广东省佛山市2023届高三二模数学试题

这是一份广东省佛山市2023届高三二模数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省佛山市2023届高三二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．2．已知的顶点，，，则顶点的坐标为（    ）A． B． C． D．3．记数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（    ）A．120种 B．180种 C．240种 D．300种5．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（    ）（参考数据：，，，）A． B． C． D．6．已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；    乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；    丁：可以是双曲线的标准方程．其中，真命题有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（    ）A． B．0 C．2 D．0或28．已知函数，若存在，，，且，使，则的值为（    ）A． B． C． D． 二、多选题9．设，，为复数，且，下列命题中正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则在复平面对应的点在一条直线上10．四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（    ）A． B． C． D．11．如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则（    ）A． B．四边形的面积为100C． D．的取值范围为12．已知函数，对于任意的实数，，下列结论一定成立的有（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则 三、填空题13．已知函数有2个极值点，，则______．14．佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则______．15．已知、分别为椭圆的左、右焦点，是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则的最大值为______． 四、双空题16．有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 五、解答题17．2023年3月5日，国务院总理李克强在政府工作报告中指出“着力扩大消费和有效投资．面对需求不足甚至出现收缩，推动消费尽快恢复．帮扶旅游业发展．围绕补短板、调结构、增后劲扩大有效投资．”某旅游公司为确定接下来五年的发展规划，对2013~2022这十年的国内旅客人数作了初步处理，用和分别表示第年的年份代号和国内游客人数（单位：百万人次），得到下面的表格与散点图．年份2013201420152016201720182019202020212022年份代码x12345678910国内游客数y3262361139904432500055426006287932462530(1)2020年~2022年疫情特殊时期，旅游业受到重挫，现剔除这三年的数据，再根据剩余样本数据（，2，3，…，7）建立国内游客人数关于年份代号的一元线性回归模型；(2)2023年春节期间旅游市场繁荣火爆，预计2023年国内旅游人数约4550百万人次，假若2024年∼2027年能延续2013年∼2019年的增长势头，请结合以上信息预测2027年国内游客人数．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，参考数据：，18．已知为锐角三角形，且．(1)若，求；(2)已知点在边上，且，求的取值范围．19．已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，(1)求数列的通项公式；(2)记为数列在区间中最大的项，求数列的前项和．20．中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，是正方形，平面，，点，是，的中点．(1)若要经过点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；(2)若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．21．双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．(1)求双曲线的方程；(2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．22．已知函数，其中．(1)若有两个零点，求的取值范围；(2)若，求的取值范围．
参考答案：1．C【分析】首先求集合，再求.【详解】，得或，所以或，，所以.故选：C2．B【分析】由平行四边形可得进而即得．【详解】因为，，，由平行四边形可得，设，则，所以，即的坐标为.故选：B.3．B【分析】利用等差数列前项和及性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答.【详解】等差数列的前项和为，则，数列的前项和为，取，显然有，而，即数列不是等差数列，所以“”是“为等差数列”的必要不充分条件.故选：B4．C【分析】按照分组分配的方法，列式求解.【详解】将5位同学分为2，1，1，1的分组，再分配到4所学校，共有种方法.故选：C5．A【分析】先根据图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为，而圆台一个底面的半径为，再根据球、圆柱和圆台的体积公式即可求解．【详解】由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为（m），而圆台一个底面的半径为（m），则（m3），（m3），（m3），所以（m3）．故选：A．6．C【分析】根据圆，抛物线，椭圆及双曲线的方程特点结合条件分析即得.【详解】因为方程，其中，所以当时，方程为，即是圆的方程，故方程可以是圆的方程；当时，方程为，即是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；当时，方程为，即是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；若方程为双曲线的标准方程，则有，这与矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；所以真命题有3个.故选：C.7．D【分析】设直线与曲线的切点为，先根据导数的几何意义求出在切点处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线距离的关系列式求解即可．【详解】设直线与曲线的切点为，由，则，则，，即切点为，所以直线为，又直线与圆都相切，则有，解得或．故选：D．8．A【分析】由范围可求出整体的范围，结合的图象，根据对称性即可求出的值.【详解】解：令，因为，， ，所以，， ，，因为，结合的图象（如图所示），得到，或，,因为，所以，，则解得，此时，，，满足题意，或解得，不符合题意舍去.故选：.9．ACD【分析】根据共轭复数的概念可判断A，利用特值可判断B，根据复数运算法则及复数相等可判断C，根据复数的几何意义结合条件可判断D.