第九章《整式乘除与因式分解》全章复习与巩固（基础）巩固练习

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《整式的乘法与因式分解》全章复习与巩固（基础）【知识网络】 【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.6.负指数幂：(，为正整数).任何不等于0的数的－次幂，等于这个数的次幂的倒数.    要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.要点三、乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：；两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.【典型例题】类型一、幂的运算 1、计算下列各题：（1）      （2）（3）    （4）【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘.【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别．举一反三：【变式】82009×0.1252009=　   　．【答案】1．82009×0.1252009=（8×0.125）2009=12009=1.类型二、整式的乘除法运算2、解下列不等式．（1）（2）【答案与解析】解：（1），，．（2），            ．【总结升华】利用乘法法则进行去括号、合并同类项，按照解一元一次不等式的方法求解．3、已知，求的值．【思路点拨】利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到的值即可代入求值．【答案与解析】解：由已知，得，即，，，解得，，．所以．【总结升华】也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到的值.举一反三：【变式】（1）已知，求的值．（2）已知，，求的值．（3）已知，，求的值．【答案】解：（1）由题意，知．∴  ．∴  ，解得．（2）由已知，得，即．由已知，得．∴  ，即．∴  ∴  ．（3）由已知，得．由已知，得．∴  ．类型三、乘法公式4、对任意整数，整式是否是10的倍数？为什么？【答案与解析】解：∵，是10的倍数，∴  原式是10的倍数．【总结升华】要判断整式是否是10的倍数，应用平方差公式化简后，看是否有因数10．举一反三：【变式】解下列方程(组)：     【答案】解： 原方程组化简得，解得．5、已知，，求： (1)；(2)【思路点拨】在公式中能找到的关系.【答案与解析】解：(1) 　　∵，，　∴(2)　　∵，，∴.【总结升华】在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路.类型四、因式分解6、已知x2﹣4y2=20，x+2y=5，求x，y的值．【思路点拨】直接利用平方差公式分解因式，进而得出x﹣2y=4，再利用二元一次方程组的解法得出x，y的值．【答案与解析】解：∵  x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）=20，x+2y=5，∴ 5（x﹣2y）=20，∴  x﹣2y=4，∴ ，解得：．【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式以及二元一次方程组的解法，正确分解因式是解题关键．举一反三：【高清课堂 整式的乘除与因式分解单元复习 例7】【变式】分解因式：（1）（2）（3）【答案】解：（1）原式（2）原式＝         （3）原式＝               经典题型及变式巩固提升【例1】下列各式中，计算正确的是（　　）A．（﹣5an+1b）•（﹣2a）＝10an+1b B．（﹣4a2b）•（﹣a2b2）•c C．（﹣3xy）•（﹣x2z）•6xy2＝3x3y3z D．【变式1-1】如果一个单项式与﹣2a2b的积为﹣a3bc2，则这个单项式为（　　）A．ac2 B．ac C．ac D．ac2【变式1-2】化简的结果是（　　）A． B．2（x﹣y）7 C．（y﹣x）7 D．4（y﹣x）7【变式1-3】若（2xy2）3•（xmyn）2＝x7y8，则（　　）A．m＝4，n＝2 B．m＝3，n＝3 C．m＝2，n＝1 D．m＝3，n＝1【例2】今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内上应填写（　　）A．3xy B．﹣3xy C．﹣1 D．1【变式2-1】已知7x5y3与一个多项式之积是28x7y3+98x6y5﹣21x5y5，则这个多项式是（　　）A．4x2﹣3y2 B．4x2y﹣3xy2 C．4x2﹣3y2+14xy2 D．4x2﹣3y2+7xy3【变式2-2】要使（x2+ax+5）（﹣6x3）的展开式中不含x4项，则a应等于（　　）A．1 B．﹣1 C． D．0【变式2-3】某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是（　　）A．4x2﹣x+1 B．x2﹣x+1 C．﹣12x4+3x3﹣3x2 D．无法确定【例3】若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（　　）A．p＝3q B．p+3q＝0 C．q+3p＝0 D．q＝3p【变式3-1】若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a，b为整数，则ab的值为（　　）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【变式3-2】现有如图所示的卡片若干张，其中A类、B类为正方形卡片，C类为长方形卡片，若用此三类卡片拼成一个长为a+2b，宽为a+b的大长方形，则需要C类卡片张数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-3】若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（　　）A．﹣1，﹣1 B．﹣1，1 C．1，﹣1 D．1，1【例4】下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1） C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2【变式4-1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1） C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1【变式4-2】下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（　　）A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．x2﹣1＝x（x﹣）【变式4-3】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）A．