相切的直线有两条.

核心知识5 最短距离问题
33．（2022·陕西安康·高二期末（理））已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线.
(1)求的值；
(2)求公切线所在的直线方程；
(3)若抛物线上的点M到直线的距离最短，求点M的坐标和最短距离.
【解析】(1)根据题意可知，
将分别代入两曲线方程得到，．
两个函数的导函数分别是，
又，，则，解得，，．
(2)由（1）知，；当时，，故切线方程为，即．
由（1）知，，当时，，故切线方程为，
即．
综上所述，公切线所在的直线方程为．
(3)要使抛物线上的点M到直线的距离最短，则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线相同，则，
解得，又因为点M在抛物线上，解得．
所以最短距离即d为点M到直线的距离，
代入点到直线的距离公式得．即最短距离为．
34．（2022·河南南阳·高二期中（理））已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线．
(1)求a，b，c的值；
(2)求公切线所在的直线方程；
(3)若抛物线上的点M到直线的距离最短，求点M的坐标和最短距离．
【解析】(1)根据导函数定义可知，两个函数的导函数分别是
．
．
将分别代入两曲线方程得到，．
又，，则，解得，，．
(2)由（1）知，；当时，，故切线方程
为，即．
由（1）知，，当时，，故切线方程为，即．
综上所述，公切线所在的直线方程为．
(3)要使抛物线上的点M到直线的距离最短，则抛物线在点M处
的切线斜率应该与直线相同，
则，
解得．又因为点M在抛物线上，解得，
所以最短距离即d为点M到直线的距离，
代入点到直线的距离公式得．即最短距离为．
35．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））在抛物线y＝x2上求一点P，使点P到直线x－y－1＝0的距离最短，并求出这个最短距离．
【解析】设切点P的坐标为，
由，可得，所以，
令，解得，所以点，
所以曲线在点P处的切线方程为，即，
根据两平行线间的距离公式，可得两平行直线间的距离为，
即点到直线的最短距离为.
36．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，且曲线在点处的切线方程为l，直线m平行于直线l且过点.
(1)求出直线l与m的方程；
(2)指出曲线上哪个点到直线m的距离最短，并求出最短距离.
【解析】（1）因为，所以，所以，又，即切点为，所以切线的方程为，即，直线与直线平行，所以斜率为，且直线过点，所以直线的方程为，即，即直线：，直线：；
（2）依题意点到直线：的距离最短，最短距离
37．（2022·重庆市璧山来凤中学校高二阶段练习）已知抛物线y＝x2和直线x－y－2＝0，求抛物线上一点到该直线的最短距离.
【解析】方法一　设P(x，x2)为抛物线上任意一点，则点P到直线x－y－2＝0的距离为，所以当时，d最小，最小值为.
方法二　由题意设直线x－y＋b＝0与抛物线y＝x2相切，则x2－x－b＝0，由得，所以直线与x－y－2＝0的距离为，所以抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
方法三　根据题意可知，与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为，则，所以，所以切点坐标为，切点到直线x－y－2＝0的距离，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.

核心知识6 利用导数求函数的单调区间
38．（2022·福建·莆田一中高二期中）若函数，则的一个单调递增区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，
令，解得，
所以的单调递增区间是，
故选：B
39．（2022·吉林·高二期末）函数的递增区间是（    ）
A． B．和
C． D．
【答案】C
【解析】由题设，且，可得，
所以递增区间为.
故选：C
40．（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数的单调递减区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
令，得，所以函数的单调递减区间是，
故选：A.
41．（2022·四川绵阳·高二期末（文））函数的单调递增区间为（    ）
A．() B．(1，+) C．(1，1) D．(0，1)
【答案】D
【解析】∵函数，，
∴，
由，，解得，
即函数的单调递增区间为.
故选：D.
42．（2022·辽宁丹东·高二期末）函数的单调递增区间为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，该函数的定义域为，，
由，可得，解得，
因此，函数的单调递增区间为.
故选：B.
43．（2022·山东淄博·高二期末）函数的递增区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵
令，则
∴函数的递增区间为
故选：A．