【详解】设，，，对A， 若，即，则，所以，，故A正确；对B，若，则，而，故B错误；对C，，，所以，即，因为，，则至少有一个不为零，不妨设，由，可得，所以，，即，，故C正确；对D，由，可得，所以，又不全为零，所以表示一条直线，即在复平面对应的点在一条直线上，故D正确.故选：ACD.10．AD【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积运算律求解判断作答.【详解】在四面体中，，，则是二面角的平面角，如图，，而，，，，因为平面与平面的夹角为，则当时，，当时，，所以的值可能为，.故选：AD11．ACD【分析】根据抛物线的定义可得判断A，以为原点建立平面直角坐标系，根据条件可得抛物线的方程为，可得，进而判断B，利用抛物线的定义结合条件可得可判断C，利用抛物线的性质结合焦点弦的性质可判断D.【详解】设直线与直线分别交于，由题可知，所以，，故A正确；如图以为原点建立平面直角坐标系，则，，所以抛物线的方程为，连接，由抛物线的定义可知，又，所以，代入，可得，所以，又，故四边形的面积为，故B错误；连接，因为，所以，所以，故，故C正确；根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，设在直线上的射影分别为，当点在抛物线，点在抛物线上时，，当与重合时，最小，最小值为，当与重合，点在抛物线上时，因为，直线，与抛物线的方程为联立，可得，设，则，，所以；当点在抛物线，点在抛物线上时，设，与抛物线的方程为联立，可得，设，则，，当，即时取等号，故此时；当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，；综上，，故D正确.故选：ACD.12．ABD【分析】构造函数利用导数研究函数的单调性一一判定即可.【详解】，令在上单调递增，在上单调递减，故，所以在上单调递增，且.对于A项，若，显然B正确；对于B项，有，令，令，在R上单调递增，而，故在上单调递增，在上单调递减，故，所以，故A正确；对于D项，若，即，故D正确；设，若，则满足，但，故C错误.故选：ABD13．0【分析】由得，然后根据函数解析式结合条件即得.【详解】因为函数有两个极值点与由，则的两根为与，所以，即，由，可得，所以.故答案为：0.14．1【分析】利用正态分布的对称性可得，结合条件可得，然后利用二项分布的期望公式即得.【详解】因为，均值为，且，所以，由题可得，所以．故答案为：1．15．/【分析】设点在直线上，设点，当时，求出的值，当点不为长轴端点时，设，设直线、的倾斜角分别为、，可求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最大值，可得出的最大值，即可求得的最大值.【详解】不妨设点在直线上，若点为，则，当点不为长轴端点时，由对称性，不妨设点在第一象限，设点，在椭圆中，，，，则点、，设直线、的倾斜角分别为、，则，，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，的最大值为，所以，.故答案为：16．          【分析】记事件表示从第i个盒子里取出白球，利用全概率公式可得，进而可得，然后构造等比数列，求通项公式即得.【详解】记事件表示从第个盒子里取出白球，则，，所以，，，进而可得，，又，，，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即，故答案为：；.17．(1)；(2)6422百万人次. 【分析】（1）利用最小二乘法结合条件可得回归方程；（2）根据线性回归方程，结合条件即得.【详解】（1）由题可得，，，所以，，所以根据样本数据（，2，3，…，7）建立一元线性回归模型为；（2）由可知，年份每增加1年国内旅游人数将增加468百万人次，所以预测2027年国内游客人数为百万人次.18．(1)；(2). 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，再利用三角函数的性质结合条件即得；（2）利用正弦定理结合条件可得，然后根据条件及三角函数的性质即可求得其范围.【详解】（1）因为，所以，即，又，，所以，所以，即，又，，所以，即；（2）因为，所以，又，可得，在中，，所以，在中，，因为为锐角三角形，所以，得，所以，所以，即的取值范围为.19．(1)；(2). 【分析】（1）由题可得，然后利用等比数列的基本量运算即得；（2）根据条件可得，进而可得，然后利用分组求和法即得.【详解】（1）设的公比为，则，又，当时，，当时，，两式相减可得，，所以，所以或(舍去)，所以，即，所以等比数列的通项公式为；（2）由，，可得，所以，又，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以.即.20．(1)详见解析；(2)详见解析. 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可得平面，设的中点为，根据线面平行的性质可得就是应画的线，然后根据线面垂直的判定定理结合条件可得截面周长；（2）建立空间直角坐标系，可得平面的法向量，设平面，根据线面垂直的性质可得的位置，进而即得.【详解】（1）因为平面，平面，所以平面，又平面，设平面平面，则，设的中点为，连接，则，又，所以，即为，就是应画的线，因为平面，平面， 所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，即截面为直角梯形，又，所以，，所以，截面周长为；（2）以点为坐标原点，，，分别为，，轴的正向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，设平面的法向量为，则，令，可得，设平面，设，又，∴，，由，可得，即，即为的三等分点，连接，即就是应画的线.21．(1)(2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，转化为的方程，即可求解；（2）首先设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，并根据的取值范围，求点到直线的距离的取值范围.【详解】（1）依题意，，焦半径，由，得，得，解得：（其中舍去），所以，故双曲线的方程为；（2）显然直线不可能与轴平行，故可设直线的方程为，联立，消去整理得，在条件下，设，，则，，由，得，即，整理得，代入韦达定理得，，化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去），则直线的方程为，得，又都在双曲线的右支上，故有，，此时，，所以点到直线的距离的取值范围为.22．(1)；(2)． 【分析】（1）由题可得方程有两个解，然后构造函数利用导数研究函数的性质进而即得；（2）由题知恒成立，进而转化为证明当时，然后利用二次函数的性质结合条件可得只需证明即可，再构造函数利用导数证明不等式即得.【详解】（1）由有两个零点，得方程有两个解，设，则，由，可得，单调递增，由，可得，单调递减，所以的最大值为，当时，当时，，所以可得函数的大致图象，所以，解得，所以，有两个零点时，的取值范围是；（2）设，即，则恒成立，由，，可得，下面证明当时，，即证，令，则证，，令为开口向上的二次函数，对称轴为，由（1）可知，故在时单调递增，则，下面只需证明即可，即证，令，则，令，则，所以函数单调递减，且，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，即，从而不等式得证，综上，的取值范围是．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.