【新题速递】人教版数学9年级下册第4期01

这是一份【新题速递】人教版数学9年级下册第4期01，共28页。
人教9下·数学



【新题速递】人教版数学9年级下册
第4期 01
一、单选题
1．（2023年广东省梅州市兴宁县中考一模数学试题）无理数的估值最接近于有理数（    ）
A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.4
2．（2023年广东省梅州市兴宁县中考一模数学试题）下列有关科学记数法的理解一定正确的是（    ）
A． B． C． D．为整数
3．（2023年河南省周口市太康县中考一模数学试题）人们常用“一刹那”这个词来形容时间极为短暂，按古印度《僧只律》（又有资料为《倡只律》）解释：一刹那即为一念，二十念为一瞬；二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预；二十罗预为一须叟，一日一昼为三十须叟．照此计算，一须叟为48分钟，一罗预为144秒，一弹指为7.2秒，一瞬为0.36秒，一刹那为0.018秒．则一天24小时有（　　）
A．8×104刹那 B．4.8×106刹那
C．4.8×105刹那 D．4.8×107刹那
4．（2023年广东省梅州市兴宁县中考一模数学试题）已知两个多项式，，
①若时，则有或4；
②若a为整数，且为整数，则或5；
③当时，若，则；
④若当式子中a取值为与时，对应的值相等，则m的最大值为．
以上结论正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2023年浙江省温州市永嘉县中考一模数学试题）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形，记的面积为，四边形的面积为．若，，，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
6．（2023年安徽省合肥市第四十六中学中考一模数学试卷）随着“美丽乡村”建设的推进，乡村旅游成为热门．某地积极宣传和推广“吃农家饭，品农家菜，干农家活”乡村体验式旅游项目，去年该地旅游产业获利50万元，若计划明年旅游产业获利72万元，那么该地这两年旅游产业获利的年平均增长率应达到（    ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023年北京市海淀区理工大学附属中学中考零模数学试卷）为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为，，，，，的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下：
大礼包编号
一等奖（个）
二等奖（个）
三等奖（个）
总奖品数（个）

1
5
4
10

2
3
3
8

3
1
4
8

4
2
5
11

5
1
3
9

3
4
5
12
该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案____________（写出要购买的大礼包编号）
8．（2023年江苏省苏州工业园区中考一模数学试题）根据图中父女两人的微信聊天记录，可知父亲购买无人机的预算为______元．

9．（2023年四川省成都市高新区中考一模数学试题）如图，抛物线与轴交于两点，抛物线上点的横坐标为，点坐标为，连接，点为平面内任意一点，将绕点旋转得到对应的（点的对应点分别为，，），若中恰有两个点落在抛物线上，则此时点的坐标为______（点不与点重合）

三、解答题
10．（2023年安徽省安庆市中考一模数学试卷）我国航天事业的飞速发展引发了航空航天纪念品的热销，某商店准备购进甲、乙两类关于航空航天的纪念品进行销售.已知甲类纪念品的进价为m元/件，乙类纪念品的进价比甲类的进价多5元/件.若每件甲类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了，每件乙类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了，根据上述条件，回答下面问题：
(1)请用含有m的代数式填写下表：

