数学九年级下册27.2.5利用两角及直角三角形判定三角形相似定理 同步练习

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27.2.5利用两角及直角三角形判定三角形相似定理基础训练知识点1 用两组角判定两三角形相似1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中的相似三角形共有(　　)A.1对 B.2对 C.3对 D.4对2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于点O,则下列三角形中,与△BOC一定相似的是(　　)A.△ABD B.△DOA C.△ACD D.△ABO3.如图,在△ABC中,BD,CE是高,则与△BOE相似的三角形有(　　)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.下列各组条件中,不能判定△ABC与△A'B'C'相似的是(　　)A.∠A=∠A',∠B=∠B'B.∠C=∠C'=90°,∠A=35°,∠B'=55°C.∠A=∠B,∠A'=∠B'D.∠A+∠B=∠A'+∠B',∠A-∠B=∠A'-∠B'5.如图,已知∠1=∠2=∠3,则下列表达式正确的是(　　)A.= B.=C.= D.=6.下列所给两个三角形不一定相似的是(　　)A.两个等腰直角三角形B.两个等边三角形C.两个直角三角形D.各有一个角是100°的两个等腰三角形7.如图,D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且∠1=∠2=∠B,则图中相似三角形有(　　)A.4对   B.3对  C.2对 D.1对8.如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP,CP的延长线分别交AD于点E,F,连接BD,DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论:①△ABE≌△DCF;②=;③DP2=PH·PB;④=.其中正确的是　　　　.(写出所有正确结论的序号) 知识点2 用直角三角形判定两三角形相似9.如图,已知∠ACB=∠ABD=90°,AB=,AC=2,当AD=　　　　　　时,△ABD与△BCA相似. 10.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G,H在对角线AC上,若四边形EGFH是菱形,则AE的长是(　　)A.2    B.3    C.5 D.611.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,下列说法中:①AC·BC=AB·CD;②AC2=AD·DB;③BC2=BD·BA;④CD2=AD·DB,正确的个数是(　　)A.1 B.2 C.3 D.4 12.如图,正方形ABCD的边长为1,P是CD边的中点,Q在线段BC上,△ADP与△QCP相似时,求BQ的值. 提升训练考查角度1 利用相似三角形证比例13.如图,AD,BE是钝角三角形ABC的边BC,AC上的高,求证:=.  考查角度2 利用比例式求线段的长14.如图,D是△ABC的边AC上的一点,连接BD.已知∠ABD=∠C,AB=6,AD=4,求线段CD的长. 考查角度3 利用相似三角形解四边形问题15.如图,四边形ABCD是正方形,BD是对角线,BE平分∠DBC交DC于点E,点F是BC延长线上一点,且CE=CF,BE的延长线交DF于点M.(1)求证:BM⊥DF;(2)若正方形ABCD的边长为2,求ME·MB.  考查角度4 利用相似三角形解与全等相关的问题16.如图,已知B,C,E三点在同一条直线上,△ABC与△DCE都是等边三角形.其中线段BD交AC于点G,线段AE交CD于点F.求证:(1)△ACE≌△BCD;(2)=. 17.如图,在△ABC中,∠C=90°,以AB上一点O为圆心,OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D,分别交AC,AB于点E,F.(1)若∠B=30°,求证:以A,O,D,E为顶点的四边形是菱形;(2)若AC=6,AB=10,连接AD,求☉O的半径和AD的长.18.如图,在直角坐标系中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上,OA=4,AB=3,动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O移动;同时点N从点O出发,以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动,当两个动点运动了x秒(0<x<4)时,解答下列问题:(1)求点N的坐标(用含x的代数式表示).