核心知识7 已知单调性求参数的取值范围
44．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．
故选:B．
45．（2022·全国·高二课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.
令，则，所以在上单调递增，则，所以.
故选:B.
46．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（文））已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，
所以即，
故选：A.
47．（2022·浙江宁波·高二期中）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在区间上是增函数，
在上恒成立，
，因为，所以
令，则，即，，
，令，，则，
在上单调递减，，即，
故选：A．
48．（2022·广东东莞·高二期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．（-1，1） B． C．（-1，+∞） D．（-1，0）
【答案】B
【解析】，由题意得：，
即在上恒成立，
因为，所以恒成立，故实数a的取值范围是.
故选：B
49．（2022·天津一中高二期中）已知函数的单调递减区间是，则（    ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】函数，则导数
令，即，
∵，的单调递减区间是，
∴0，4是方程的两根，
∴，，
∴
故选：B.
50．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，
因为函数在区间内单调递增，
所以有在上恒成立，即在上恒成立，
因为，所以由，
因为，所以，于是有，
故选：D
51．（2022·福建宁德·高二期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意在上恒成立，
，时，是增函数，（时取得），
所以．
故选：A．
52．（2022·福建·莆田一中高二期中）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在区间上不是单调函数，
所以在区间上有解，即在区间上有解．
令，则．
当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．又因为，
且当时，
所以在区间上单调递增，所以，解得.
故选：A

核心知识8 含参数单调性讨论
53．（2022·河南·睢县高级中学高二阶段练习（理））已知函数.
(1)当时，求曲线在点的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
【解析】（1）由，则，，
，，切线方程：，
则.
（2）由，
求导得，
①当时，，
，解得，，解得，
则：单减区间：，单增区间：；
②当时，令，解得或（舍去）
当时，，当时，，
则：单减区间：，单增区间：；
③当时，令，解得或，
当时，，当时，，
则：单减区间：和，单增区间：；
④当时，，则：单减区间：；
⑤当时，令，解得或，
当时，，当时，，
则：单减区间：和，单增区间：；
综上，当时，单减区间：，单增区间：
当时，单减区间：和，单增区间：
当时，单减区间：
当时，单减区间：和，单增区间：.
54．（2022·重庆市璧山来凤中学校高二阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
【解析】（1）当时，，，
∴，又，
∴曲线在处的切线方程为；
（2）因为.
当时，在上为增函数；
当时，当时，，当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，当时，，当时，有，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增.
55．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，试讨论的单调区间.
【解析】解析：因为，所以，
令.
①当a＝0时，，，所以的单调递增区间为R，无单调递减区间.
②当时，.
（i）当时，，令，得，，且，
所以当或时，，，当时，，，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间；
（ii）当时，，所以，，所以的单调递增区间为R，无单调递减区间.
综上，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间.
56．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（理））已知函数（）.
(1)，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
【解析】（1）时，，，切线的斜率，则切线方程为；
（2）函数的定义域为，且，
①当时，，由，得；由，得则函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
②当，即时，由，得或；由，得.
则函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为.
③当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为.
④当，即时，
由，得或；由，得，则函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为.
综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.
57．（2022·河北石家庄·高二期末）已知函数．
(1)从①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
若____________，求曲线在点处的切线方程．
(2)讨论函数的单调性．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）选①，由，解得，
所以，则，
，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
选②，，
由，解得，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2），
则，
令，则或，
当，即时，，
则当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增；
当，即时，，
所以函数在上递增；
当，即时，
当或时，，当时，，
所以函数在和上递增，在上递减；
当，即时，
当，即时，
当或时，，当时，，
所以函数在和上递增，在上递减，
综上所述，当时，函数在上递减，在上递增；
当时，函数在上递增；
当时，函数在和上递增，在上递减；
当时，函数在和上递增，在上递减.
58．（2022·北京·高二期末）若函数.
(1)求曲线在点处的切线的方程；
(2)判断方程解的个数，并说明理由；
(3)当，设，求的单调区间.
【解析】（1）因为，所以，
所以，则，所以切点坐标为，切线的斜率，
所以切线方程为.
（2）因为，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则仅有一个实数解；
（3）当时，，，
则，
令，解得或，
当时，，
此时令，解得或，令，解得，
故的单调递增区间为：，，单调递减区间为，
当时，令时，解得或，令时，解得，
故的单调递增区间为、，单调递减区间为．
当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间．
综上所述：当时，的单调递增区间为：，，单调递减区间为，
当时，单调递增区间为、，单调递减区间为．
当时，单调递增区间为，无单调递减区间．
59．（2022·湖北武汉·高二期末）已知函数，．
(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；
(2)当，且时，求函数的单调区间．
【解析】(1)，，，，
与在交点处具有公共切线，；
又，由得：.
(2)当时，设，
；
设，
当时，；当时，；当时，；
的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，令，解得：，；
①当时，时，恒成立，即，
的单调递减区间为，无单调递增区间；
②当时，，
当时，，则；当时，，则；
的单调递减区间为，；单调递增区间为；
综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为.
60．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知函数.
(1)当时，求该函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
【解析】(1)当时，，该函数定义域为，
则.
所以.
又，
所以.
所以该函数在点处的切线方程为，
即.
(2)由题可得，
令，得或.
而该函数定义域为，则
①若，则，在区间（0，1）上，；在区间上，，故函数在（0，1）上单调递减，在上单调递增；
②若，即，则在区间和上，；在区间上，，故函数在和上单调递增，在上单调递减；
③若，即，则在区间上，恒成立，且仅在处取得等号，
故函数在上单调递增；
④若，即，则在区间（0，1）和上，；在区间上，，
故函数在（0，1）和上单调递增，在上单调递.
61．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性．
【解析】(1)当时，，则，故，且，故在点处的切线方程为
(2)求导可得，
当时，，故当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，令，则，
62．当时，，故当和时，，单调递减；当时，单调递增；
63．当时：
①当，即时，在，上，单调递增；在上，单调递减；
②当，即时，，在定义域R单调递增；
③当，即时，在，上，单调递增；在上，单调递减；
综上有：
当时，在，单调递减，单调递增．
当时，在单调递增，单调递减．
当时，在，单调递增，单调递减．
当，在定义域R单调递增．
当时，在，单调递增，单调递减．

