数学九年级上册贵州省黔东南州台江二中九年级（上）期中数学试卷

这是一份数学九年级上册贵州省黔东南州台江二中九年级（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
贵州省黔东南州台江二中九年级（上）期中数学试卷
　
一、选择题（10小题，每小题4分共40分）
1．（4分）下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）抛物线y=﹣2x2+1的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．y轴 D．直线x=2
3．（4分）抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
4．（4分）用配方法解方程x2+2x﹣5=0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
5．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）

A．35° B．40° C．50° D．65°
6．（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
7．（4分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
8．（4分）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
9．（4分）已知，α、β是关于x的一元二次方程x2+4x﹣1=0的两个实数根，则α+β的值是（　　）
A．﹣4 B．4 C．4或﹣4 D．﹣
10．（4分）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　）

A． B． C． D．
　
二、填空题（6小题，每小题4分共24分）
11．（4分）一元二次方程2x2=3x的根是　　．
12．（4分）坐标平面内的点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m+n=　　．
13．（4分）已知抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+c=0的根为　　．
14．（4分）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是　　．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为　　．

16．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，y1）和（﹣，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是　　（填入正确结论的序号）．

　
三、解答题（6小题，共86分）
17．（10分）解方程
（1）2x2+3=7x
（2）4（x+3）2=（x﹣1）2．
18．（10分）二次函数中y=ax2+bx﹣3的x、y满足表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
m
…
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求m的值并直接写出对称轴及顶点坐标．
19．（10分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．
（1）旋转中心是点　　，旋转角度是　　度；
（2）若连结EF，则△AEF是　　三角形；并证明；
（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．

20．（10分）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）．
（1）作出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并直接写出B2的坐标．

21．（10分）在“全民阅读”活动中，某中学对全校学生中坚持每天半小时阅读的人数进行了调查，2012年全校坚持每天半小时阅读有1000名学生，2013年全校坚持每天半小时阅读人数比2012年增加10%，2014年全校坚持每天半小时阅读人数比2013年增加340人．
（1）求2014年全校坚持每天半小时阅读学生人数；
（2）求从2012年到2014年全校坚持每天半小时阅读的人数的平均增长率．
22．（10分）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
23．（12分）某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．
（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函数解析式．
（2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．
（3）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
24．（14分）抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，（点B在点A的右侧）且A，B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（8，0），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交BD于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？
（3）在（2）的结论下，试问抛物线上是否存在点N（不同于点Q），使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

　

贵州省黔东南州台江二中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（10小题，每小题4分共40分）
1．（4分）（2013•黑龙江）下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
　
2．（4分）（2012•兰州）抛物线y=﹣2x2+1的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．y轴 D．直线x=2
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴．
【解答】解：∵抛物线y=﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），
∴对称轴是直线x=0（y轴），
故选C．
　
3．（4分）（2012•兰州）抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，
抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2﹣3．
故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选：B．
　
4．（4分）（2016春•招远市期中）用配方法解方程x2+2x﹣5=0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
【分析】把常数项﹣5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方．
【解答】解：由原方程，得
x2+2x=5，
x2+2x+1=5+1，
（x+1）2=6．
故选：A．
　
5．（4分）（2015•德州）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）

A．35° B．40° C．50° D．65°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°．
故选C．
　
6．（4分）（2009•成都）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选B．
　
7．（4分）（2012•泰安）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
【解答】解：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+a，如右图，
∴对称轴是x=﹣1，
∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
于是y1＞y2＞y3．
故选A．