进价/元
售价/元
甲类纪念品
m

乙类纪念品


(2)该商店分别购进甲类纪念品100件，乙类纪念品80件.两类纪念品全部售出后所得的总利润为1080元，问每件甲、乙两类纪念品进价分别多少元？
11．（2023年广东省广州市荔湾区中考一模数学试题）已知．
(1)化简；
(2)若，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，求的值．
12．（2023年湖南省娄底市涟源市中考一模数学试卷）直播带货已经成为年轻人的购物时尚．为回馈粉丝，直播带货达人甜甜姐推出促销措施，在她的直播间按市场价购买火狐狸服装，均可到线上客服处领取的补贴．粉丝丽丽因此购买了一件皮衣和一件毛衣，共花去元，已知皮衣单价比毛衣单价的2倍还多元．
(1)丽丽所买皮衣与毛衣的单价各是多少元？
(2)丽丽可以到线上客服处领取多少元补贴？
13．（2023年广东省梅州市兴宁县中考一模数学试题）洪崖洞是重庆的网红打卡地，在该景点有一旅游纪念品专卖店，最近一款印有洪崖洞3D图案的书签销售火爆，该专卖店第一次用800元购进这款书签，很快售完，又花1400元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了0.5元，且第二次购进的数量是第一次的2倍．
(1)求该商店两次购进这款书签各多少个？
(2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于季节的影响，游客量减少，专卖店决定将剩下的书签打八折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于2472元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？
14．（2023年陕西省渭南市韩城市中考一模数学试卷）年月日是第三十一届“世界水日”，月—日是第三十六届“中国水周”．在此期间，某校举行了主题为“强化依法治水，携手共护母亲河”的水资源保护知识宣传活动．学校为表彰在此次活动中表现突出的学生，购买了个笔袋，个笔筒，个圆规作为奖品，共花费元．已知每个笔袋比每个圆规贵元，每个笔筒的单价是每个圆规单价的倍．求圆规的单价是每个多少元？
15．（2023年广东省梅州市兴宁县中考一模数学试题）兴宁县有一间名为“韩国料理”的餐饮店，味美价廉，该店以“肥牛鸡排双拼饭”与“鳕鱼肥牛双拼饭”出名，每天吸引附近很多学生慕名而来．现已知“肥牛鸡排双拼饭”单价比“鳕鱼肥牛双拼饭”高5元，且用500元购买“肥牛鸡排双拼饭”与用400元购买“鳕鱼肥牛双拼饭”数量相同．
(1)求“肥牛鸡排双拼饭”与“鳕鱼肥牛双拼饭”的单价；
(2)经过市场调研发现，以（1）中的单价出售“肥牛鸡排双拼饭”每天可以出售80份，若每份售价提高1元时，每天出售份数少3份，设每份售价提高x元且x为整数，y为每天的营业额，求y关于x的函数解析式以及营业额y的最大值．
16．（2023年江苏省无锡梁溪区中考一模数学试题）春夏之交正是农业用水高峰期，某地水利站有两台泵机实施调水作业．如果单开泵机，可以正好在预定时间内完成，总费用为1920元；如果单开泵机，则要比预定时间多4天，总费用为2240元．水利站经过测算，如果两台泵机同时开启3天，然后由泵机单独完成余下的调水作业，这样也能正好在预定时间内完成．
(1)两台泵机平均每天费用分别是多少元？
(2)水利站接到上级部门要求提前3天完成调水作业，请问如何安排两台泵机作业才能完成任务？花费最少是多少元？（注：不足一天按照一天计算费用．）
17．（2023年河南省郑州外国语中考一模数学试题）瓦岗红薯是河南省驻马店市确山县瓦岗镇的特产．瓦岗红薯因个头大、外型好、营养丰富、皮薄心红、肉丝细腻、味道香甜、易存放等特点备受人们的青昧．郑州市某超市打算试销A、B两个品种的瓦岗红薯，拟定A品种每箱售价比B品种每箱售价贵25元，且已知销售3箱B品种和2箱A品种的总价为550元
(1)问A品种与B品种每箱的售价各是多少元？
(2)若B品种每箱的进价为80元，A品种每箱的进价为100元现水果店打算购进B品种与A品种共21箱，要求所花资金不高于1960元，则该超市应如何设计购进方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
18．（2023年河南省周口市太康县中考一模数学试题）随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．
(1)求A、B两种羽毛球拍每副的进价；
(2)若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？
(3)若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
19．（2023年山西省实验中学中考考前适应性训练数学试题）（1）计算：．
（2）课堂上，老师设计了“接力游戏”，规则：一列同学每人只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集．请根据下面的“接力游戏”回答问题．
接力游戏老师
甲同学
乙同学
丙同学
丁同学
戊同学
任务一：①在“接力游戏”中，乙同学是依据________进行变形的．
A．等式的基本性质
B．不等式的基本性质
C．分式的基本性质
D．乘法对加法的分配律
②在“接力游戏”中，出现错误的是________同学，这一步错误的原因是________．
任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，针对解不等式时还需要注意的事项给同学们提一条建议．
20．（2022年江西省新余市第一中学中考数学模拟试卷）如图1所示是某机场的平地电梯，其示意图如图2所示，电梯的长度为120米，若两人不乘电梯在地面匀速行走，小明每分钟的路程是小红的倍，且1.5分钟后，小明比小红多行走30米．

(1)求两人在地面上每分钟各行走多少米；
(2)若两人在平地电梯上行走，电梯以30米/分钟的速度向前行驶，两人保持原来在地面上匀速行走的速度也同时在电梯上行走．当小明到达B处时，小红还剩多少米才到达B处？
21．（2023年山东省潍坊市潍城区、寒亭区、坊子区、奎文区中考一模数学试题）
【问题背景】图中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，图A、B都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．请参照下面的探究过程，完成相应的问题．

