数学九年级下册27.2.4利用两边及夹角判定三角形相似定理 同步练习

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27.2.4利用两边及夹角判定三角形相似定理基础训练知识点 两边及夹角判定相似三角形定理1.能判定△ABC和△A'B'C'相似的条件是(　　)A.=,且∠B=∠B'B.=,且∠A=∠C'C.=,且∠B=∠A'D.=,且∠A=∠B'2.如图,在方格纸中,△ABC和△EPD的顶点均在格点上,要使△ABC∽△EPD,则点P所在的格点为(　　)A.P1 B.P2  C.P3  D.P43.如图,D是△ABC的边AB上一点,要使△ACD∽△ABC,则它们必须具备的条件是(　　)A.=             B.=C.CD2=AD·DB          D.AC2=AD·AB4.如图所示,在等边三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,且AD∶AC=1∶3,AE=BE,则有(　　)A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD5.如图,点D在△ABC的边AC上,要使△ADB与△ABC相似,需添加一个条件,不正确的是(　　)A.∠ABD=∠C        B.∠ADB=∠ABCC.=           D.=6.如图,AB是半圆O的直径,D,E是半圆上任意两点,连接AD,DE,AE与BD相交于点C,要使△ADC与△ABD相似,可以添加一个条件.下列添加的条件其中错误的是(　　)A.∠ACD=∠DAB       B.AD=DEC.AD2=BD·CD          D.AD·AB=AC·BD7.如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,点D在AC上,且AD=2,如果要在AB上找一点E,使△ADE与△ABC相似,那么AE=__________. 8.已知△ABC和△A'B'C',∠A=50°,∠A'=50°,AB=8,BC=15,A'B'=16,B'C'=30,请问这两个三角形是否相似?请说明你的理由. 9.如图,在△ABC中,边AB上有一点M,过M点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,则满足这样条件的直线最多有__________条.  提升训练考查角度1 利用相似三角形的判定和性质证相似与角的问题　　　　　　　 　　　　　 　　　　　 10.如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,且=.(1)求证△ACD∽△CBD;(2)求∠ACB的大小. 考查角度2 利用相似三角形的性质求正方形中线段的长11.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,CD上的点,AE=ED,DF=DC,连接EF并延长交BC的延长线于点G,连接BE.(1)求证:△ABE∽△DEF;(2)若正方形ABCD的边长为4,求BG的长. 考查角度3 利用相似、全等三角形的性质求线段的长12.如图,已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC、CE、EG在同一直线上,且AB=,BC=1,连接BF,分别交AC、DC、DE于点P、Q、R.(1)求证:△BFG∽△FEG,并求出BF的长;(2)观察图形,请你提出一个与点P相关的相似问题,并进行解答. 考查角度4 利用相似三角形的性质确定满足相似条件的点(分类讨论思想)13.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点,若△PAD与△PBC是相似三角形,求满足条件的点P的个数;并求出相应的AP的长.14.如图①,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA,GB,GC,GD,EF,若∠AGD=∠BGC.(1)求证:AD=BC;(2)求证:△AGD∽△EGF;(3)如图②,若AD,BC所在直线互相垂直,求的值.　　①　　　　　　　② 15.