第一章 空间向量与立体几何（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教B版2019）

班级              姓名             学号             分数           

第一章 空间向量与立体几何（B卷·能力提升练）

（时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC．M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（       ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】C

【解析】连结ON．

因为M，N分别是对边OB，AC的中点，所以，，

所以．

又，所以．

．

故选：C

2．如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角满足（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，所以，．易知平面的一个法向量为，

则，

所以，．

故选：B

3．如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3、5，M、N分别在上、下底面圆周上，且，则||等于（       ）

A． B．5 C． D．5

【答案】A

【解析】∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，

∴•0，0，

又3×5×cos60°．

∵，

∴2＝（）2

222+2•229+16+25+15＝65，

∴||．

故选：A．

4．在平面向量中，我们用表示在方向上的投影，换个角度，向量在直线OB的法向量方向上的投影的绝对值就是点A到直线OB的距离（如图1），如果利用类比的方法，那么图2中点A到平面BCD的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知，，

设为平面BCD的一个法向量，则

，即，令，则，

所以，

因为，所以点A到平面BCD的距离为

．

故选：B．

5．已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿对角线AC将△ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，则B与D之间距离为（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【解析】过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，

∵AB＝1，BC，

∴AC＝2，

∵，

∴BE＝DF，

则AE＝CF，即EF＝2﹣1＝1，

∵平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，

∴，

∵，

∴

，

则||，

即B与D之间距离为，

故选：C．

6．如图，在正方体中，点是线段上的动点，则下列判断：

①三棱锥的体积是定值与点位置无关；

②若异面直线与所成的角为，则的最大值为；

③无论点在线段的什么位置，都有；

④当点与线段的中点重合时，与异面．

其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【解析】因为平面，所以点到平面的距离为，

设正方体的棱长为，则，即无论点在线段 的什么位置，三棱锥的体积为定值，故①正确；

建立如图所示的直角坐标系，

设正方体棱长为，则，

设， ，则，

又，设异面直线与 所成角为，

则 ，

当时，有最大值，此时点是线段 的中点，故②正确，

又，所以，所以，故③正确；

当点与线段的中点重合时，，显然与均在平面 ，故④错误，所以①②③正确．

故选：C．

7．如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论错误的是（       ）

A．平面平面；

B．点到直线的距离；

C．若二面角的平面角的余弦值为，则；

D．点A到平面的距离为．

【答案】D

【解析】A选项，因为平面，平面，

所以CD，

故∠PBA即为与底面所成的角，，

因为，

所以PA=AB=1，

因为，

取AD中点F，连接CF，则AF=DF=AB=CF=BC，

则四边形ABCF为正方形，∠FCD=∠FCA=45°，

所以AC⊥CD，

又因为，

所以CD⊥平面PAC，

因为CD平面PCD，

所以平面平面PCD，A正确；

由A选项的证明过程可知：CD⊥平面PAC，

因为平面PAC

所以CD⊥PC，

故点P到直线CD的距离即为PC的长度，

其中

由勾股定理得：，B正确；

以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

其中平面ACD的法向量为，设平面ACE的法向量为，

则，令得：，

所以，

设二面角的平面角为，显然，

其中，

解得：或，

因为，所以，C正确；

过点A作AH⊥PC于点H，

由于CD⊥平面APC，平面APC，

所以AH⊥CD，

因为，

所以AH⊥平面PCD，

故AH即为点A到平面PCD的距离，

因为PA⊥AC，

所以，D选项错误

故选：D

8．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值是（      ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】以点为空间直角坐标系的原点，分别以，，所在直线为，，轴，

建立空间直角坐标系，

则点，，所以．

因为，，所以，

因为，所以，所以．

因为，所以，

所以，因为，

所以当时，．

因为正方体中，平面，平面，故，

所以，

故选：B．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列说法中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】

，故A错误；

由题可知，，，

∴，

∴，故B正确；

因为，，

则

，故C错误，D正确．

故选：BD．

10．如图，在平行六面体中，，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（       ）

A．

B．向量共面

C．

D．若，则该平行六面体的高为

【答案】ACD

【解析】在平行六面体中，令，不妨令，

依题意，，，

因点M，N分别是棱的中点，则，

，则有，A正确；

，若向量共面，

则存在唯一实数对使得，

即，而不共面，则有，显然不成立，B不正确；

由，则，故C正确．

连接，依题意，，即四面体是正四面体，

因此，平行六面体的高等于点到平面的距离，即正四面体的高h，

由知，

由选项A知，，

则平面，是平面的一个法向量，，

，

则，所以平行六面体的高为，D正确．

故选：ACD

11．如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面，O，P分别是的中点，M是棱SD上的动点，则下列选项正确的是（       ）