(1)【观察发现】当内部有1个点时，格点多边形边上的点数和面积统计如表．


C
D
E
F
边上的点数x
4
8
8
9
多边形面积S
2
4
4

请完成表格，并归纳S与x之间的关系式为：______．
(2)当多边形内部有2个点时，在如图的格点图中，自己画两个格点多边形，然后将所画图形边上的点数和面积填写在下面的表格中．


图1
图2
边上的点数x


多边形面积S


归纳S与x之间的关系式为：______．
(3)【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，格点多边形的面积为S．试用含x，y的代数式表示S，并用所得规律求出【问题背景】中图形A的面积．
(4)【拓展应用】一个格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，求出x与y的值．在图中，设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形．

22．（2023年山东省潍坊市潍城区、寒亭区、坊子区、奎文区中考一模数学试题）某服装销售商用48000元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元．
(1)该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？
(2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10元，则多卖出20件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应为多少？
23．（2023年四川省成都市高新区中考一模数学试题）某文具店经销甲、乙两种笔记本，每次购买同一种笔记本的单价相同，购进笔记本的具体信息如下表：
进货批次
甲种笔记本数量（单位：本）
乙种笔记本数量（单位：本）
购买总费用（单位：元）
第一次



第二次



(1)求甲、乙两种笔记本的购买单价；
(2)若第三次计划用不超过元购买甲、乙两种笔记本共本，求至少购买甲种笔记本多少本？
24．（2023年浙江省温州市永嘉县中考一模数学试题）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1
某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2
某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数．
素材3
学校花费400元后，文具店赠送m张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．

问题解决
任务1
探求商品单价
请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2
探究购买方案
探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
任务3
确定兑换方式
运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式．

25．（2023年广东省郁南县宋桂镇初级中学初中数学学业水平考试模拟试卷）近年来，预制菜消费持续升温，它既满足了消费者的需要，也不断拓展着饮食行业的发展．某餐饮平台计划推出A和B两种预制菜品，已知售出1份菜品A和2份菜品B可获利35元，售出2份菜品A和3份菜品B可获利60元．
(1)求每份菜品A、B的利润；
(2)根据销售情况，该餐饮平台每日都能售完A、B两种菜品共1000份，且菜品A的数量不高于菜品B数量的，应该如何进货才能使总利润最高？最高利润是多少？
26．（2023年安徽省安庆市中考一模数学试卷）某公司生产的一种季节性产品，其单件成本与售价随季节的变化而变化.据调查：

①该种产品一月份的单件成本为6.6元/件，且单件成本每月递增0.2元/件；
②该种产品一月份的单件售价为5元/件，六月份的单件售价最高可达到10元/件，单件售价y（元/件）与时间x（月）的二次函数图象如图所示.
(1)求该产品在六月份的单件生产成本；
(2)该公司在哪个月生产并销售该产品获得的单件收益w最大？
(3)结合图象，求在全年生产与销售中一共有几个月产品的单件收益不亏损？（注：单件收益=单件售价-单件成本）
27．（2023年天津市南开区中考一模数学试题）抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为D，与x轴相交于点，是y轴上的一个定点．
(1)若，且抛物线过定点M，求抛物线解析式和顶点D的坐标；
(2)已知抛物线的顶点D在x轴上方，且点D在直线上．
①若，求抛物线解析式和顶点D的坐标；
②若点E是直线上的动点，点F是x轴上的动点，当的周长的最小值时，直接写出抛物线的顶点D的坐标．
28．（2023年广东省梅州市兴宁县中考一模数学试题）备战2023年中考数学全真模拟卷（重庆专用））如图，在边长为4cm的正方形中，O是的中点，动点P从A点出发沿折线A﹣B﹣C运动，到达C点就停止．过P点作射线．设P点运动路程为，射线扫过正方形内部的面积为．

(1)分别就P点在边、边上运动时，求出y与x的函数关系式；
(2)在平面直角坐标系中画出（1）中的函数图象；
(3)写出该函数图象的一条性质．
29．（2023年广东省梅州市兴宁县中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，有一矩形，连接、，已知点B的坐标为．
ⅰ：如题图1所示，反比例函数，点P为反比例函数上一动点，设．

(1)连接，，当时，求与t的函数关系式；
(2)若点P满足，求满足该条件的P点个数；
ⅱ：如题图2所示，以点B为圆心，作一个与AC相切的，过点O作的切线，切点T位于左上方；
(3)试问直线与直线是否垂直，若垂直，请给出证明：若不垂直，请说明理由．
30．（2023年浙江省温州市龙港中考一模数学试题）根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1
我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图2所示，其中支架，．

