初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程一课一练

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程一课一练，共13页。试卷主要包含了 根的判别式， 判别式的应用，不解方程，判别方程根的情况，解得k＜9， k=2，答案等内容，欢迎下载使用。
21.3  一元二次方程根的判别式1. 根的判别式：对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其变形为: (x+)2=因为a≠0，所以4a2＞0，这样一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由b2－4ac来判定。我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b2－4ac。一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，当=b2－4ac＞0时，有两个不相等的实数根；当=b2－4ac=0时，有两个相等的实数根；当=b2－4ac＜0时，没有实数根。上述性质反过来也成立。 2. 判别式的应用(1) 不解方程，判断方程的根的情况；(2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围；(3) 证明方程的根的性质；(4) 运用于解综合题。   
类型一、不解方程，判断下列方程根的情况例1、不解方程，判断下列方程根的情况
(1) 2x2－5x+10=0
(2) 16x2－8x+3=0
(3) (－)x2－x+=0
(4) x2－2kx+4(k－1)=0 (k为常数)
(5) 2x2－(4m－1)x+(m－1)=0 (m为常数)
(6) 4x2+2nx+(n2－2n+5)=0 (n为常数) 解析：①解这类题目时，一般要先求出⊿=b2－4ac，然后对⊿=b2－4ac进行化简或变形，使⊿=b2－4ac的符号明朗化，进而说明⊿=b2－4ac的符号情况，得出结论。对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方等。②应首先将关于x的方程整理成一般形式，再求⊿=b2－4ac。
③当⊿=b2－4ac≥0时，方程有实数根，反之也成立。    练习：不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)2x2+3x-4=0　              (2)ax2+bx=0(a≠0)    类型二、根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围；例2、已知关于x的方程x2－(m－2)x+m2=0
(1) 有两个不相等实根，求m的范围.
(2) 有两个相等实根，求m的值，并求此时方程的根.
(3) 有实根，求m的最大整数值. 解析：含有字母系数的一元二次方程根的情况由字母系数决定，而字母系数的取值范围由⊿=b2-4ac的不同情况求得。   
练习1：已知方程ax²+4x-1=0,则（1）当a取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）当a取何值时，方程有两个相等的实数根？（3）当a取何值时，方程没有实数根?      练习2：已知关于x的方程(m+2)x2－2(m－1)x+m+1=0有两个不相等的实数根，并且一次项系数不小于零，试求m的取值范围。解析：由已知条件可知m的取值范围应同时满足:①二次项系数不等于零，②⊿=b2－4ac＞0，③一次项系数不小于零这三个条件，因而可列出不等式组求解。       例3、已知m为非负整数，且关于x的方程m(x－1)2+3x+2=2x2有两个实数根，求m的值，并求出这时方程的根。解析：首先要把方程整理成一般形式，注意应保证二次项系数不等于零。因为已知方程有两个实数根，所以⊿=b2－4ac≥0，由此可求出m的取值范围，再由m是非负整数来确定m的值，从而使问题得解。      练习1：k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根； 
练习2：已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）A.m>﹣1  B.m＞1   C.m＜1且m≠0   D.m＞﹣1且m≠0   类型三、已知系数的关系证明根的情况例4、证明：当a、b、c为实数，且b=a+c时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0总有实数根。解析：要证明一元二次方程有实数根，只需证明它的判别式大于或等于零。     练习：求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。     类型四、已知一个一元二次方程的根的情况，判断另一个一元二次方程的根的情况例5、已知方程x2+2x－n+1=0没有实数根，求证:方程x2+nx+2n－1=0必有两个不相等的实数根。解析：由已知方程x2+2x－n+1=0没有实数根，可得到一个关于n的关系式，再以此为基础证明方程x2+nx+2n－1=0的根的判别式⊿=b2－4ac＞0，问题即可得解。      类型五、一元二次方程的特殊解的问题例6、当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2－4x+4=0与x2－4mx+4m2－4m－5=0的根都是整数。解析：因为两个一元二次方程的根都是整数，所以两个方程都有实数根，可先求出使两个方程都有实数根的m的值，然后从中筛选出使两个方程的根都是整数的整数m的值。 总结：求方程的特殊解的问题，可先求出方程的通解，然后再根据题目对解的特殊要求筛选出特殊解。   1. 填空：(1) 方程(m+1)x2－mx+m=0有相等的实数根，则m的值是_____；(2) 关于x的方程2x(kx－4)－x2+6=0没有实数根，则k的最小整数值是_____；(3) 方程2x2－(2m+1)x+m=0的根的判别式的值是9，则m=_____；(4) 若关于x的一元二次方程kx2－(2k－1)x+k=0有实根，则k的取值范围是_____，若方程无实根，则k的取值范围是_____。 2. 选择题(四选一)：(1) 下到方程中，有两个不相等的实数根的是(      )A、x2+x+2=0 　　 B、x2－2x+1=0C、 x2+1=0 　　　D、x2+x=0 (2) 方程(x－1)(x－2)=k2一定(    )A、有两个相等的实数根          B、没有实数根C、有两个不相等的实数根        D、以上三种情况均有可能 (3) 关于x的方程2kx2+(8k+1)x=－8k有两个实根，则k的取值范围是(      )
