数学九年级下册27.2.7 相似三角形的应用举例 同步练习

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27.2.7 相似三角形的应用举例基础训练知识点1利用相似测量长度1. “今有邑,东西七里,南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木?”这段话摘自《九章算术》,意思是说:如图,矩形城池ABCD,东边城墙AB长9里,南边城墙AD长7里,东门点E,南门点F分别是AB,AD的中点,EG⊥AB,FH⊥AD,EG=15里,HG经过A点,则FH=_________里. 2.如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM长为__________米. 知识点2 利用相似测量高度3.如图,是小孔成像原理的示意图,根据图中所标注的尺寸,这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是(　　)A. cm　　B. cm　　C. cm　　D.4 cm4.如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF,两标杆相隔52米,并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内,从标杆CD后退2米到点G处,在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上;从标杆FE后退4米到点H处,在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上,则建筑物的高为_________米.5.如图,利用标杆BE测量建筑物的高度,标杆BE高为1.5 m,测得AB=2 m,BC=7 m,则建筑物高CD为_________m. 6.在同一时刻,高为1.5 m的标杆的影长为2.5 m,一古塔在地面上的影长为50 m,那么古塔的高为_________. 7.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度,学校数学应用实践小组做了如下的探索:根据光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计了如图所示的测量方案,把镜子放在离树(AB)8.1 m的点E处,然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树顶点A,再用皮尺测量得DE=2.7 m,观察者目高CD=1.6 m.则树高AB为_________.8.一位同学利用树影测量树AB的高,他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长为0.8 m,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不完全落在地面上,有一部分影子在墙上,如图所示,他测得留在墙上的影高CD为1.2 m,又测得地面部分的影长BD为2.8 m,求树高.9.如图,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形)的示意图,已知桌面的直径为1.2米,桌面距离地面1米,若灯泡距离地面3米,则地面上阴影部分的面积为_______平方米.(结果保留π) 提升训练考查角度1 利用太阳光线(平行线)测量高度10.如图,阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下1.5 m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离EC=1.2 m,窗口高AB=1.8 m,求窗口底边离地面的高BC. 考查角度2 同一时刻物高与影长成比例11.某中学平整的操场上有一根旗杆(如图),一天上午一数学兴趣小组欲测量其高度,现有测量工具(皮尺、标杆)可供选用,请你用所学的知识,帮助他们设计测量方案.要求:(1)画出你设计的测量平面图;(2)简述测量方法,并写出测量的数据(长度用a,b,c,…表示). 考查角度3 利用相似三角形的性质进行方案设计12.如图,我们想要测量河两岸相对两点A,B之间的距离(即河宽),你有什么方法? 考查角度4 借助现有工具构造相似三角形测量高度13.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40 cm,EF=20 cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5 m,CD=8 m,求树高AB.14.某一天,小明和小亮来到一河边,想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度,两人在确保无安全隐患的情况下,先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸).①小明在B点面向树的方向站好,调整帽檐,使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处,如图所示,这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米;②小明站在原地转动180°后蹲下,并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外,其他姿态均不变),这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处,此时小亮测得BE=9.6米,小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米.