人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用一课一练

高中数学三角函数与解三角形练习题及答案

一、单选题

1．已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，则函数的一个零点是（    ）

A． B． C． D．

2．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

3．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

4．《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦×矢＋矢2)．弧田（如图7-1-5）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（    ）

A．6m2 B．9m2 C．12m2 D．15m2

5．若，则的值为（    ）

A．3 B． C．－3 D．

6．若角的终边上一点的坐标为，则(    )

A． B． C． D．

7．（    ）

A． B． C． D．

8．函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．该图象对应的函数解析式为

B．函数的图象关于直线对称

C．函数的图象关于点对称

D．函数在区间上单调递减

二、填空题

11．已知函数，其中，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是_______

12．已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且若以点为圆心，为半径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为________.

13．已知函数的部分图象如下图所示，则满足不等式的解集为___________．

14．已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______.

三、解答题

15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求B；

(2)如图，若D为外一点，且，，，，求AC．

16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)若，求B；

(2)求的最小值．

17．在平面四边形中，，，．

(1)若，求；

(2)若的中点为，．求．

18．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．

(1)求；

(2)若，是外的一点，且，，则当为多少时，平面四边形的面积最大，并求的最大值．

参考答案

1．B

【分析】由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，得到周期为，进而得到，再利用平移变换得到图象，然后根据图象关于y轴对称，求得解析式即可.

【详解】解：由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为，

所以，所以．

将函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象．

因为得到的图象关于y轴对称，

所以，，即，．

又，

所以，

所以．

由得，，即．

故选：B．

2．D

【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围

【详解】因为，所以.由，得.

当时，，又，则.

因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.

故选：D.

3．A

【分析】根据已知条件求出，再求出其正切值即可得解.

【详解】因为，，

所以，所以.

故选：A

4．B

【分析】根据题设条件计算出弦和矢，再代入弧田面积公式计算作答.

【详解】依题意，弦(m)，矢(m)，

则弧田面积=(m2)，

所以弧田面积约是9m2.

故选：B

5．A

【分析】根据凑角的思路可得，再用正切的两角和公式求解即可.

【详解】,

故选：A.

6．C

【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.

【详解】∵角的终边上一点的坐标为，它与原点的距离，

∴，

故选：C.

7．D

【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.

【详解】由题意，

.

故选：D.

8．A

【分析】根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于的二次函数，利用换元法可得值域.

【详解】函数，

因为，

所以当时，函数取得最小值，

当时，函数取得最大值，

故函数的值域为，

故选：A．

9．C

【分析】利用诱导公式将a、b、c对应角转化到正弦函数的一个单调区间内，进而比较函数值的大小即可.

【详解】，，

而，则，

所以.

故选：C

10．B

【分析】先依据图像求得函数的解析式，再去代入验证对称轴、对称中心、单调区间的说法.

【详解】由图象可知，即，所以，

又，可得，又因为所以，

所以，故A错误；

当时，.故B正确；

当时，，故C错误；

当时，则，函数不单调递减.故D错误．

故选：B

11．15

【分析】由题意可得是y＝f（x）图像的对称轴，而为f（x）的零点，从而可得•，n∈Z，由在区间上有最小值无最大值，可得周期T≥（），从而可求得ω≤16，然后对ω＝15进行检验即可

【详解】由题意知函数为y＝f（x）图象的对称轴，

为f（x）的零点，∴•，n∈Z，∴ω＝2n+1．

∵f（x）在区间上有最小值无最大值，

∴周期T≥（），即，∴ω≤16．

∴要求的最大值，结合选项，先检验ω＝15，

当ω＝15时，由题意可得15+φ＝kπ，φ，函数为y＝f（x）＝sin（15x），

在区间上，15x∈[，），此时f（x）在时取得最小值，

∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.

故答案为：15.

【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的图像和性质的应用，解题的关键是恒成立，得是y＝f（x）图像的对称轴，再结合为的零点，可得•，n∈Z，考查分析问题的能力，属于较难题

12．

【分析】根据椭圆定义可知，根据圆与相切得，进而根据两个三角形中余弦值相等，即可列出关系式求解关系.

【详解】如图，过点P作PQ垂直直线x＝－c，垂足为Q，连接.由得，

所以，则，所以.在中，由余弦定理知，.因为，所以，则，所以.

故答案为:

13．

【分析】由图及五点作图法求得、、，再由及正弦函数性质求不等式解集.

【详解】由图知：，则，而，得：，

所以，则，

故，又得：，

所以，即，，

则，.

故答案为：

14．

【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，再根据在区间上有最小值，无最大值，可得，由此求得的值．

【详解】依题意，当时，y有最小值，即，

则，所以.

因为在区间上有最小值，无最大值，所以，

即，令，得.

故答案为：

15．(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的余弦公式和正弦定理可得，进而得，从而得到；

（2）连接BD，由已知得，，可得，利用正弦定理可得，最后利用余弦定理求得．

【详解】（1）由，

得，

即，

由正弦定理，得，

整理，得，

∴，

又，∴，∴，

又，∴；

（2）连接BD，因为，，，

所以，，

所以，所以．

又，所以，

在中，由正弦定理可得，即，

所以．

在中，由余弦定理可得

，

所以．

16．(1)；

(2)．

【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；

（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．

【详解】（1）因为，即，

而，所以；

（2）由（1）知，，所以，

而，

所以，即有，所以

所以

．

当且仅当时取等号，所以的最小值为．

17．(1)

(2)

【分析】（1）设，利用已知条件及几何关系可得，在中利用正弦定理及商数关系得到关于的方程，即可求解；

（2）设，，利用几何关系求解的表达式，在中，利用余弦定理得到关于的方程，求解的值即可得出结论.

（1）

解：设，因为，所以，

又，所以，

在中，由正弦定理可得，所以

所以，即，

解得，

因为，所以，所以.

（2）

解：设，，

因为中，为中点，所以，，

作，则矩形中，，，

因为中，，所以，，

在中，由余弦定理可得，

即

整理得，即，

解得，即.

18．(1)

(2)时，S最大值为

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用两角和差公式进行化简即可.

（2）将四边形面积分成两个三角形面积和来解决，设，则利用x分别表示的面积，然后在中，利用余弦定理找到x与∠D的关系，最后构造函数利用函数值域来求最值.

(1)

在中，内角所对的边分别是，已知．

由正弦定理得：，又，

，

，，

，，．

(2)

，，是等边三角形，设，，

，，，，

由余弦定理得，

，

，，当，即时，

平面四边形的面积取最大值．