（宁波卷）（参考答案）2023年中考数学第一模拟考试卷

这是一份（宁波卷）（参考答案）2023年中考数学第一模拟考试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学第一次模拟考试卷（宁波卷）数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）12345678910CBCBABBBAB二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．　如：﹣5（答案不唯一）　12．（3x﹣2）（3x+2）．13． ．                 14． 0  15． 3                    16． 4，．三、解答题（本大题共8小题，共80分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）计算：2a（a+b）﹣（a+b）2（2）解不等式组 ，并将解集在数轴上表示．【详解 】（1）2a（a+b）﹣（a+b）2＝2a2+2ab﹣（a2+2ab+b2），＝2a2+2ab﹣a2﹣2ab﹣b2，＝a2﹣b2，（2），由①得：x＞﹣5，由②得：x≤3，在数轴上表示：，则不等式组的解集为：﹣5＜x≤3，18．（8分）如图1是由边长为1的正方形构成的6×5的网格图，四边形ABCD的顶点都在格点上．（1）求四边形ABCD的对角线AC的长；（2）命题“对角线相等的四边形一定是矩形”是真命题还是假命题？如果是假命题，请在图2中画一个顶点都是格点的四边形说明；如果是真命题，请进行证明．【详解 】（1）由题意可知，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝5，∴AC的长为5；（2）对角线相等的四边形不一定是矩形，故命题“对角线相等的四边形一定是矩形”是假命题，如图：在四边形ABCD中，AC＝BD，但四边形ABCD为等腰梯形．19．（8分）某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）此次被调查的学生人数为 　120　名；（2）直接在答题卡中补全条形统计图；（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．【详解 】（1）此次被调查的学生人数为：12÷10%＝120（名），故答案为：120；（2）选择B的学生有：120﹣12﹣48﹣24＝36（名），补全的条形统计图如图所示；（3）360°×＝72°，即拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数是72°；（4）800×＝320（名），答：估计该校800名学生中，有320名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．20．（10分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA＝，tan∠AOC＝，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式．【详解 】（1）过A作AE⊥X轴于E，tan∠AOE＝，∴OE＝3AE，∵OA＝，由勾股定理得：OE2+AE2＝10，解得：AE＝1，OE＝3，∴A的坐标为（3，1），A点在双曲线上，∴1＝，∴k＝3，∴双曲线的解析式y＝．答：反比例函数的解析式是y＝． （2）解：B（m，﹣2）在双曲y＝上，∴﹣2＝，解得：m＝﹣，∴B的坐标是（﹣，﹣2），代入一次函数的解析式得：，解得：，∴一次函数的解析式为：y＝x﹣1．答：一次函数的解析式是y＝x﹣1．21．（10分）某地一居民的窗户朝南．窗户的离地高度为0.8米，此地一年的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β．若你是一名设计师，请你为教学楼的窗户设计一个直角形遮阳蓬BCD，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．根据测量测得∠α＝30°，∠β＝60°，AB＝1.5米．若同时满足下面两个条件：（1）当太阳光与地面的夹角是α时，太阳光刚好射入室内．（2）当太阳光与地面的夹角是β时，太阳光刚好不射入室内．请你求出直角形遮阳蓬BCD中CD的长、CD离地面的高度．【详解 】设BC＝x米，∵∠α＝30°，∠β＝60°，∴∠CDB＝30°，∠CDA＝60°，在Rt△BCD中，tan∠CDB＝＝tan30°＝＝，∴CD＝x，在Rt△ACD中，tan∠CDA＝tan60°＝＝＝，∴CD＝，∴＝x，解得x＝，∴CD＝（米），CD离地面的高度0.8+1.5+＝3.05（米）．答：直角形遮阳蓬BCD中CD的长为米，CD离地面的高度3.05米．22．（10分）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？（3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．