素材2
已知大棚共有支架根，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），现有改造经费元．

问题解决
任务1
确定大棚形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
尝试改造方案
当米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3
拟定最优方案
只考虑经费情况下，求出的最大值．


参考答案
1．B
2．B
3．B
4．C
5．D
6．C
7．各买一个（答案不唯一）
8．2000
9．或
10． （1）解：∵甲类纪念品的进价为m元/件，乙类纪念品的进价比甲类的进价多5元/件、若每件甲类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了，每件乙类纪念品的售价是在其进价的基础上提高了，
∴乙类纪念品的进价为元/件，每件甲类纪念品的售价是元/件，每件乙类纪念品的售价是元/件， 故可填写下表：

进价/元
售价/元
甲类纪念品
m

乙类纪念品


（2）解：该商店分别购进甲类纪念品100件，乙类纪念品80件，两类纪念品全部售出后所得的总利润为1080元，
∵，
解得，，
（元），
答：每件甲、乙两类纪念品进价分别为10元和15元．
11． （1）解：


；
（2）∵，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，
∴，
∴，
∴．
∴的值为．
12． （1）解：设丽丽所买皮衣的单价是x元，毛衣的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：丽丽所买皮衣的单价是元，毛衣的单价是元；
（2）解：元，
答：丽丽可以到线上客服处领取元补贴．
13． (1)第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个
(2)售价至少为8元
14．解：设每个圆规的单价是元，则每个笔袋的单价是元，每个笔筒的单价是元，
根据题意得，    
解得，
答：圆规的单价是每个元．
15． （1）解：设“肥牛鸡排双拼饭”的单价为x元，“鳕鱼肥牛双拼饭”的单价为元，依题意得：
，
解得
经检验，为方程的解，
（元），
答：“肥牛鸡排双拼饭”的单价为25元，“鳕鱼肥牛双拼饭”的单价为20元．
（2）解：依题可知：


，
∵，
∴该函数为开口向下的二次函数，在对称轴上取得最大值，其对称轴为直线，
∵自变量x为整数，
∴当时取得最大值为：（元），
答：该函数为，在时营业额取得最大值为2002元．
16． （1）解：设预定完成工作任务的时间为天，则单开泵机需要天完成，单开泵机需要天完成，
由题意可得 ，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
所以，泵机平均每天费用是元，
泵机平均每天费用是元；
（2）设泵机工作天，泵机工作天（其中，）总费用为元，
由题意可得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最小值，最小值为元，
此时天，
∴泵机工作9天，泵机工作4天，总费用为最少为2000元．
17． （1）设B品种与A品种每箱的售价分别是x元、y元．
根据题意，得
解得
答：B品种与A品种每箱的售价分别是100元，125元．
（2）设B品种购进a箱，则A品种购进箱．
∵要求所花资金不高于1960元，
∴，
解得．
设利润为w元．
根据题意，得，
∴w随a的增大而减小
∴当时，w取得最大值，此时，此时．
答：购进B品种7箱，A品种14箱时，利润最大，最大利润是490元．
18． （1）解：设A种羽毛球拍每副的进价为x元，
根据题意，得，
解得，经检验是原方程的解，
（元），
答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；
（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，
根据题意，得，
解得，m为正整数，
答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副；
（3）设总利润为w元，
，
∵，
∴w随着m的增大而增大，
当时，w取得最大值，最大利润为（元），
此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍（副），
答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．
19． 解：（1）

；
（2）任务一：①在“接力游戏”中，乙同学是依据乘法对加法的分配律进行变形的，
故选：D；
②在“接力游戏”中，出现错误的是戊同学，这一步错误的原因是x的系数化为1时，不等式两边同时乘以，不等式方向未改变；
故答案为：戊；x的系数化为1时，不等式号方向未改变；
任务二：解一元一次不等式需要注意移项时注意变号．不等式两边同乘或（除以）同一负数，不等号方向要改变．
20． （1）解：设小红每分钟行走米，则小明每分钟行走米，
依题意得：，
解得：，
则．
答：小红每分钟行走50米，小明每分钟行走70米；
（2）解：


（米）．
答：当小明到达处时，小红还剩24米才到达处．
21． （1）观察表格，当时，；
当时，；
∴多边形的面积＝边上的点数的一半，即，
∴当时，，
故答案是：4.5，；
（2）（答案不唯一）

