人教版八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角试讲课ppt课件

这是一份人教版八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角试讲课ppt课件，共39页。PPT课件主要包含了测量法，锐角三角形，折叠法等内容，欢迎下载使用。

1、会阐述三角形内角和定理。2、会应用三角形内角和定理进行计算(求三角形的角的度数)。3、能通过动手实践去验证三角形的内角和定理。4、了解直角三角形两个锐角的关系。5、掌握直角三角形的判定。6、会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算。
数 学 故 事
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷。
同学们，你们能够帮“老二”解释其中的道理吗？
在小学的时候，我们就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°。在Rt△ABC中，老大∠A=90°，则∠B+∠C=90°因此老二∠B或∠C＜90°。
任意一个三角形的内角和一定等于 。
验证三角形内角和的三种方法：
60°＋48°＋72°＝180°
那么，我们如何通过“数学证明”来解释三角形的内角和一定是180°呢？
已知：△ABC求证：∠A+∠B+∠C=180°
方法一、证明：过点A作直线l，使l∥AB
∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）
∵∠1、∠4、∠5组成平角
∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）
∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）
三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°
方法二、证明：延长BC到D，过点C作CE∥BA
∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）
∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（等量代换）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
方法三、证明：过点D作DE∥AC，DF∥AB
∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC（两直线平行，同位角相等）
∴∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
例2 如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向。从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
分析：A、B、C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角，如果能求出∠CAB、∠ABC，就能求出∠ACB。
解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°由AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180°∴∠ABE=180°-∠ABD=180°-80°=100° ∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB =180°-60°-30° = 90°
答：从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°。
二、直角三角形的性质和判定
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°
由三角形内角和定理，可得∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A+∠B+90°=180°
直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形可以用符号“Rt△”表示。因此直角三角形ABC可写成 。
“直角三角形的两个锐角互余”其几何语言可表示为：
在Rt△ABC中，∵∠A=90°∴∠B+∠C=90°
若在三角形中，有两个锐角互余，则该三角形是否就是直角三角形呢？
已知：在△ABC中，∠A与∠B互余。求证：该三角形为直角三角形
证明：∵∠A与∠B互余
由三角形内角和定理，可得
∠A+∠B+∠C=180°
∴90°+∠C=180°
∴△ABC为直角三角形
有两个角互余的三角形为直角三角形。
例3、如图，∠C=∠D=90°，AD、BC相交于点E。∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：∠CAE=∠DBE在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED∵∠AEC=∠BED∴∠CAE=∠DBE
1、（2022·河南周口·八年级期末）若一个三角形的三个内角度数之比1:3:4，则这个三角形是（       ） A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
2、（2022·湖南邵阳·八年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，则∠B＝（       ） A．48° B．58°C．62°D．68°
【解析】∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°∵∠A=42°∴∠B=48°故答案选A
3、（2022·广西钦州·八年级期末）如图，把一副三角板叠放在一起。则∠1的大小为（       ）
A．105°B．115°C．120°D．125°
4、（2022·安徽滁州·八年级期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠DAE＝（       ）
A．5°B．4°C．8°D．6°
5、（2022·湖南长沙·八年级期末）已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C，则∠B＝________。
【解析】∵∠A= 108°，∠B= 2∠C∴108°十2∠C +∠C= 180°∴∠C=24°∴∠B=2∠C=2×24°=48°
6、（2022·山东临沂·八年级期末）在△ABC中，∠A=40°，∠B=20°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为________。