根据以上测量过程及测量数据,请你求出河宽BD是多少米.15.一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等;接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时(身高BN)的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25 m.已知李明直立时的身高为1.75 m,求路灯的高CD.(结果精确到0.1 m) 探究培优 拔尖角度 利用相似三角形的性质解决实际生活问题16.如图①,小红家阳台上放置了一个晒衣架.如图②是晒衣架的侧面示意图,立杆AB,CD相交于点O,B,D两点位于地面,经测量,AB=CD=136 cm,OA=OC=51 cm,OE=OF=34 cm,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF成一条线段,且EF=32 cm.(1)求证:AC∥BD;(2)小红的连衣裙挂在衣架上的总长度达到122 cm,垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由.  参考答案1.【答案】1.052.【答案】5　解：根据题意易得△MBA∽△MCO,根据相似三角形的性质可知=,即=,解得AM=5(米).3.【答案】D　4.【答案】545.【答案】6.75　解：∵EB⊥AC,DC⊥AC,∴EB∥DC,∴△ABE∽△ACD,∴=.∵BE=1.5 m,AB=2 m,BC=7 m,∴AC=9 m,∴=,∴CD=6.75(m).6.【答案】30 m7.【答案】4.8 m　解：利用三角形CDE和三角形ABE相似求解.8.解:设墙上的影高CD落在地面上时的长度为x m,树高为h m.∵某一时刻测得长为1 m的竹竿影长为0.8 m,墙上的影高CD为1.2 m,∴=,解得x=0.96.∴树的影长为0.96+2.8=3.76(m).∴=,解得h=4.7.∴树高为4.7 m.9.【答案】0.81π解：容易把对应高的比看成1∶3,另外对应高的比与面积比的关系易搞错.10.解:作EF⊥DC交AD于F,则EF∥AB.因为AD∥BE,所以∠FDE=∠BEC.又因为∠DEF=∠ECB=90°,所以△DEF∽△ECB,所以=.因为AB∥EF,AD∥BE,所以四边形ABEF是平行四边形,所以EF=AB=1.8 m.所以CB===1.44(m).答:窗口底边离地面的高BC为1.44 m.解：光线AD∥BE,作EF⊥DC交AD于F,则△DEF∽△ECB,利用边的比例关系求出BC. 11.解:(1)如图,沿着旗杆的影子竖立标杆,使标杆影子的顶端正好与旗杆影子顶端重合.(2)用皮尺测量旗杆的影长BE=a米,标杆CD的影长DE=b米,标杆高CD=c米.根据△EDC∽△EBA,得=,即=,所以AB=米.即旗杆AB的高为米.12.解:方案1:如图①,构造全等三角形.在河岸边作BC⊥AB,在BC上取一点O,使BO=OC,连接AO并延长,过C作BC的垂线交AO的延长线于点D,则△ABO≌△DCO,所以AB=CD.测量出CD的长,即可得到河宽AB.方案2:如图②,构造相似三角形.在河岸边作BC⊥AB,在BC上取一点O,使BO=2OC,连接AO并延长,过C作BC的垂线交AO的延长线于点D,则△ABO∽△DCO,所以==2,即AB=2CD.测量出CD的长,即可求出河宽AB.13.解:∵∠DEF=∠BCD=90°,∠D=∠D,∴△DEF∽△DCB,∴=.∵DE=40 cm=0.4 m,EF=20 cm=0.2 m,AC=1.5 m,CD=8 m,∴=,∴BC=4(m).∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5 (m).答:树高AB为5.5 m.14.解:由题意,知∠BAD=∠BCE.又∵∠ABD=∠ABE=90°,∴△BAD∽△BCE.∴=,∴=.∴BD=13.6(米).答:河宽BD是13.6米.15.解:设路灯的高CD为x m.∵AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,EA=MA,∴MA∥CD,BN∥CD,EC=CD=x m.∴△ABN∽△ACD.∴=,即=.解得x=6.125≈6.1.答:路灯的高CD约为6.1 m.16.(1)证法一:∵AB、CD相交于点O,∴∠AOC=∠BOD.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=(180°-∠AOC).同理可证:∠OBD=∠ODB=(180°-∠BOD).∴∠OAC=∠OBD.∴AC∥BD.证法二:∵AB=CD=136 cm,OA=OC=51 cm,∴OB=OD=85 cm,∴==.又∵∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△BOD.∴∠OAC=∠OBD.∴AC∥BD.(2)解:小红的连衣裙会拖落到地面.如图,在△OEF中,OE=OF=34 cm,EF=32 cm,作OM⊥EF于点M,则EM=16 cm.在Rt△OEM中,OM===30(cm).过点A作AH⊥BD于点H,同(1)可证:EF∥BD,∴∠ABH=∠OEM,则Rt△OEM∽Rt△ABH,∴=,∴AH===120(cm).∵122>120,∴小红的连衣裙会拖落到地面.解：(1)根据等边对等角得出∠OAC=∠OCA=(180°-∠AOC)和∠OBD=∠ODB=(180°-∠BOD),进而利用平行线的判定即可证出;(2)作OM⊥EF于M,AH⊥BD于H,证明Rt△OEM∽Rt△ABH,进而求出AH的长,作比较来判断.