图1
图2
边上的点数x
6
7
多边形面积S
4
4.5
观察表格，当时，；
当时，；
∴多边形的面积＝边上的点数的一半加上1，即，
故答案是：6，7，4，4.5（答案不唯一）；
（3）设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，则格点多边形的面积为，
∵A图形中，，，
∴，
即A图形中的面积为11.5；
（4）由题意，得，
解之得．
设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形如图所示，
（答案不唯一）
22． （1）设每件进价元
∴，
解得：，
经检验，是方程的解，
∵，
∴第一次购金了这种服装件，
答：第一次购进了这种服装件，每件进价元．
（2）设销售价为元/件，
∴每天销售量为，
∴，
整理得：，
解得：，（舍），
∴．
∴销售价定为元/件．
23． （1）解：设甲种笔记本的进价为元/本，乙种笔记本的进价为元/本，
由题意得：，
解得：，
答：甲种笔记本的单价为元/本，乙种笔记本的单价为元/本．
（2）设甲种笔记本购买本，乙种笔记本购买本，
由题意得：，
解得：，
答：至少购买甲种笔记本本．
24． 任务1：
解：设笔记本的单价为x元，根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
这时．
∴笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：
解：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据题意，得，化简得，
由题意，，，且b是10的倍数，
∴，，，
∴可购买钢笔30支，笔记本20本；或购买钢笔25支，笔记本30本；或购买钢笔20支，笔记本40本．
任务3：
解：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有y张兑换券兑换钢笔，根据题意，得
，整理得，
∵，且，y均为正整数，
∴经尝试检验得，
∴文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．（答案不唯一）
25． （1）解：设每份菜品A的利润为元，每份菜品B的利润为元，
根据题意，可得：，
解得：，
∴每份菜品A的利润为元，每份菜品B的利润为元；
（2）解：设菜品的数量为份，则菜品的数量为份，总利润为，
∵菜品A的数量不高于菜品B数量的，
∴可得：，
解得：，
总利润为，
当，时，利润最大为，
∴当菜品的数量为份，菜品的数量为份时，总利润最高为元．
26． （1）由题意知：该种产品的单件成本n与月份x之间的关系满足：，当时，，可得.
∴六月份的单件生产成本为：（元）
（2）设单件售价y与月份x之间的函数关系式为：，
∵时，
∴，解得：.
所以单件收益，
配方得：，
当x=5或6时，，
所以该企业在5月份或6月份生产并销售该产品获得的单件收益最大
（3）单件收益不亏损需满足：，
由，得，即或，
结合图象可知：当时，，
即全年一共有8个月单件收益不亏损.
27． （1）解：当，且抛物线过定点时，，
把，代入其中，可得：，解得：，
∴，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）①由点D在直线上，设，
∵，
由两点之间距离公式可得：，
解得：，则，
∴，
则设抛物线解析式为：，代入，
可得：，解得：，
∴抛物线解析式为：；
②作点分别关于直线，轴的对称点，，连接，，，
则，，
∴的周长，当，，，在同乙直线上时取等号；

即：的周长的最小值为，亦即，
连接点与对称点、，交对称轴于，轴于，过点作，交于，过点作，
由可知，当时，，即：，
由题意可知，，则，，为等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴，  
则由轴对称可知，，轴，且，，
则为等腰直角三角形，，，
设，则，，
，即，
∵，
∴，  
又∵，
∴，即：，，
∴，，
∴，
由勾股定理可得：，  
即：，整理得：，
解得：（负值舍去），
∴，则，
∴，
∴点的坐标为．
28．(1)
（2）解：图象如图所示：

（3）解：当时，函数取得最小值0；当时，函数取得最大值12．
29． （1）当时，点P位于直线上方，如图所示，过点P构造矩形，

依题意可知， ，，
，
，
，
，
；
（2）依题意可知即，
为直角三角形，且，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴该方程有2个解，且，即对应两个P点，
满足该条件的P点个数为2个；
（3）直线与直线不垂直，理由如下：
如图所示，记与相切点G，连接，则，记交于点K，

，
∵，
∴，
∴，
∴，
四边形为矩形，
，
为等边三角形，
，
若成立，则，
，
，
，
∵，，且与相切，
，
，
，
不成立，即直线与直线不垂直．
30． 解：（1）如图，以为原点，建立如图1所示的坐标系，
∴，，
∴设抛物线解析式为，
∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，将代入解析式得，，
∴．

（2）如图，建立与（1）相同的坐标系，
∵，
∴为，
∵改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为，
将代入解析式得，
∴，
∴为，为，
∴，
∴共需改造经费，
∴能完成改造．

       图2
（3）如图2，设改造后抛物线解析式为，
则为，为，
∴，
由题意可列不等式，，解得，
∵，
∴时，的值最大，为米．