2023年中考复习存在性问题系列 角的2倍（一半）存在性问题专题探究试卷

2023年中考复习存在性问题系列

              角的2倍（一半）存在性问题专题探究

角的2倍（一半）存在性问题作为压轴题目，利用了“分类讨论思想”，“方程思想”“三角函数”“等腰三角形性质”，要比单纯的几何证明角的2倍（一半）难度要大得多，因此近些年中考真题中2倍角的探究问题备受命题者青睐，现尝试性地总结一下2倍角存在性问题的通用解法，以供大家参考.

解题攻略

1.   【基本概念】

2倍角相等问题在坐标系中可以由以下几种方式得到：

（1）等腰三角形两底角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和

（2）平行线的性质；

（3）相似三角形对应角相等；

（4）等角三角函数相等。

2.【基本题型】

   利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，等腰三角形两底角相等，转化为等角问题。

3.【解题思路】

常寻找相等角，转化为角相等的问题

（一）.二倍角的构造方法

如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则.

这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。

（二）半角的构造方法

如图，已知，构造半角可以用下面两种方法：

方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图，延长CB至D，使得BD=BA，则，若AC、BC的长度已知，则容易求出tan∠D的值，从而进行相关计算。

方法二：如图，直接做的角平分线BE，若AC、BC的长度已知，则容易求出tan∠EBC的值。

典例剖析

一.  二倍角的问题

例1.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）连接、，设直线交线段于点，求的最大值；

（3）过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）在中，令得，令得，

，，

经过、两点，

，

解得，

抛物线的函数表达式为；

（2）过作轴交于点，过作轴交于于，如图：

在中，令，得，

解得，，

，

在中，令得，

，，

设，则，

，

轴，轴，

，

，，

，

，

，

，

当时，取最大值，最大值为；

（3）存在点，使得中的，理由如下：

过作轴，交轴于，交直线于，如图：

轴，

，

，

，

，

，

，

，即，

设，

，，

，，

，，

，

，

解得，

．

例2.如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，3），

∴，解得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2）解法一：作点B关于y轴的对称点B'，作射线B'C交抛物线于点D，

∵B的坐标为（4，0），

∴B'（﹣4，0），

∴直线B'C的解析式为：y＝x+3，

则﹣x2+x+3＝x+3，

解得：x1＝0（舍），x2＝2，

∴D（2，）；

如图1，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，则∠ECB＝∠ABC，

过点D作DH⊥CE于点H，则∠DHC＝90°，

∵∠DCB＝∠DCH+∠ECB＝2∠ABC，

∴∠DCH＝∠ABC，

∵∠DHC＝∠COB＝90°，

∴△DCH∽△CBO，

∴，

设点D的横坐标为t，则，

∵C（0，3），

∴，

∵点B是y＝﹣+x+3与x轴的交点，

∴，

解得x1＝4，x2＝﹣1，

∴B的坐标为（4，0），

∴OB＝4，

∴，

解得t1＝0（舍去），t2＝2，

∴点D的纵坐标为：，

则点D坐标为

二、半角问题

例3.如图，已知二次函数的图象经过点和点，的平分线分别交抛物线和轴于点，．点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线交直线于点，连接．

（1）求二次函数的解析式；

（2）当以点，，为顶点的三角形与相似时，求点的坐标；

（3）设点为直线上一点，若，请直接写出点的坐标．

【解答】解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得，解得，

故抛物线的表达式为①；

（2）过点作于点，

是的平分线，故，，

设，则，，

在中，，即，解得，

故点的坐标为，

由点、的坐标得，直线的表达式为②，

联立①②并解得，

故点的坐标为，；

①当为直角时，如图2，

则轴，

故点、关于抛物线对称轴对称，

故点的坐标为，；

②当为直角时，如图2，

过点作轴交过点与轴的平行线于点，

以点，，为顶点的三角形与相似，

则，

，

故设，则，

故点的坐标为，，

将点的坐标代入抛物线表达式得：，

解得，

故点的坐标为，；

综上，点的坐标为，或，；

（3）过点作的平分线交轴于点，过点作于点，

则，

设，则，，

在中，，即，解得，

则，

当点在轴的右侧时，

过点作于点，

由直线的表达式知，，

在中，，，，

则设，则，，

则，解得，

则，

设点的坐标为，

则，解得，

故点的坐标为；

当点在轴左侧时，

同理可得，点的坐标为，

综上，点的坐标为或

例4.如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．

问题：当t=1时，抛物线经过P、Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】

思路：三角函数构造相等角

t=1时，P点坐标为（1，0），Q点坐标为（3，2），

代入抛物线解析式，可求得抛物线：，

故顶点K的坐标为．

考虑要构造，过点K作KH⊥MQ交MQ于H点，则．

根据图形可求得，

故若，则，

故，

分别解得直线DQ解析式为或，

与抛物线联立方程：

，解得：，，

则对应D点坐标为；

，解得：，，

则对应D点坐标为．

综上所述，D点坐标为或．

变式训练

如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴与直线相交于点，连接，，判定的形状，并说明理由；

（3）在直线上是否存在点，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先根据直线经过点，，即可确定、的坐标，然后用待定系数法解答即可；

（2）先求出、的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形为等腰三角形；再结合得到，进一步说明，则即可判定的形状；

（3）作于，轴于，作的垂直平分线交于，于；然后说明为等腰直角三角形，进而确定的坐标；再求出的解析式，进而确定的解析式；然后联立直线和的解析式即可求得的坐标；在直线上作点关于点的对称点，利用中点坐标公式即可确定点的坐标．

【解答】解：（1）直线经过点，，

当时，可得，即的坐标为．

当时，可得，即的坐标为．

．

解得．

该抛物线的解析式为；

（2）为直角三角形，理由如下：

解方程，则，．

，．

抛物线的对称轴直线为，

为等腰三角形．

的坐标为，的坐标为，

，即．

，

，

．

．

为直角三角形；

（3）如图：作于，轴于，作的垂直平分线交于，于，

，

．

．

为等腰直角三角形．

．

．

设的函数解析式为．

，，

．

解得，．

的函数解析式为，

设的函数解析式为，

点的坐标为．

，

解得：．

的函数解析式为．

．

解得．

的坐标为；

在直线上作点关于点的对称点，

设，

则有：，解得．

．

的坐标为，．

综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为，，．

【点评】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图象、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．