第二章 平面解析几何之圆锥曲线的方程（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教B版2019）

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班级              姓名             学号             分数           第二章 平面解析几何之圆锥曲线的方程（B卷·能力提升练）（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】抛物线的顶点为，焦点为，设符合题意，则有，即，解得，所以符合条件的点为，故选：D2．双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（    ）A． B． C．32 D．42【答案】A【解析】根据、为双曲线的两焦点可得，又直线、倾斜角之差为，所以，根据余弦定理可得，整理得①，根据点P在双曲线上可得，则②，①-②得，，则面积为.故选：A.3．椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】易得．设，，则．在中，由余弦定理得，即，则，所以．设点到轴的距离为，则，故，解得．故选：C．4．如图，、是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是、在第一象限的公共点，设的方程为，则下列命题中错误的是（    ）．A．B．的内切圆与x轴相切于点（1，0）C．若，则的离心率为D．若，则椭圆方程为【答案】A【解析】对于A：由可得，所以，即选项A错误；对于B：设的内切圆的圆心为I，且圆与边、、相切于N、M、K，可得，，，又因为，所以，又，解得，．可得M的横坐标为1，即I的横坐标为1，即选项B正确；对于C：在椭圆中，，，则．由，得 ，解得a＝3．则的离心率，即选项C正确；对于D：因为，，则，．若，则．又c＝2，，解得，．则椭圆的方程为，即选项D正确．故选：A.5．已知，，，以为一个焦点作过，的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得，，，因为，都在椭圆上，所以，所以，故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支，又因为，，即，，所以，因此的轨迹方程是．故选：A．6．已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由椭圆的定义得，又∵，∴，，而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，即，即，则，即.故选：D．7．椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，，又,，，，，则，即线段的长度的取值范围是，故选：C8．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则．又，所以当四边形的面积最小时，最小．过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，当点与坐标原点重合时，最小，此时．故．故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列方程的图形为抛物线的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A，方程化为表示点到定点的距离与到定直线的距离相等，且定点不在定直线上，原方程表示的图形是抛物线，A是；对于B，方程表示点到定点的距离与到定直线的距离相等，而定点在定直线上，原方程表示的图形不是抛物线，B不是；对于C，方程表示点到定点的距离与到定直线的距离相等，且定点不在定直线上，原方程表示的图形是抛物线，C是；对于D，方程化为，方程表示的图形是抛物线，D是.故选：ACD10．如图，记椭圆，内部重叠区域（阴影部分）的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列四个结论中正确的是（    ）A．P到，，，四点的距离之和必为定值B．曲线C关于直线，均对称C．曲线C所围区域的面积必小于36D．曲线C的总长度必大于【答案】BCD【解析】对A，设，分别是椭圆的左、右焦点，，分别是椭圆的上、下焦点，则，，，，当时，不是定值，A错误；对B，用替换椭圆方程中的得，反之亦然，因此两个椭圆关于直线对称，同理，它们也关于直线对称，因此曲线C关于直线，对称，B正确；对C，由椭圆方程知，曲线C在直线，围成的正方形内部，而正方形的面积为，故曲线C所围区域的面积必小于36，C正确；对D，由椭圆的性质可知，曲线C上的点到原点距离的最小值为3，曲线C在以原点O为圆心，3为半径的圆的外部，而圆的周长为，因此曲线C的周长必大于，D正确．故选：BCD．11．已知的两个顶点的坐标分别是，，且所在直线的斜率之积等于，则下列说法正确的是（    ）A．当时，点的轨迹是双曲线B．当时，点的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去两个顶点）C．当时，点在圆（除去点，）上运动D．当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大【答案】BC【解析】设，则．当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线（除去两个顶点），A错误，B正确；当时，方程为，则点C在圆（除去点，）上运动，C正确；当时，方程表示焦点在y轴上的椭圆（不含左、右顶点），则离心率，此时e随着m的增大而减小，D错误．故选：BC．12．设双曲线的两个焦点分别是，，以线段为直径的圆交双曲线于A，B，C，D四点，若A，B，C，D，，恰为正六边形的六个顶点，则下列说法正确的是（    ）A． B．四边形ABCD的面积为C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为【答案】ABC【解析】不妨设点为左焦点，如图所示，因为，，所以，又，所以，A正确；根据对称性，可知四边形ABCD为矩形，又，，所以四边形ABCD的面积为，B正确；由双曲线的定义可得，即，则离心率，C正确；因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，D错误．故选ABC．