A、k＞－       B、 k≥－且k≠0C、k=－　　　　D、k＞－且k≠0 3. 方程(m－1)x2+16x+10=0有两个不相等实根，求m的取值范围。     方程kx2－10kx+15k+2=0有两个相等的实数根，求k的值及方程的根。      若方程(m－4)x2－2mx+2m+5=0的根的判别式的值是40，求m的值。    
一元二次方程2x(kx－4)－x2+6=0没有实数根，求k的最小整数值。     7. 已知一元二次方程x2+3x+a=0有整数根，a是非负整数，求方程的整数根。     8.不解方程，判别方程根的情况： .      已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程(a2+b2)x2-2cx+1＝0有两个相等的实数根．请你判断△ABC的形状．   
21.3  一元二次方程根的判别式例1、答案：(1) ⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0
∴ 方程没有实数根 (2)⊿=(－8)2－4×16×3=0
∴ 方程有两个相等的实数根 (3) ⊿=（－)2－4(－)×=5－4+8＞0
∴方程有两个不相等实根 (4) ⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16
=4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0
∴ 方程有实数根 (5) ⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1)
=16m2－8m+1－8m+8
=16m2－16m+9=4(2m－1)2+5＞0
∴ 方程有两个不相等实根 (6) ⊿=(2n)2－4×4(n2－2n+5)=4n2－16n2+32n－80=－12n2+32n－80=－12(n－)2－＜0
∴ 方程没有实数根练习：解：（1）∵△= b2－4ac=32-4×2×（-4）=9+32=41＞0  ∴方程有两个不相等实根（2）∵△= b2－4ac= b2－4×a×0=b2≥0  ∴方程有两个实数根。例2、解：⊿=b2－4ac=[－(m－2)]2－4××m2=－4m+4（1）⊿=－4m+4＞0时方程有两个不相等的实根，解得m＜1∴ 当m＜1时方程有两个不相等实根（2）方程有两个相等实根，∴ ⊿=b2－4ac =0∴ －4m+4=0 解得m=1∴ 当m=1时方程有两个相等实根为x1=x2=－=－=－2（3）∵方程有实根，∴⊿=b2－4ac≥0∴ －4m+4≥0 解得m≤1，其最大整数值为1，∴ 方程有实根m的最大整数值为1。 练习1：（1）a>-4  （2）a=-4 （3）a<-4练习2：解：根据已知条件，可得: 解这个不等式组，得:
∴ 且。 例3、解：整理原方程，得: (m－2)x2－(2m－3)x+(m+2)=0∵ 方程有两个实数根，⊿=b2－4ac≥0∴ 解得 m≤且m≠2。∵ m是非负整数。∴ m=0或m=1。当m=0时，原方程为2x2－3x－2=0 解这个方程得: x1=2，x2=－。当m=1时，原方程为x2－x－3=0。 解这个方程，得:x=x1=，x2=。 练习1、分析：这是判别式的逆用，由题意知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0；解析：Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k（1）∵方程有两个不相等的实数根，　∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k＜9（2）∵方程有两个相等的实数根，　∴Δ=0，即36-4k=0.解得k=9（3）∵方程没有实数根，　∴Δ<0，即36-4k<0.解得k>9练习2：D例4、证明∵⊿=b2－4ac，又b=a+c，a≠0。∴ ⊿=(a+c)2－4ac=(a－c)2。∵ (a－c)2≥0∴ ⊿=b2－4ac≥0。∴ 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0总有实数根。练习： 分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。  证明：Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)　=4m2-4(m4+5m2+4) 　=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)　=-4(m2+2)2 ∵不论m取任何实数(m2+2)2>0,　　∴ -4(m2+2)2<0, 即Δ<0. ∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 例5、证明：∵方程x2+2x－n+1=0没有实数根，∴ 22－4(－n+1)＜0，即n＜0。∵ 方程x2+nx+2n－1=0的判别式⊿=n2－4(2n－1)=n2－8n+4，且n＜0，∴ n2＞0，－8n＞0，∴ n2－8n+4＞0。∴ ⊿=n2－4(2n－1)＞0。∴ 方程x2+nx+2n－1=0必有两个不相等的实数根。 例6、解：∵ 一元二次方程mx2－4x+4=0有实数根，∴ m≠0且⊿=b2－4ac =16－16m≥0∴ m≤1且m≠0 ①∵ 方程x2－4mx+4m2－4m－5=0有实数根，∴ ⊿=b2－4ac =16m2－4(4m2－4m－5)≥0。∴ m≥－ ②由①、②得－≤m≤1，且m≠0。∴ m的整数解为－1或1。当m=－1时，方程mx2－4x+4=0的根不是整数，不符合题意，舍去。当m=1时，方程mx2－4x+4=0的根为x1=x2=2，方程x2－4mx+4m2－4m－5=0的根为x3=5，x4=－1。∴ 当m=1时，方程mx2－4x+4=0与方程x2－4mx+4m2－4m－5=0的根都是整数。课后巩固答案 1. (1)m1=0，m2=－； (2) 2；
(3) 2,－1； 　　(4) k≤且k≠0，k＞。 2. (1) D (2) C (3) B
3. m＜且m≠1
4. k=，x1=x2=5
5. ⊿=〔－2m〕2－4(m－4)(2m+5)=－4m2+12m+80=40
∴ m1=5，m2=－2
6. k=2
7. ∵ 方程有整数根，
∴⊿=9－4a≥0，
∴ a≤。
∴ a是非负整数，
∴ a=0，1，2。
当a=0时，x2+3x=0，
∴ x1=0，x2=－3。
当a=1时，x2+3x+1=0，
∴ x=，不是整数根。
当a=2时，x2+3x+2=0，
∴ x1=－1，x2=－2。
∴ 所求的整数根为0，－1，－2，－3。8.【答案】无实根.9.答案：△ABC为直角三角形