数学九年级下册26.1.2 第2课时 反比例函数的图象和性质的的综合运用 试卷

26.1.2 反比例函数的图象和性质

第2课时  反比例函数的图象和性质的综合运用

学习目标：1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)

2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重点、难点)

3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力. (重点、难点)

一、知识链接

1.反比例函数的图象是什么？

2.反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？

一、要点探究

探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式

例1    已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).

(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？

(2) 点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？

【针对训练】已知反比例函数的图象经过点 A (2，3)．

（1）求这个函数的解析式；

（2）判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由；

（3） 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．

探究点2：反比例函数图象和性质的综合

例2   如图，是反比例函数图象的一支.  根据图象，回答下列问题：

(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？

(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和点B (x2，y2).  如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？

【针对训练】如图，是反比例函数的图象，则 k 的值可以是 （     ）

A．－1          B．3         C．1              D．0

探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义

操作     1. 在反比例函数的图象上分别取点P，Q 向x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，

填写下列表格：

2. 若在反比例函数中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：

猜想    由前面的探究过程，可以猜想：

若点P是反比例函数图象上的任意一点，过点 P作 PA ⊥ x 轴，作 PB ⊥ y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.

证明    我们就 k < 0 的情况给出证明：

【要点归纳】对于反比例函数，点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA⊥ y 轴，作QB⊥x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ= |k|.

推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是S△QAO=S△QBO=.

【针对训练】如图，在函数(x＞0)的图象上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则（     ）

A. SA >SB>SC         B. SA<SB<SC              C. SA =SB=SC         D. SA<SC<SB

【典例精析】

例3   如图，点A在反比例函数的图象上，AC⊥x 轴于点 C，且△AOC 的面积为 2，求该反比例函数的解析式．

【针对训练】1. 如图，过反比例函数图象上的一点 P，作PA⊥x 轴于点A. 若△POA 的面积为 6，则 k =          .

2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是          .

例4   如图，P，C是函数(x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴.  设  

△POA 的面积为 S1，则 S1 =       ；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1       S2；△POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2      S3. （填“＞”，“＜”或者“＝”）          

【针对训练】如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△AOC 的面积 S1、△BOD 的面积 S2、 △POE 的面积 S3 的大小关系为                      .

例5    如图，点 A 是反比例函数(x＞0)的图象上任意一点，AB//x 轴交反比例函数(x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S   ABCD =___.

【方法总结】解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.

【针对训练】如图，函数 y＝－x与函数的图象相交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为  （      ）

A. 2            B. 4             C. 6               D. 8

探究点4：反比例函数与一次函数的综合

思考   在同一坐标系中，函数和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？

例6    函数 y=kx－k 与（k≠0）的图象大致是（    ）

【提示】由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.

【针对训练】在同一直角坐标系中，函数与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是（     ）

例7  如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为           .

【针对训练】如图，一次函数 y1= k1x + b (k1≠0) 的图象与反比例函数的图象交于 A，B 两点，观察图象，当y1＞y2时，x 的取值范围是          ．

例8    已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.

想一想：这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？

【针对训练】反比例函数的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为       ．

二、课堂小结

1. 如图， P 是反比例函数的图象上一点，过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，连接O P ，

且△OBP 的面积为 2，则 k 的值为（      ）

A. 4            B. 2            C. －2            D.不确定

2. 反比例函数的图象与一次函数 y = 2x +1 的图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的解析式是____ ___．

3. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b ＞的解集是__________．

4. 已知反比例函数的图象经过点 A (2，－4).

（1）求 k 的值；

（2）这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化?

（3）画出该函数的图象；

（4）点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？

5. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线交于A(1，2)，B(m，－4)两点，

（1）求直线与双曲线的解析式；

（2）求不等式 ax + b＞的解集.

6. 如图，反比例函数与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点.

（1）求 A，B 两点的坐标；

（2）求△AOB的面积.

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.解：反比例函数的图象是双曲线

2.解：当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；

当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.

合作探究

一、要点探究

探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式

例1    解：（1）因为反比例函数图象经过的点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.

（2）设这个反比例函数的解析式为，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有，解得 k =12. 所以反比例函数的解析式为.

因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.

【针对训练】解：（1）∵ 反比例函数的图象经过点 A(2，3)，

∴ 把点 A 的坐标代入解析式，得，解得 k = 6. ∴ 这个函数的解析式为.

（2）分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函数的图象上．

（3）∵ 当 x = －3时，y =－2；当 x = －1时，y =－6，且 k > 0，

∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，∴ 当 －3 < x <－1 时，－6 < y <－2.

探究点2：反比例函数图象和性质的综合

例2   解：（1）因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 又因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m－5＞0，解得m＞5.

（2）因为 m－5＞0，所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小，

因此当x1＞x2时，y1＜y2.

【针对训练】B

探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义

操作  1.  4  4  S1 = S2   S1 = S2 = k    2.  4  4  S1 = S2   S1 = S2 = -k

证明   解：设点 P 的坐标为 (a，b)，∵点 P (a，b) 在函数的图象上，∴，即 ab=k.

若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；

若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k.

综上，S矩形 AOBP=|k|.

【针对训练】C

【典例精析】例3   解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，∵点 A 在反比例函数的图象上，

∴ xA·yA＝k.

又∵ S△AOC＝ xA·yA  = ·k＝2，∴ k＝4. ∴反比例函数的解析式为.

【针对训练】1. -12     2.

例4   (1) 2     (2） >    （3）=           

【针对训练】S1 = S2 < S3      解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 < S3

例5   5

【针对训练】D

探究点4：反比例函数与一次函数的综合

例6    D

【针对训练】B

例7  －2< x <0 或 x >3

解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3.

【针对训练】 x <－1 或 0 < x < 2

例8    解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k1x 和.

由于这两个函数的图象交于点 P  (－3，4)，则点 P (－3，4) 是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式. 所以4= -3k1，.解得，k2 = -12

则这两个函数的解析式分别为和， 它们的图象如图所示.

【针对训练】（2,6）和（-2,-6）

当堂检测

1.  A    2.     3. 1＜x＜5

4. 解：（1）依题意把点 A (2，－4)，代入解析式，得，解得k = －8.

（2）这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大.

（3）如图所示：

（4）该反比例函数的解析式为.

因为点 B 的坐标满足该函数解析式，而点 C 的坐标不满足该函数解析式，

所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上.

5. 解：（1）把 A(1，2)代入双曲线解析式中，得 k = 2，故双曲线的解析式为.

当y =－4时，m=,∴ B（，－4）.将A(1，2)，B（，－4）代入 y=ax + b ，得，a=4,b=-2;

∴一次函数的解析式为y = 4x - 2.

（2）根据图象可知，若 ax + b＞，则 x＞1或＜x＜0.

6. 解:（1）由题意得，解得或所以A(－2，4)，B(4，－2).

（2）一次函数与x轴的交点为M (2，0)，∴OM=2.

作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则AC=4，BD=2.

∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，

∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，

∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.