第五章 数列（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教B版2019）
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第五章 数列（B卷·能力提升练）
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）设是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意的正整数n，”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】由已知可得，，则.
当时，，显然符号不确定，所以不能推出成立；
由可得，，所以，显然有.
所以，“”是“对任意的正整数n，”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2023·广东深圳·高二统考期末）设等差数列的前项和为，若，且，则的公差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，则，
因此，等差数列的公差为.
故选：B.
3．（2023·山西临汾·高二统考期末）在等差数列中，，则（ ）
A．16 B．8 C．10 D．14
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，，所以，
所以.
故选：A
4．（2023·陕西汉中·高二统考期末）已知数列中，，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，且，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以的前项和为：．
故选：B．
5．（2023·山西临汾·高二统考期末）已知数列满足，且，若，则下面表述正确的是（ ）
A．为等差数列，为等比数列
B．为等差数列，为等比数列
C．为等差数列，为等比数列
D．为等差数列，为等比数列
【答案】B
【解析】由可得，即，且，
则数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则；
又，则有，
所以，
所以，
又满足上式，故，则为等比数列；
所以（定值），故为等差数列.
由可得，所以，故不为等差数列，
故选：B
6．（2023·广东广州·高二统考期末）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板（ ）
A．1125块 B．1134块 C．1143块 D．1152块
【答案】B
【解析】记从中间向外每环扇面形石板数为，是等差数列，且公差为，，
设每层有环，则，，
是等差数列，则也成等差数列，
所以，
所以，，
故选：B．
7．（2023·湖北·高二统考期末）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．若第1个图中的三角形的周长为1，记第n个图形的周长为，为数列的前n项和，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意,当时，第1个图中的三角形的边长为，三角形的周长为；
当时，第2个图中“雪花曲线”的边长为，共有条边，
其“雪花曲线”周长为；
当时，第3个图中“雪花曲线”的边长为，
共有条边，其“雪花曲线”周长为，
…，，所以.
于是①
②
由①-②，得，
则．
故选：A.
8．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）在正项数列中，，，记．整数满足，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，又因为，所以，
所以，
因为，，
整数满足，所以，
的前120项和为
.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·浙江舟山·高二统考期末）已知是正项等差数列，首项为，公差为，且，为的前n项和（n∈），则（ ）
A．数列是等差数列 B．数列{}是等差数列
C．数列是等比数列 D．数列{}是等比数列
【答案】AC
【解析】由题意得，.
因为数列是等差数列，，所以数列是等差数列，故A正确；
当时，，，因为，所以数列{}不是等差数列，故B错误；
因为，所以数列是等比数列，故C正确；
当时，，，数列{}不是等比数列，故D错误，
故选：AC.
10．（2023·广东深圳·高二统考期末）已知公差为d的等差数列，其前n项和为，且，，则下列结论正确的为（ ）
A．为递增数列 B．为等差数列
C．当取得最大值时， D．当时，d的取值范围为
【答案】BD
【解析】对A，，即，，
即，，则，而，故，
故为递减数列，故A错误；
对B，设的首项为，则，
，故数列是以为首项，公差为的等差数列，故B错误；
对C，由A知，即，则，而，即，
则，而，当取得最大值时,，故C错误；
对D，当时，由A知，，即，
即，解得，故D正确.
故选：BD.
11．（2023·湖南益阳·高二统考期末）已知两个等差数列、的前项和分别为和，且，则使得为整数的的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由等差中项以及等差数列求和公式可得，
又因为，.
故选：ACD.
12．（2023·湖北咸宁·高二统考期末）若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为，则 （ ）
A． B．是奇数
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由，且，可得斐波那契数列：，，，，，，，，故故A正确；
对于B：由斐波那契数列：，，，，，，，，，，，，
可得每三个数中前两个为奇数，后一个偶数，且，所以是奇数，故B正确；
对于C：因为，
相加可得：，故C错误；
对于D：因为斐波那契数列总满足，且，
所以，
，
，
类似的有，，
其中
累加得，
，
故：，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）设是等差数列的前项和，若，则______.
【答案】
【解析】由等差数列的求和公式可得.
故答案为：.
14．（2023·广东广州·高二统考期末）在各项均为正数的等比数列{}中，若，则_________．
【答案】2
【解析】等比数列各项均为正数，
∴，（负值舍去）
故答案为：2.
15．（2023·安徽六安·高二六安一中校考期末）设等差数列的前项和为，且，，则当______时，最大．
【答案】1011
【解析】因为为等差数列，所以，即；
同理由可得，所以，所以当时，最大．
故答案为：1011.
16．（2023·浙江舟山·高二统考期末）在数列中，，（n∈），若，则当取得最小值时，整数的值为___________.
【答案】4
【解析】，，，
，，，
，
又，则当取得最小值时，整数的值为4.
故答案为：4.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·湖南益阳·高二统考期末）已知等差数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，由于，则，
解得：，所以，，
所以，数列的通项公式为．
（2）由（1）知，则,
所以，．
18．（12分）
（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列，前n项和为，且满足，，，，，等比数列中，，且，成等差数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记为区间中的整数个数，求数列的前n项和．
【解析】（1），，，
即，，，
故为等差数列，设公差为，
故，，
解得：，，
所以，
设等比数列的公比为，，
因为，成等差数列，所以，
即，与联立得：或0（舍去），
且，故，
（2）由题意得：为中的整数个数，
故，
所以
.
19．（12分）
（2023·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）已知数列满足.
(1)若数列满足，求及的通顼公式；
(2)数列的前项和.
【解析】（1）由题意可得：，即，
∵，即，
可得：，且，
故数列是以首项为4，公比的等比数列，
故，即.
（2）由题意可得：，
故
，
故.
20．（12分）
（2023·陕西汉中·高二统考期末）等比数列的各项均为正数，且，设.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，求证：数列的前项和.
【解析】（1）设等比数列的公比为，则，
由题意得，解得，
；
（2）由题意，，
21．（12分）
（2023·湖南·模拟预测）已知数列的前项和为，，当时，．
(1)求
(2)设，求数列的前项和为．
【解析】（1）当时，，所以，，
整理得：，即．
当时，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即．
（2）由知，所以，
所以，
所以，
由得，，
所以.
22．（12分）
（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知数列的各项均为正数，其前n项和满足，n∈N*．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若对任意n∈N*恒成立，求a1．
【解析】（1）证明：因为，，所以①，
当时，②，则①-②得：，因为，
所以，整理得：，即，所以数列是等比数列；
（2）由于，则当时，，整理得，
所以等比数列的公比，
则，，
若，因为，则，所以对任意恒成立，
又数列单调递增，所以，即，
则，所以，即.