A．

B．存在点M，使平面SBC

C．存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°

D．点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值

【答案】ABD

【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系（如图），

设，

则，

由M是棱SD上的动点，设，

，

，

，故A正确；

当为的中点时，是的中位线，

所以，

又平面，平面，

所以平面，故B正确；

，

若存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°，

则，

化简得，方程无解，故C错误；

点M到平面ABCD的距离，

点M与平面SAB的距离，

所以点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为，是定值，故D正确；

故选：ABD

12．在正方体中，动点满足，其中，，且，则（       ）

A．对于任意的，且，都有平面平面

B．当时，三棱锥的体积为定值

C．当时，不存在点，使得平面

D．当时，存在点，使得

【答案】ABC

【解析】对于A选项，设正方体的棱长为，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

因为，

，设平面的法向量为，

则，取，可得，

因为，即，

对于任意的，且，都有平面平面，A对；

对于B选项，当时，点，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，且

所以，点到平面的距离为，

又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，B对；

对于C选项，当时，，

假设存在点，使得平面，因为平面，则，

，则，可得，与题设条件不符，

假设不成立，故当时，不存在点，使得平面，C对；

对于D选项，当时，则，

则，，

，故为锐角，D错．

故选：ABC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，．设D在直线AB上，且，设，若，则实数______．

【答案】

【解析】因为在直线上，且，

所以

所以，，

因为

所以，解得．

故答案为：

14．如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为2，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______．

【答案】【解析】

连接．以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，，为异面直线与所成角，即．

在菱形中，，， ，．设，则，．在中， 由，，可得，

，，，，，

点到直线的距离为．

故答案为：．

15．在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则 _________．

【答案】

【解析】如图所示，

正方体中，，

，

，A，，四点共面，，，，四点共面，

，解得，；

．

故答案为：

16．如图，三棱锥各棱的棱长都是，点是棱的中点，点在棱上，且，记，，．求的最小值．

【答案】

【解析】根据题意，连接、，点是棱的中点，点在棱上，且，

记，，，则，

，

由空间向量数量积的定义可得，

所以，

，

则当时，取得最小值，则的最小值为．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．

17．（10分）

在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．

问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解析】方案一：选条件①．

假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以．设，，则，，，所以，．

因为，所以，即．

因为，，所以，所以．又，

所以，故存在点，，满足，此时．

方案二：选条件②．

假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以．

设，，则，，，

所以，．因为，且，

所以，解得．又，所以，

故存在点，，满足，此时．

方案三：选条件③．假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，

则，，，，所以，．

设，，则．因为，

所以与不共线，所以，即，

则，

故不存在点，满足．

18．（12分）

如图所示，在几何体EFG-DABC中，四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上．

（1）求证：BMEF．

（2）当DM的长为多少时，使得直线MB与平面BEF所成的角为45？

【解析】（1）四边形、四边形、四边形均为正方形，两两互相垂直，

以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，设，

，，，

（2）由（1）知：，，

设平面的法向量，

，令，解得，，；

假设存在点，使得直线与平面所成的角为，则，

，解得：，

在棱上，，，

当点在棱上，且时，直线与平面所成的角为．

19．（12分）

从①平面平面，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，分别是棱，的中点，且______．

（1）求证：；

（2）若，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【解析】（1）若选①：连接，

四边形是菱形，，

为中点，，；

平面平面，平面平面，平面，

平面，又平面，．

若选②：连接，，连接，

四边形是菱形，，，平分，

为中点，，，平分，

为中点，，

，即，，

又，平面，平面，

又平面，．

（2）连接，，连接，由（1）知：为中点，

，，

，，，，

则以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，

，，，，

设平面的法向量，

，令，解得：，，；

设平面的法向量，

，令，解得：，，；

，

即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

20．（12分）

如图，平面ABC，，，F为BC的中点，E为PC边上的一点．

（1）求异面直线BC与AE所成角的大小；

（2）若二面角的余弦值为，求此时三棱锥的体积．

【解析】（1）因为平面ABC，平面ABC，

所以，又，

所以，，所以平面，平面PAC，

则，即异面直线BC与AE所成角的大小为90°．

（2）根据题意，以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴，过点C作AP的平行线为z轴建系，

在中，由于，且，则，设点E到平面ABC的距离为，

则，又，，，，

得，，设平面的一个法向量为，

得，令，可得，，即．

平面ACF的一个法向量，设的平面角为，则，

所以，得，

即点到平面的距离为1，又因为，

所以，

故三棱锥的体积为．

21．（12分）

如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【解析】（1），为的中点，，侧面底面，侧面底面，平面，平面；

（2）

底面为直角梯形，其中，，，，又平面，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，易得平面的法向量，，，设平面的法向量，则，取，得，设二面角夹角为，则，则，二面角的正弦值为；

（3）设线段上存在，使得它到平面的距离为，，到平面的距离，解得或（舍去），则，则．

22．（12分）

如图，在六面体中，是等边三角形，二面角的平面角为30°，．

（1）证明：；

（2）若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面所成角的正切的最大值．

【解析】（1）证明：取中点，连接，

因为，所以，且，

所以平面，

又平面，所以．

（2）连接，则，由，可得，

于是，所以，

又，所以平面，

以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，

由，可得，

平面的法向量为，

设，则，

设与平面所成角为，

则，

令，则，

令，由对称轴知，当，即时，，

，于是

直线与平面所成角的正切的最大值为2．