7、如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，∠C=40°，∠AOB=80°，求∠A的度数。
解：∵AB∥CD，∠C=40°∴∠B=∠C=40°∵∠A+∠B+∠AOB=180°∴∠A=180°-∠AOB-∠B =180°-80°-40° =60°∴∠A的度数为60°
8、（2022·重庆长寿·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD为∠BAC的平分线，AE为BC边上的高，求∠DAE的度数。
解：∵∠B＝40°，∠C＝70°∴∠BAC＝180°－40°－70°＝70°又∵AD为∠BAC的平分线∴∠DAC＝35°∵AE⊥BC∴∠EAC＝90°－∠C＝20°∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC ＝35°－20° ＝15°∴∠DAE的度数为15°
在△ABC中，∵∠A+∠B=90°∴△ABC为直角三角形
1、如图，在△ABC中，∠C=56°，点D在线段BA的延长线上，过点D作DF⊥BC于点F，若∠FDB=20°，则∠CAB的度数为（ ）
A．76°B．65°C．56°D．54°
【解析】∵DF⊥BC∴∠DFB=90°在△BDE中，∠FDB=20°∴∠B=180°-90°-20°=70°在△ABC中，∠C=56°∴∠CAB=180°-70°-56°=54°故答案选D
2、（2021·河南商丘·八年级期末）在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C=1：m：3，则m的值是（        ） A．3B．4C．1或3D．2或4
【解析】设∠A=x°，则∠C=3x°①当∠C=90°时，3x°=90°解得 x=30∴∠A=30°，∠B=90°-30°=60°∴∠A:∠B=30°:60°=1:2∴m=2
②当∠B=90°时，∠A+∠C=90°即x°+3x°=90°解得 x=22.5∴∠A=22.5°，∠C=67.5°∴∠A:∠B=22.5°:90°=1:4∴m=4
综上，m的 值为2或4
3、（2022·内蒙古鄂尔多斯·八年级期末）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB的度数是______。
【解析】根据方向角的定义可得，∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°∵∠BAE=45°，∠EAC=15°∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°∵AE、DB是正南正北方向∴BD∥AE∵∠DBE=∠BAE=45°又∵∠DBC=80°∴∠ABC=80°-45°=35°∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°
4、（2022·重庆巴南·八年级期末）如图，将一张三角形纸片ABC的一角(∠A)折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部点A′的位置，且点A′与点C在直线AB的异侧，折痕为DE。已知∠C=90°，∠B=60°，若△A′DE的一边与BC平行，且∠ADE=m°，则m=_________。
③当DE∥BC时，点A′与点C在直线AB的同侧，不符合题意
综上可知m的值为45或30
5、（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）在△ABC中，AB＝AC，将△ABC折叠，使A，B两点重合，折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为50°，则∠A的度数为 _____________。
由翻折的性质可知：EF⊥AB，∴∠A+∠AFE＝90°．∵∠AFE＝50°，∴∠A＝90°﹣50°＝40°
由翻折的性质可知：EF⊥AB∴∠D+∠DAE＝90°∵折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为50°∴∠EDA＝50°∴∠DAE＝90°﹣50°＝40°∴∠BAC＝140°
综上，∠A的度数为40°或140°
6、（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，求∠B的度数。
解：∵AE平分∠BAC∴∠1=∠EAC=∠EAD+∠2∴∠EAD=∠1-∠2=40°-20°=20°在Rt△ABD中∠B=90°-∠BAD=90°-40°-20°=30°∴∠B的度数为30°
7、（2022·河南商丘·八年级期末）如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA，∠B＝54°。
(1)求∠EAC的度数；(2)若∠CAD：∠E＝2：5；求∠E的度数．
解：(1)∵∠EAD＝∠EDA∴∠EAC＋∠CAD＝∠B＋∠BAD∵AD平分∠BAC∴∠CAD＝∠BAD∴∠EAC＝∠B∵∠B＝54°∴∠EAC＝54°∴∠EAC的度数为54°
(2)设∠CAD＝2x，则∠E＝5x，∠DAB＝2x∵∠B＝54°∴∠EDA＝∠EAD＝2x＋54°∵∠EDA＋∠EAD＋∠E＝180°∴2x＋54°＋2x＋54°＋5x＝180°解得x＝8°∴∠E＝5x＝40°∴∠E的度数为40°
8、（2022·湖北荆门·八年级期末）如图，△ABC中，AF、BE是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠C=50°，求∠DAC及∠BOA的度数。
9、（2021·全国·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E。（1）若AD⊥BC于D，∠C＝40°，求∠DAE的度数；
（1）解：∵∠C＝40°，∠B＝2∠C∴∠B＝80°∴∠BAC＝60°∵AE平分∠BAC∴∠EAC＝30°∵AD⊥BC∴∠ADC＝90°∴∠DAC＝50°∴∠DAE＝50°﹣30°＝20°∴∠DAE的度数为20°
9、（2021·全国·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E。（2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC。
10、（2022·安徽合肥·八年级期末）(1)如图1，在△ABC中，点D、E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数。
10、（2022·安徽合肥·八年级期末） (2)如图2，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为AD上任意一点（不与A、D重合），FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数。