如图,已知AB是☉O的直径,BC是☉O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C的直线与ED的延长线交于点P,PC=PG.(1)求证:PC是☉O的切线;(2)当点C在劣弧AD上运动时,其他条件不变,若BG2=BF·BO,求证:点G是BC的中点;(3)在满足(2)的条件下,若AB=10,ED=4.求BG的长.  参考答案1.【答案】C　2.【答案】C　3.【答案】D　4.【答案】B　5.【答案】C　6.【答案】D　7.【答案】或8.解:△ABC与△A'B'C'不一定相似.理由如下:因为∠A=∠A'=50°,但不知道是否等于,所以根据已知条件不能确定△ABC与△A'B'C'相似.易错总结:根据边角对应关系判断两个三角形相似,应具备“两边对应成比例,且夹角相等”,本题中虽然==,但BC,B'C'分别是∠A,∠A'的对边,不满足“两边成比例且夹角相等”,不能由此来判断△ABC与△A'B'C'相似.9.【答案】4　解：(1)过M作BC的平行线.(2)过M作AC的平行线.(3)在AC上取点N使=.(4)在BC上取点P使=.10.(1)证明:∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°.又∵=,∴△ACD∽△CBD.(2)解:∵△ACD∽△CBD,∴∠A=∠BCD.又∵∠A+∠ACD=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°.即∠ACB=90°.11.(1)证明:在正方形ABCD中,∠A=∠D=90°,AB=AD=CD.∵AE=ED,DF=DC,∴AE=ED=AB,DF=AB,∴=,∴△ABE∽△DEF.(2)解:∵AD=4,AE=ED,∴DE=2.∵AD∥CG,∴△EFD∽△GFC,∴==,∴CG=3DE=6,∴BG=10.12.(1)证明:∵△ABC≌△DCE≌△FEG,∴FG=AB=,BC=CE=EG=BG=1,即BG=3.∴===,又∠BGF=∠FGE,∴△BFG∽△FEG.∵△FEG是等腰三角形,∴△BFG是等腰三角形,∴BF=BG=3.(2)解:本题答案不唯一,如求证:△APB∽△CPQ.证明如下:∵△ABC≌△DCE,∴∠ABC=∠DCE,∴AB∥CD,∴△APB∽△CPQ.13.解:∵AD∥BC,∠B=90°,∴∠A=180°-∠B=90°,∴∠PAD=∠PBC=90°.设AP的长为x,则BP=AB-AP=8-x.若AB边上存在P点,使△PAD与△PBC相似,那么分两种情况:①若△APD∽△BPC,则AP∶BP=AD∶BC,即x∶(8-x)=3∶4,解得x=;②若△APD∽△BCP,则AP∶BC=AD∶BP,即x∶4=3∶(8-x),解得x=2或x=6.∴满足条件的点P的个数是3.14.(1)证明:∵点E,F分别为AB,CD的中点,且GF⊥CD,GE⊥AB,∴GA=GB,GD=GC.在△AGD与△BGC中,∴△AGD≌△BGC.∴AD=BC.(2)证明:由(1)得∠AGD=∠EGF.∵∠AGD=∠EGF,∴∠AGB=∠DGC.又∵=,∴△AGB∽△DGC.又∵GE,GF分别为等腰三角形△AGB和△DGC底边AB,DC上的高,∴=且∠AGE=∠AGB=∠DGC=∠DGF.∴=,且∠AGD=∠EGF.∴△AGD∽△ECF.(3)解:延长AD,BC交于点O,AO,GB交于点P.∵△AGD≌△BGC,∴∠GAD=∠GBC.又∵∠OPB=∠GPA,∴∠AGP=∠POB=90°.又∵GA=GB,∴∠GAE=∠AGE=45°.∴==.15.(1)证明:如图,连接OC.∵ED⊥AB,∴∠BFG=90°,∴∠B+∠BGF=90°.∵PC=PG,∴∠PCG=∠PGC,而∠PGC=∠BGF.∴∠B+∠PCG=90°.∵OB=OC,∴∠B=∠BCO.∴∠BCO+∠PCG=90°,则∠PCO=90°,即OC⊥PC,而OC是半径,∴PC是☉O的切线.(2)证明:如图,连接OG.∵BG2=BF·BO,∴=,而∠B=∠B,∴△BFG∽△BGO,∴∠BGO=∠BFG=90°.∴OG⊥BC,∴点G是BC的中点.(3)解:如图,连接OE.∵AB是☉O的直径,ED⊥AB,∴EF=ED.∵AB=10,ED=4,∴EF=2,OE=OB=AB=5.在Rt△OEF中,OF==1,∴BF=OB-OF=5-1=4.∴BG==2.