一题多解对于A选项还可以如下求为圆的直径，点B在圆上，则，故A正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有______个．【答案】4【解析】当点A在圆M外时，连接QA，因点Q在线段PA的中垂线上，如图，则，有，因此点Q的轨迹是以点M，A为两焦点，实轴长为4的双曲线；当点A在圆M内（除圆心M外）时，连接QA，因点Q在线段PA的中垂线上，如图，则，有，因此点Q的轨迹是以点M，A为两焦点，长轴长为4的椭圆；当点A与圆心M重合时，有PM与PA重合，则线段PA的中垂线与PM交点Q是线段PM中点，即，因此点Q的轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆；当点A在圆M上时，圆M上点P与A不重合，弦PA的中垂线过圆心M，即线段PA的中垂线与PM交点Q是点M，因此点Q的轨迹是点M，所以所有可能的结果有4个.故答案为：414．如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为_______．【答案】【解析】如图，连接.设（），则.因为，，所以，.在中，，所以，即，整理得，所以，所以直线的斜率为．故答案为：-2.15．如图，已知点F为抛物线的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则的面积S的取值范围为______．【答案】【解析】由抛物线可得焦点，准线方程为，，设，，直线AB的方程为，由，可得，则，，所以，直线AB的一般方程为，点到直线AB的距离，所以，所以的面积S的取值范围为，故答案为：16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点是双曲线上一点连接，过点作交双曲线于点B，且，则______．【答案】5【解析】由点是双曲线上一点和双曲线的离心率为，得，解得，所以，c＝2，所以，．所以直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为．p设直线的倾斜角为，则，所以，即，因为，为锐角，所以．连接，在中，由余弦定理得，又，所以，所以．故答案为：5四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）已知一个半径为的圆的圆心在抛物线上，该圆经过坐标原点且与C的准线l相切.过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A，B两点，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线，与直线OA，OB，l分别相交于P，Q，N三点.(1)求抛物线C的方程；(2)当时，求直线AB的方程.【解析】（1）设圆的圆心坐标为，可得.易知抛物线的焦点为，准线方程为，由题意得，解得（负值舍去），则抛物线C的方程为.（2）由（1）知，设直线AB的方程为，与抛物线的方程联立，可得，，，则，，，则AB的中点M的坐标为，易知，故，直线OA的方程为，即，直线OB的方程为，即，令，可得，，则，即，解得，所以直线AB的方程为，即或.18．（12分）已知椭圆的半焦距为，且长轴长是短轴长的2倍.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程.【解析】（1）因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以，即，所以，所以，即，所以，即离心率为（2）由（1）可知椭圆的方程为，由题意得，圆心是线段的中点，且，由题意可知直线的斜率存在，所以设直线的方程为，设，由，得，则，，因为，所以，解得，所以，所以，解得，所以椭圆的方程为.19．（12分）已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦长为8．(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线和y轴的距离之和的最小值．【解析】（1）设圆心的坐标为，则半径，又因动圆在y轴上截得的弦长为8，所以，化简得，即动圆圆心的轨迹C的方程为；（2）如图，设轨迹C的焦点为F，点P到直线的距离为，到y轴的距离为，F到直线的距离为，由抛物线的定义，可知，所以，由图可知的最小值为F到直线的距离，所以，所以的最小值为．20．（12分）设点、分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0．(1)求椭圆C的方程；(2)设定点，已知过点且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求m的取值范围．【解析】（1）设，则有，，，，由题意可得，解得或（舍去），所以，所以椭圆C的方程为．（2）由（1）得，设的方程为，代入，消元整理得，设、，则，，所以，设的中点为，则，因为，所以，即，所以，所以，因为直线不与坐标轴垂直，所以，所以，解得．21．（12分）已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．(1)求双曲线的方程；(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．【解析】（1）设直线的方程为，联立，得，又，，代入上式得，即，∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．（2）当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立得，∴，，∴直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，两边平方得，又，满足，∴，∴，∴，或，（舍去）综上，在定直线上，且定直线方程为．22．（12分）已知椭圆的离心率为，半焦距为，且．经过椭圆的左焦点F，斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程；(2)当时，求的值；(3)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为，求证：为定值．【解析】（1）由题意，得解得∴，故的方程为．（2）由（1）知，∴直线AB的方程为，由即，设，，则，，∴．设O点到直线AB的距离为d，则．∴．（3）设AB直线方程，设，，，，由由定比分点坐标公式：，由于A，C满足椭圆方程，故得两式作差得③，将①②代入③可得，和①进行联立，即，解得：由同理可得，∴，故．