核心知识9 求函数的极值
64．（2022·辽宁·阜新市第二高级中学高二期末）已知函数，求函数的极值.
【解析】，定义域为R，.
①当时， ， 在R上为增函数， 无极值.
②当时，令，得， .
当， ；当 ， ；
∴在上单调递减，在上单调递增，
在取得极小值，极小值为，无极大值.
综上所述，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.
65．（2022·浙江·高二期中）已知函数，满足．
(1)求实数a的值；
(2)求的单调区间和极值．
【解析】（1）由题意，，又，解得
（2）由（1），且为增函数.
令可得，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.故在处有极小值，无极大值.
综上单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.
66．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的极值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)极小值为；极大值为
(2)极大值为，没有极小值
【分析】
求出导数，根据导数的正负确定函数的单调区间，从而求出函数的极值即可.
（1）因为．
令，解得，．
当x变化时，，的变化情况如下表：
x

－1

1


－
0
＋
0
－

单调递减
－3
单调递增
－1
单调递减
由上表看出，当时，取得极小值，为；
当时，取得极大值，为．
（2）函数的定义域为，且．
令，解得．
当x变化时，与的变化情况如下表：
x




＋
0
－

单调递增

单调递减
因此，是函数的极大值点，极大值为，没有极小值．
67．（2022·全国·高二课时练习）设函数，若为奇函数，求：
(1)曲线在点处的切线方程；
(2)函数的极大值点．
【解析】（1）因为函数为奇函数，所以，
从而得到，即，所以．
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2），
由，得，由，得或，
所以函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，
所以函数的极大值点是．
68．（2022·陕西咸阳·高二期末（理））已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)判断函数的极值点个数，并说明理由．
【解析】（1）当时，，，，，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）易得函数定义域为R，，
当时，令，解得或，显然，则当或时，，
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故有2个极值点；
当时，，所以在R上单调递增，故此时无极值点；
当时，令，解得或，显然，则当或时，，
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故有2个极值点；
综上可得，当时，无极值点；当且时，有2个极值点.
69．（2022·广东·佛山一中高二期中）已知函数在处的切线方程为．
(1)求、的值；
(2)求的极值点，并计算两个极值之和．
【解析】(1)因为的定义域为，，
因为，曲线在处的切线方程为，
，可得，，可得.
(2)由，得，
列表如下：













增
极大值
减
极小值
增
所以，函数的极大值点为，极大值为，
极小值点为，极小值为，
所以，函数的极大值和极小值为.
70．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（理））已知函数．
(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)求函数的极值点．
【解析】（1）由可得：，即，
令，则问题转化为，
因为，
所以当时， ，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，所以，
故的范围为：.
（2）因为，
所以，
当时，，
当，，单调递减；
当时，，单调递增，此时的极值点为；
当时，令，得，，
当时，，
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以此时的极值点为和；
当时，，此时，单调递增，无极值点；
当时，，
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以此时的极值点为和；
综上所述：当时，极值点为；当时，无极值点；当或时，极值点为和.