　
8．（4分）（2011•襄阳）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
【分析】分为两种情况：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，求出△=b2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可；②当k﹣3=0时，得到一次函数y=2x+1，与x轴有交点；即可得到答案．
【解答】解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，
△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣3）×1=﹣4k+16≥0，
k≤4；
②当k﹣3=0时，y=2x+1，与x轴有交点．
故选B．
　
9．（4分）（2016秋•台江县校级期中）已知，α、β是关于x的一元二次方程x2+4x﹣1=0的两个实数根，则α+β的值是（　　）
A．﹣4 B．4 C．4或﹣4 D．﹣
【分析】根据根与系数的关系即可得出α+β的值，此题得解．
【解答】解：∵α、β是关于x的一元二次方程x2+4x﹣1=0的两个实数根，
∴α+β=﹣=﹣4．
故选A．
　
10．（4分）（2015•安徽）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行判断．
【解答】解：∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，
∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，
∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，
又∵﹣＞0，a＞0
∴﹣=﹣+＞0
∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，
∴A符合条件，
故选A．
　
二、填空题（6小题，每小题4分共24分）
11．（4分）（2011秋•鄱阳县期末）一元二次方程2x2=3x的根是　x1=0，或x2=　．
【分析】移项得2x2﹣3x=0，把方程的左边分解因式得2x2﹣3x=0，使每个因式等于0，就得到两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵2x2=3x，
∴2x2﹣3x=0，
x（2x﹣3）=0，
2x2﹣3x=0x=0或2x﹣3=0，
∴x1=0 或x2=，
故答案为：x1=0 或x2=．
　
12．（4分）（2016秋•台江县校级期中）坐标平面内的点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m+n=　﹣1　．
【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”求出m、n的值，然后相加计算即可得解．
【解答】解：∵点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，
∴m=﹣3，n=2，
所以，m+n=﹣3+2=﹣1．
故答案为：﹣1．
　
13．（4分）（2015秋•巢湖市期中）已知抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+c=0的根为　﹣1，3　．
【分析】将x=﹣1，y=0代入抛物线的解析式可得到c=﹣3a，然后将c=﹣3a代入方程，最后利用因式分解法求解即可．
【解答】解法一：将x=﹣1，y=0代入y=ax2﹣2ax+c得：a+2a+c=0．
解得：c=﹣3a．
将c=﹣3a代入方程得：ax2﹣2ax﹣3a=0．
∴a（x2﹣2x﹣3）=0．
∴a（x+1）（x﹣3）=0．
∴x1=﹣1，x2=3．
解法二：已知抛物线的对称轴为x==1，又抛物线与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则根据对称性可知另一个交点坐标为（3，0）；故而ax2﹣2ax+c=0的两个根为﹣1，3
故答案为：﹣1，3．
　
14．（4分）（2014•泰州一模）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是　20%　．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故25（1﹣x）2=16，
解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．
　
15．（4分）（2015•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为　1　．

【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．
【解答】解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．
故答案为1．
　
16．（4分）（2015•贺州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，y1）和（﹣，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是　②④　（填入正确结论的序号）．

【分析】由图象可先判断a、b、c的符号，可判断①；由x=﹣1时函数的图象在x轴下方可判断②；由对称轴方程可判断③；由对称性可知当x=2时，函数值大于0，可判断④；结合二次函数的对称性可判断⑤；可得出答案．
【解答】解：
∵二次函数开口向下，且与y轴的交点在x轴上方，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴为x=1，
∴﹣=1，
∴b=﹣2a＞0，
∴abc＜0，
故①、③都不正确；
∵当x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
故②正确；
由抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一交点在2和3之间，
∴当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，
故④正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，
∵﹣2＜﹣，
∴y1＜y2，
故⑤不正确；
综上可知正确的为②④，
故答案为：②④．
　
三、解答题（6小题，共86分）
17．（10分）（2016秋•台江县校级期中）解方程
（1）2x2+3=7x
（2）4（x+3）2=（x﹣1）2．
【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
（2）先把方程两边开方得到2（x+3）=±（x+1），然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）2x2﹣7x+3=0，
（2x﹣1）（x﹣3）=0，
2x﹣1=0或x﹣3=0，
所以x1=，x2=3；
（2）解：2（x+3）=±（x+1），
所以x1=﹣7，x2=﹣．
　
18．（10分）（2015秋•南开区期中）二次函数中y=ax2+bx﹣3的x、y满足表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
m
…
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求m的值并直接写出对称轴及顶点坐标．
【分析】（1）设一般式y=ax2+bx+c，再取三组对应值代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把（﹣1，0），（0，﹣3），（1，﹣4）代入得，解得a=1，b=﹣2，c=﹣3，
所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
所以抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．
　
19．（10分）（2015•新泰市校级模拟）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．
（1）旋转中心是点　A　，旋转角度是　90　度；
（2）若连结EF，则△AEF是　等腰直角　三角形；并证明；
（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．

【分析】（1）根据旋转变换的定义，即可解决问题．
（2））根据旋转变换的定义，即可解决问题．
（3）根据旋转变换的定义得到△ADE≌△ABF，进而得到S四边形AECF=S正方形ABCD=25，求出AD的长度，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，由题意得：
旋转中心是点A，旋转角度是90度．
故答案为A、90．
（2）由题意得：AF=AE，∠EAF=90°，
∴△AEF为等腰直角三角形．
故答案为等腰直角．
（3）由题意得：△ADE≌△ABF，
∴S四边形AECF=S正方形ABCD=25，
∴AD=5，而∠D=90°，DE=2，
∴．

　
20．（10分）（2016秋•青海期中）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）．
（1）作出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并直接写出B2的坐标．

【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，C1（1，1）；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，B2（﹣3，﹣4）．

