人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系练习题

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21.4一元二次方程根与系数的关系21.4.1、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）1、一元二次方程根与系数之间存在如下关系：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，知识详解：注意使用根与系数的关系的条件为.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.当我们运用韦达定理时，实际上已经默认了方程为一元二次方程且该方程是有解的，即前提条件.反之，当时，方程没有实数根，所以在实数范围内，是不存在根与系数的关系的.在应用根与系数的关系时，不要忘记前提条件：.2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的逆定理如果实数，满足，，那么，是一元二次方程的两个根.运用韦达定理的逆定理，可以简便的检验解一元二次方程的结果是否正确， 3、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的两个推论推论1、如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，.推论2、以两数，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21.4.2、一元二次方程根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于、的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩   (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数，为根的一元二次方程是 .(5)已知两数的和（差）与积，求这两个数.(6)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；(7)证明方程系数之间的特殊关系;(8)用于解决其他问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状;(9)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程的两根为、，则①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数．②当△＞0且时，两根异号．     当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．知识详解：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中， 往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 
题型一：已知方程一根，求另一根及待定系数例1、已知方程的一个根为2，求另一个根及m的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出m的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值。    练习：已知方程的一个根是1，则它的另一个根是      ，的值是      。     题型二：不解方程，求与方程的根相关的一些对称式的值例2、已知是方程的两个根，那么：=               ；            ；=             。     练习：已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。     
题型三：不解方程，求与方程的根相关的代数式的值例3、已知是方程的两个实数根，求的值。分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。   练习1：设、是方程的两个实数根，则=_____________。   练习2：设、是方程的两个实数根，则=__________。    题型四：利用根与系数的关系求字母的值或取值范围例4、已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。 分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。    练习1：已知关于的一元二次方程有两个实数根、。（1）求的取值范围（2）当时，求的值   练习2：已知关于的方程的两根为，且，则            。
题型五、运用判别式及根与系数的关系解题。例5、已知是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请总结理由，解析：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，∴则有∴ 又∵是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：假设同号，则有两种可能：   （1）        （2）若， 则有： ；即有：解这个不等式组，得∵时方程才有实数根，∴此种情况不成立。     若 ，   则有：即有：解这个不等式组，得； 又∵，∴当时，两根能同号 
题型六、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。例6、已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。 解：设两方程的相同根为，  根据根的意义，           有                              两式相减，得    当时， ，方程的判别式              方程无实数解   当时， 有实数解    代入原方程，得，           所以            于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为         总结：（1）本题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不存在的解：当时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为： （2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：     且另外还应注意：求得的值必须满足这两个不等式才有意义。 
练习：已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。    题型七、根据两个根构造相应一元二次方程例7、实数分别满足方程和，求代数式的值。解析：把等式19+99n+n2=0两边除以n2得到，所以是方程的两个根，由此可解此题。   练习：设2a2+2a−1=0,b4−2b2−2=0,且1−ab2≠0,则=             .      一、填空题：1、一元二次方程的两根的平方和是5，则的值是__________。2、已知关于的方程的两个实数根是、，且，则的值是__________。3、已知方程的两根之差为1，那么_____________。4、已知关于的方程的两个实数根是、，当=_________，时，代数式.
5、如果关于的方程的两根之差为2，那么           。6、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则      。7、已知关于的一元二次方程的两根为，且，则        ；           。8、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是           ，的值为           。9、已知是的一根，则另一根为       ，的值为       , 10、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：                   。二、求值题：11、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。     12、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。     13、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。     14、已知，，求： 的值   
15、已知关于的方程：。（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；（2）若这个方程的两个实根满足，求的值及相应的。     三、能力提升题：16、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？    17、已知关于的一元二次方程（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）若这个方程的两个实数根满足，求的值。    18、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。     19、已知关于的一元二次方程的两实数根为，若，求的值。 
21.4一元二次方程根与系数的关系例1-练习：3，-4例2、 练习： 例3、0 练习1、18  练习2、-21例4-练习1（1） (2) 练习2、例6-练习：答案：相同的根为，的值分别为，。 例7-练习：25课后巩固1、  2、1或5  3、  4、9 5、8  6、。 7、-2  -8  8、，  9、， 1   10.  11、   12、  13、 14、  15、  (1)∵a=1,b=−(m−2),c=，∴△=b2−4ac=[−(m−2)2]−4×1×()=2m2−4m+4=2(m−1)2+2>0，∴方程总有两个不相等的实数根； (2)∵a=1,b=−(m−2),c=，∴x1+x2=m−2，∵方程总有两个的实数根∴x1⋅x2=⩽0，∴x1与x2异号或有一个为0,由|x2|=|x1|+2,|x2|−|x1|=2，①当x1⩾0,x2<0时,−x2−x1=2,即−(m−2)=2，解得m=0，此时,方程为x2+2x=0,解得x1=0,x2=−2；②当x1⩽0,x2>0时,x2+x1=m−2=2，解得m=4，当m=4时,x2−2x−4=0，∴x1=1−,x2=1+.16、    17、（1）的判别式△＞0，所以无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2），；18、＝4  19、