核心知识10 求函数的最值
71．（2022·陕西·户县苍游中学高二期中（文））求在上的最值．
【解析】，
，
令，
得（舍去），
由解得或，递增，
由解得，递减，
是极小值点，
，
，，
．
故最大值为，最小值为．
72．（2022·云南省楚雄第一中学高二阶段练习）已知函数在点处的切线方程是，其中是自然对数的底数．
(1)求实数的值；
(2)当时，求函数的最大值和最小值．
【解析】（1）由，得，
因为函数在点处的切线方程是，
所以，解得；
（2）由（1）知，，
令，得或，
当时，的变化情况列表如下：













递增
极大值
递减
极小值
递增
所以的极大值为，极小值为
又，
所以，当时，函数的最大值是，最小值是
73．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（文））已知函数，若曲线在处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)求函数在上的最值．
【解析】（1）因为曲线在处的切线方程为
所以．
又，
所以，
所以.
（2）由（1）可知，，
令，解得或，，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
又，，，
所以函数在上的最小值为，最大值.
74．（2022·陕西·西安中学高二期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调性；
(3)求函数在上的最小值．
【解析】（1）当时，，则，
所以，，
所以曲线在处的切线方程为.
（2）由题意得，因为恒成立，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
（3）由（2）得，①当时，在上单调递减，；
②当时，在单调递减，在单调递增，；
③当时，在上单调递增，.
75．（2022·山东德州·高二期末）已知函数．
(1)若函数f（x）在x=－1处取得极值，求实数a的值；
(2)当时．求函数f（x）的最大值．
【解析】（1）由题意可知，
所以，即3-3a=0解得a=1，
经检验a=1，符合题意．
所以a=1．
（2）由（1）知，
令，，
当即时，f（x）和随x的变化情况如下表：
x
－2





1


＋
0
－
0
＋


－7+6a
单调递增

单调递减

单调调增
2－3a
，
由上可知，所以的最大值为．
当即时，f（x）和随x的变化情况如下表：
x
－2



1


＋
0
－


－7+6a
单调递增

单调递减
2－3a
，
由上可知，所以f（x）的最大值为．
当即时，恒成立，即f（x）在［－2，1]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（－2）=－7+6a，
综上所述，当时，f（x）的最大值为；
当时，f（x）的最大值为－7+6a．
76．（2022·山东·菏泽一中高二阶段练习）已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)求在区间上的最小值.
【解析】（1）根据题意，函数，其导数．
①当时，，则在上为增函数；
②当时，令，解得或，则的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③当时，令，解得或，则的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）由（1）可得，当或，．
①当，即时，在上单调递增，此时在区间上的最小值为；
②当，即时，在上单调递减，在内单调递增，此时在区间上的最小值为；
③当，即时，在上单调递减，此时在区间上的最小值为．
综上可得：当时，的最小值为；当时，的最小值头；当时，的最小值为．
77．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，记在区间的最大值为M，最小值为N，求的取值范围.
【解析】(1)因为，故可得，
令，可得或；
当时，，此时在上单调递增；
当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上所述：当时， 在上单调递增；
当时，在和单调递增，在单调递减；
当时，在和单调递增，在单调递减.
(2)由（1）可知：当时，在单调递减，在单调递增
又，，故在单调递减，在单调递增.
则的最小值；
又，
当时，的最大值，
此时；
当时，的最大值，
此时，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以；
所以的取值范围为.
78．（2022·福建省龙岩第一中学高二开学考试）设 ，已知函数 ．
(1)若 ，求函数在 处切线的方程；
(2)求函数在上的最大值．
【解析】(1)因为，所以，即a=0,
所以，f（1）=1,
所以切线方程为：y-1= 3（x-1），即.
(2),令得,
①当a=0时，f（x）= x3在[0，2]上为单调递增函数，
所以f（x）max = f（2）= 8；
②当时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上为单调递减函数，
所以;
③当时，即0