　
21．（10分）（2015秋•和县期末）在“全民阅读”活动中，某中学对全校学生中坚持每天半小时阅读的人数进行了调查，2012年全校坚持每天半小时阅读有1000名学生，2013年全校坚持每天半小时阅读人数比2012年增加10%，2014年全校坚持每天半小时阅读人数比2013年增加340人．
（1）求2014年全校坚持每天半小时阅读学生人数；
（2）求从2012年到2014年全校坚持每天半小时阅读的人数的平均增长率．
【分析】（1）根据题意，先求出2013年全校的学生人数就可以求出2014年的学生人数；
（2）根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．设平均每年的增长率是x，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意，得
2013年全校学生人数为：1000×（1+10%）=1100人，
∴2014年全校学生人数为：1100+340=1440人；

（2）设从2012年到2014年全校坚持每天半小时阅读的人数的平均增长率为x，
根据题意得：1000（1+x）2=1440，
解得：x=0.2=20%或x=﹣2.2（舍去）．
答：从2012年到2014年全校坚持每天半小时阅读的人数的平均增长率为20%．
　
22．（10分）（2011•南充）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴△=22﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0．
故K的取值范围是k≤0．

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1，
x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．
由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．
又由（1）k≤0，
∴﹣2＜k≤0．
∵k为整数，
∴k的值为﹣1或0．
　
23．（12分）（2016秋•台江县校级期中）某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．
（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函数解析式．
（2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．
（3）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
【分析】（1）利用已知表示出每件的利润以及销量进而表示出总利润即可；
（2）将x=45代入求出即可求出月销售量和销售利润；
（3）利用配方法求出二次函数最值即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：
y=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]，
=﹣10x2+1300x﹣30000；
（2）当x=45时，600﹣10（x﹣40）=550（件），
y=﹣10×452+1300×45﹣30000=8250（元）；
（3）y=﹣10x2+1300x﹣30000，
=﹣10（x﹣65）2+12250，
故当x=65（元），最大利润为12250元．
　
24．（14分）（2016秋•台江县校级期中）抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，（点B在点A的右侧）且A，B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（8，0），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交BD于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？
（3）在（2）的结论下，试问抛物线上是否存在点N（不同于点Q），使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）直接将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式中，列方程组可求a、b的值，写出解析式即可；
（2）先求点C和D的坐标，求直线BD的解析式，根据横坐标m表示出点Q和M的纵坐标，由MQ∥CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明MQ=CD即可，因此列等式：（﹣m+4）﹣（m2﹣m﹣4）=4﹣（﹣4），求m即可；
（3）要使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积，可先判断四边形CQBM是平行四边形，解得M点到BC的距离与Q到BC的距离相等，所以过M或Q点的与直线BC平行的直线与抛物线的交点即为所求，列方程组可得结论．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣4得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式：y=x2﹣x﹣4；
（2）当x=0时，y=﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OC=4，
∵四边形DECB是菱形，
∴OD=OC=4，
∴D（0，4），
设BD的解析式为：y=kx+b，
把B（8，0）、D（0，4）代入得：，
解得：，
∴BD的解析式为：y=﹣x+4，
∵l⊥x轴，
∴M（m，﹣m+4）、Q（m，m2﹣m﹣4），
如图1，∵MQ∥CD，
∴当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，
∴（﹣m+4）﹣（m2﹣m﹣4）=4﹣（﹣4），
化简得：m2﹣4m=0，
解得m1=0（不合题意舍去），m2=4，
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形；
（3）如图2，要使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积，N点到BC的距离与Q到BC的距离相等；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（8，0）、C（0，﹣4）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x﹣4，
由（2）知：当P（4，0）时，四边形DCQM为平行四边形，
∴BM∥QC，BM=QC，
得△MFB≌△QFC，
分别过M、Q作BC的平行线l1、l2，
所以过M或Q点的斜率为的 直线与抛物线的交点即为所求，
当m=4时，y=﹣m+4=﹣×4+4=2，
∴M（4，2），
当m=4时，y=m2﹣m﹣4=×16﹣×4﹣4=﹣6，
Q（4，﹣6），
①设直线l1的解析式为：y=x+b，
∵直线l1过Q点时，
∴﹣6=×4+b，b=﹣8，
∴直线l1的解析式为：y=x﹣8，
则，
=x﹣8，
解得x1=x2=4（与Q重合，舍去），
②∵直线l2过M点，
同理求得直线l2的解析式为：y=x，
则，
=x，
x2﹣x﹣16=0，
解得x1=4+4，x2=4﹣4，
代入y=x，得，，
则N1（4+4，2+2），N2（4﹣4，2﹣2），
故符合条件的N的坐标为N1（4+4，2+2），N2（4﹣4，2﹣2）．