【详解 】（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，∵﹣10＜0，∴当x＜57时，w随x的增大而增大，∵44≤x≤52，∴当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640，∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；（3）依题意剩余利润为（w﹣200）元，∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，∴w﹣200≥2200，即﹣10（x﹣57）2+2890﹣200≥2200，由﹣10（x﹣57）2+2890﹣200＝2200得x＝50或x＝64，∵﹣10＜0，44≤x≤52，∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52，答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50≤x≤52．23．（12分）[证明体验]（1）如图1，在△ABC和△BDE中，点A、B、D在同一直线上，∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，求证：△ABC∽△DEB．（2）如图2，图3，AD＝20，点B线段AD上的点，AC⊥AD，AC＝4，连结BC，M为BC中点，将线段BM绕点B顺时针旋转90°至BE，连结DE．[思考探究]①如图2，当DE＝ME时，求AB的长．[拓展延伸]②如图3，点G是CA延长线上一点，且AG＝8，连结GE，∠G＝∠D，求ED的长．【解答】（1）证明：∵∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°，∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB；（2）解：①∵M绕点B顺时针旋转90°至E，M为BC的中点，∴△BME为等腰直角三角形，，∴BE＝，又∵DE＝，∴BE＝DE，如图，过点E作EF⊥AD，垂足为F，则BF＝DF，∵∠A＝∠CBE＝∠BFE＝90°，由（1）得△ABC∽△FEB，∴，∵AC＝4，∴BF＝2，∴AB＝AD﹣BF﹣FD＝20﹣2﹣2＝16；②如图，过点M作AD的垂线交AD于点H，过点E作AD的垂线交AD于点F，过点D作DP⊥AD，过点E作NP⊥DP，交AC的延长线于N，∵M为BC的中点，MH∥AC，∴，∴MH＝，BH＝AH，∵∠MHB＝∠MBE＝∠BFE＝90°，由（1）得：∠HBM＝∠FEB，∵MB＝EB，∴△MHB≌△BFE（AAS），∴BF＝MH＝2，EF＝BH，设EF＝x，则DP＝x，BH＝AH＝x，EP＝FD＝20﹣2﹣2x＝18﹣2x，GN＝x+8，AF＝2x+2，∵∠G＝∠D，∴∠GED＝∠GAH＝90°，由（1）得△NGE∽△PED，∴，即，解得x＝6或x＝﹣（舍去），∴FD＝18﹣2x＝6，∴ED＝＝6．24．（14分）如图1，△ABC中，BC边上的中线AM＝AC，延长AM交△ABC的外接圆于点D，过点D作DE∥BC交圆于点E，延长ED交AB的延长线于点F，连接CE．（1）若∠ACB＝60°，BC＝4，求MD和DF的长；（2）①求证：BC＝2CE；②设tan∠ACB＝x，＝y，求y关于x的函数表达式；（3）如图2，作NC⊥AC交线段AD于N，连接EN，当△ABC的面积是△CEN面积的6倍时，求tan∠ACB的值．【解答】（1）解：∵AM＝AC，∠ACB＝60°，∴△AMC为等边三角形，∴AM＝AC＝MC．∵M是BC的中点，∴CM＝BM＝BC＝2．∴AM＝AC＝CM＝2，∴AM＝BC，∵BM＝MC，∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，∴点M为圆心，即AD为直径，∴DM＝AM＝2；∵DE∥BC，M为AD在中点，∴BM为△AFD的中位线，∴FD＝2BM＝4；（2）①证明：连接BD，如图，∵DE∥BC，∴，∴BD＝EC．∵AM＝AC，∴∠ACM＝∠AMC，∵∠AMC＝∠BMD，∠ACM＝∠BDM，∴∠BDM＝∠BMD，∴BD＝BM，∴BM＝CE，∵BC＝2BM，∴BC＝2EC；②解：过点A作AH⊥CM于点H，如图，∵∠AMC＝∠BMD，∠ACM＝∠BDM，∴△AMC∽△BMD，∴，∵DE∥BC，∴．∵CM＝MB，∴y＝＝＝＝，设CM＝2a，则BM＝CM＝2a，∵AM＝AC，AH⊥CM，∴CH＝MH＝a，∵tan∠ACB＝x＝，∴AH＝ax，∴AM＝AC＝＝＝a∴＝，∴y＝＝，∴y关于x的函数表达式为：y＝；（3）连接ME，设ME与CN交于点K，如图，∵DE∥BC，∴，∴，BD＝EC，∴∠CBD＝∠BCE，在△BDM和△CEM中，，∴△BDM≌△CEM（SAS）．∴DM＝CE．∵NC⊥AC，∴∠MCN＝90°﹣∠ACM，∵AH⊥CM，∴∠ACM＝90°﹣∠CAH＝90°﹣∠CAM，∴∠MCN＝∠CAM，∵∠CAM＝∠CBD，∠CBD＝∠BCD，∴∠MCN＝∠MCE，即：∠MCN＝∠ECN，由（2）知：CM＝BM＝BD，∵CE＝BD，∴CM＝CE，在△CMN和△CEN中，，∴△CMN≌△CEN（SAS）．∴MN＝NE．∵CM＝CE，∴CN是ME的垂直平分线，∴ME⊥CN，MK＝KE，∵NC⊥AC，∴ME∥AC．∴，∵△ABC的面积是△CEN面积的6倍，S△ABM＝S△ACM，∴△ACM的面积是△CEN的3倍，∵S△CEN＝S△CMN，∴△ACM的面积是△CMN的3倍，∴AM＝3MN，∴，∴＝，∴＝，∵ME＝MD，AC＝AM，∴，∴y＝，∴，解得：x＝，∴tan∠ACB＝x＝．