﹣1＝（+1）（﹣1） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2） D．ax﹣ay﹣a＝a（x﹣y）﹣1【例5】先化简，再求值：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y，其中x＝﹣，y＝3．【变式5-1】先化简，再求值：当|x﹣2|+（y+1）2＝0时，求[（3x+2y）（3x﹣2y）+（2y+x）（2y﹣3x）]÷4x的值．【变式5-2】已知将（x2+nx+3）（x2﹣2x﹣m）乘开的结果不含x3和x2项．（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m﹣n）（m2+mn+n2）的值．【变式5-3】若的积中不含x与x3项．（1）求m、n的值；（2）求代数式（﹣2m2n）2+（3mn）﹣1+m2017n2018．【例6】分解因式：（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2（2）8ab﹣8b2﹣2a2．【变式6-1】因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）            （2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）【变式6-2】因式分解：（1）3x2y﹣18xy2+27y3（2）x2（x﹣2）+（2﹣x）【变式6-3】分解因式：（1）1﹣a2﹣b2﹣2ab；                       （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【例7】已知4x2+y2﹣4x+10y+26＝0，求6x﹣y的值．【变式7-1】已知x+y＝4，x2+y2＝14，求x3y﹣2x2y2+xy3的值．【变式7-2】已知m2＝n+2 ①，n2＝m+2②，其中m≠n．求m3﹣2mn+n3的值．【变式7-3】利用分解因式求值．（1）已知：x+y＝1，，利用因式分解求：x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2的值．（2）已知a+b＝2，ab＝2，求的值．【例8】已知m﹣n＝3，mn＝2，求：（1）（m+n）2的值；（2）m2﹣5mn+n2的值．【变式8-1】已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求a2b﹣ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值．【变式8-2】已知有理数m，n满足（m+n）2＝9，（m﹣n）2＝1，求下列各式的值．（1）mn；（2）m2+n2﹣mn．【变式8-3】已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：（1）a2+b2；（2）6ab．【例9】阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．【变式9-1】在理解例题的基础上，完成下列两个问题：【变式9-2】阅读下列材料，然后解答问题：问题：分解因式：x3+3x2﹣4．                【巩固练习】一.选择题1.下列运算正确的是（　　）A．4a﹣a=3 B．2（2a﹣b）=4a﹣b C．（a+b）2=a2+b2 D．（a+2）（a﹣2）=a2﹣42．下列计算正确的是(    )．A.  B.C.   D. 3.若是完全平方式，则的值是（   ）A .  —10     B.  10       C. 5         D.10或—104. 将＋分解因式，正确的是（　　）A．         B． C．          D．5. 下列计算正确的是（     ）A.                  B. C.          D. 6. 若是的因式，则为（       ）A.－15          B.－2          C.8           D.27. 因式分解的结果是（  ）A．   B．    C．   D．8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有（     ）    ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥．A．1个      B．2个      C．3个     D．4个二.填空题9.因式分解：3x2﹣12x+12=　       　．10．如果是一个完全平方式，那么＝______．11．若，化简＝________．12. 若，＝__________.13.把分解因式后是___________.14.的值是________．15. 当，时，代数式的值是________.16.下列运算中，结果正确的是___________①，②， ③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ ，⑨ 三.解答题17.分解因式：（1）；（2）；（3）.18.若a+b=﹣3，ab=1．求a3b+a2b2+ab3的值．19．已知：，，试用表示下列各式：（1）；(2)；(3)．20．某种液晶电视由于原料价格波动而先后两次调价，有三种方案：(1)先提价10％，再降价10％；(2)先降价10％，再提价10％；(3)先提价20％，再降价20％．问三种方案调价的最终结果是否一样？为什么？【答案与解析】一.选择题1.【答案】D.【解析】A、4a﹣a=3a，故本选项错误；B、应为2（2a﹣b）=4a﹣2b，故本选项错误；C、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，正确．故选：D．2. 【答案】B；3. 【答案】D；   【解析】4. 【答案】C；【解析】＋＝＝．5. 【答案】A；【解析】B.；C.；D..6. 【答案】D；   【解析】.7. 【答案】A   【解析】＝.8. 【答案】D；   【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解.二.填空题9.【答案】3（x﹣2）210.【答案】±3；   【解析】.11.【答案】1；    【解析】.12.【答案】0；   【解析】.13.【答案】；【解析】.14.【答案】－2；【解析】.15.【答案】19；   【解析】.16.【答案】③⑤⑥⑨；【解析】在整式的运算过程中，符号问题和去括号的问题是最常犯的错误，要保证不出现符号问题关键在于每一步的运算都要做到有根据，能够用定理法则指导运算.三.解答题17.【解析】解：（1）＝；   （2）；   （3）.18.【解析】解：∵ a+b=﹣3，ab=1∴ a3b+a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2=×1×（﹣3）2=．19.【解析】解：（1）；(2)；(3)．20．【解析】解：设为原来的价格(1) 由题意得：（2）由题意得：（3）由题意得：. 所以前两种调价方案一样.