(2)设△OMN的面积为S,求S与x之间的函数表达式;当x为何值时,S有最大值?最大值是多少?(3)在两个动点运动的过程中,是否存在某一时刻,使△OMN是直角三角形?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.     参考答案1.【答案】C　2.【答案】B　3.【答案】C　4.【答案】C　5.【答案】C　6.【答案】C　7.【答案】A　8.【答案】①③④9.【答案】3或3　10.【答案】C　解：连接EF.若四边形EGFH为菱形,则EF⊥GH,假设线段EF,GH交于点O,则O为AC中点,故AO=AC=2,又△ABC∽△AOE,则==,解得AE=5,故选C.11.【答案】C12.解:由题意,得∠D=∠C=90°.①当△ADP∽△PCQ时,=,即=,得CQ=.故BQ=1-=.②当△ADP∽△QCP时,=,即=,得QC=1,故BQ=0.所以当△ADP与△QCP相似时,BQ的值为0或.跳出误区:因为题中∠D=∠C=90°,所以直角三角形相似在对应顺序上有两种可能,即△ADP∽△PCQ或△ADP∽△QCP,此题容易因只考虑一种情况而漏解.13.证明:在△ACD和△BCE中,∵∠D=∠E=90°,∠ACD=∠BCE,∴△ACD∽△BCE,∴=.14.解:∵∠A=∠A,∠ABD=∠C,∴△ABD∽△ACB,∴=,∴AB2=AD·AC.又AB=6,AD=4,∴AC=9,∴CD=AC-AD=5.15.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=DC.又∵CE=CF,∠BCE=∠DCF=90°,∴△BCE≌△DCF.∴∠CBE=∠CDF.又∵∠BEC=∠DEM,∴∠CBE+∠BEC=∠CDF+∠DEM=90°.∴BM⊥DF.(2)解:∵BE平分∠DBC,根据(1)可知:∠BDM=∠F=67.5°,∴BD=BF,∴DM=FM=DF.∵正方形ABCD的边长为2,∴BD=BF=2,∴CE=CF=2-2.在Rt△DCF中,DF2=DC2+CF2=4+(2-2)2=16-8.∴DM2==4-2.∵∠CDF=∠CBE=∠DBM,∠DME=∠BMD,∴△DME∽△BMD.∴=.∴DM2=ME·MB.∴ME·MB=4-2.16.证明:(1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形,∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°.∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠ACE=∠BCD.∴△ACE≌△BCD(SAS).(2)∵△ABC与△DCE都是等边三角形,∴AB=AC,CD=ED,∠ABC=∠DCE=60°,∴=,AB∥DC,∴∠ABG=∠GDC,∠BAG=∠GCD,∴△ABG∽△CDG,∴=.同理,=.∴=.17.(1)证明:连接OD,OE,ED,如图①.∵BC与☉O相切于点D,∴OD⊥BC,∴∠ODB=90°=∠C.∴OD∥AC.∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠A=60°.又∵OA=OE,∴△AOE为等边三角形.∴AE=OA=OD.∴四边形AODE是平行四边形.又∵OA=OD,∴四边形AODE是菱形.①②  (2)解:连接OD,DF,如图②.设☉O的半径为r,由(1)知OD∥AC,∴△OBD∽△ABC.∴=,即=,解得r=.∴☉O的半径为.∵OD∥AC,∴∠DAC=∠ADO.∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO.∴∠DAC=∠DAO.∵AF是☉O的直径,∴∠ADF=90°=∠C.∴△ADC∽△AFD.∴=.∴AD2=AC·AF.∵AC=6,AF=×2=,∴AD2=6×=45.∴AD==3.18.解:(1)由题意知,MA=x,ON=1.25x.在Rt△OAB中,由勾股定理,得OB===5.如图,作NP⊥OA于点P,则NP∥AB.∴△OPN∽△OAB.∴==,即==,解得OP=x,PN=x,∴点N的坐标是.(2)在△OMN中,OM=4-x,OM边上的高PN=x,∴S=OM·PN=(4-x)·x=-x2+x.∴S与x之间的函数表达式为S=-x2+x(0<x<4).配方,得S=-(x-2)2+.∴当x=2时,S有最大值,最大值是.(3)存在某一时刻,使△OMN是直角三角形.理由如下:①如图①,若∠OMN=90°,则MN∥AB,此时OM=4-x,ON=1.25x.∵MN∥AB,∴△OMN∽△OAB,∴=,即=,解得x=2.①②②如图②,若∠ONM=90°,则∠ONM=∠OAB,此时OM=4-x,ON=1.25x.∵∠ONM=∠OAB,∠MON=∠BOA,∴△OMN∽△OBA,∴=,即=,解得x=.综上所述,x的值是2或.