初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用当堂检测题

这是一份初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用当堂检测题，共16页。试卷主要包含了80,cs 53°≈0等内容，欢迎下载使用。
28.2.4 实际中的方位角、坡角问题基础训练知识点1 方位角问题1.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°,距离灯塔为2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置,海轮航行的距离AB长是(　　)A.2海里          B.2sin 55°海里 C.2cos 55°海里 D.2tan 55°海里2.如图,一只船以每小时20千米的速度向正东航行,起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°方向上,2小时后,船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°方向上,则灯塔B到船所在的航线AC的距离是(　　)A.(18+16)千米 B.(19+18)千米C.(20+20)千米 D.(21+22)千米 3.如图,一船向正北方向匀速行驶,在C处看见正西方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直线上,继续航行半小时后,在D处看见灯塔B在南偏西60°方向上,灯塔A在南偏西75°方向上,则该船航行的速度应该是(　　)A.10海里/小时    B.5海里/小时C.10海里/小时 D.5海里/小时4.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向,距离灯塔100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.(1)在图中画出点B,并求出B处与灯塔P的距离(结果取整数);(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置.(参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33,≈1.41) 知识点2 坡角问题5.小明沿着与地面成30°角的坡面向下走了2米,那么他下降了(　　)A.1米    B.米 C.2米 D.米6.拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB的坡比是1∶,坝高BC=10 m,则坡面AB的长度是(　　)A.15 m B.20 m    C.10 m  D.20 m7.如图,小明爬一土坡,他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米,此时,他离地面高度为h=2米,则这个土坡的坡角∠A=　　　　°.8.如图,一水库大坝的横断面为梯形ABCD,坝顶BC宽6米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1∶2.5,斜坡CD的坡角为30°,求坝底AD的长度.(精确到0.1米,参考数据:≈1.414,≈1.732.提示:坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)  =9.如图,某人在大楼30米高(即PH=30米)的窗口P处进行观测,测得山坡上A处的俯角为15°,山脚B处的俯角为60°,已知该山坡的坡度i为1∶,点P,H,B,C,A在同一个平面上,点H,B,C在同一条直线上,且PH⊥HC.则A,B两点间的距离是(　　)A.15米　 B.20米　 C.20米　 D.10米  提升训练考查角度1 同一点的两个方位角问题10.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(结果用非特殊角的三角函数表示即可) 考查角度2 不同点的两个方位角问题11.如图,某市对位于笔直公路AC上两个小区A,B的供水路线进行优化改造,供水站M在笔直公路AD上,测得供水站M在小区A的南偏东60°方向,在小区B的西南方向,小区A,B之间的距离为300(+1)米,求供水站M分别到小区A,B的距离.(结果可保留根号) 考查角度3 已知坡角求坡长问题12.如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑梯的倾斜度由45°降为30°,已知原滑梯AB的长为5米,点D,B,C在同一水平地面上且共线.求:改善后滑梯会加长多少米?(精确到0.01米) 考查角度4 坡角与视角的综合问题13.如图,某大楼的顶部有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度i=1∶,AB=10米,AE=15米(i=1∶是指坡面的铅直高度BH与水平长度AH的比).(1)求点B距水平面AE的高度BH;(2)求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米.参考数据:≈1.414,≈1.732) 14.如图,海中两个灯塔A,B,其中B位于A的正东方向上,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点C处测得灯塔A在西北方向上,灯塔B在北偏东30°方向上,渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D,这时测得灯塔A在北偏西60°方向上,求灯塔A,B间的距离.(计算结果用根号表示,不取近似值) 15.如图,一楼房AB后有一假山,其坡度为i=1∶,山坡坡面上E点处有一休息亭,测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米,与亭子距离CE=20米,小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°,求楼房AB的高度.(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比) 探究培优 拔尖角度1 利用方位角解决航海中的问题16.在东西方向的海岸线l上有一长为1 km的码头MN(如图),在码头西端M的正西19.5 km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°方向,且与A相距40 km的B处,经过80 min,又测得该轮船位于A的北偏东60°方向,且与A相距8 km的C处.(1)求该轮船航行的速度(结果保留根号);(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由.  拔尖角度2 利用坡度解决工程改造问题17.我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米,以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE,背水坡坡角∠BAE=68°,新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 68°≈0.93,cos 68°≈0.37,tan 68°≈2.5,≈1.73)  参考答案1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】A　解：根据题意得AB=10海里,∠ADC=75°,∠BDC=60°,DC⊥AC,∴∠DBC=30°,∠BDA=∠A=15°,∴BD=AB=10海里.∵DC⊥AC,∴在Rt△BDC中,DC=BD·sin ∠DBC=10×=5(海里),∵从C到D行驶了半小时,∴速度为5÷=10(海里/小时),故选A.4.解:(1)点B的位置如图所示.根据题意,得∠A=53°,∠B=45°.在Rt△APC中,∵sin A=.∴PC=PA·sin 53°≈100×0.80=80.方法一:在Rt△BPC中,∵sin B=,∴PB=≈=80≈80×1.41≈113(海里).方法二:在Rt△BPC中,∵∠B=∠BPC=45°,∴PC=BC.∴PB==PC≈1.41×80≈113(海里).∴B处与灯塔P的距离大约是113海里.(2)灯塔P位于B处的西北(或北偏西45°)方向,距离B处大约113海里.5.【答案】A　6.【答案】D　7.【答案】308.解:作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E,F,则四边形BCFE是矩形,由题意得,EF=BC=6米,BE=CF=20米.∵斜坡AB的坡度i为1∶2.5,在Rt△ABE中,BE=20米,∴=,∴AE=50米.在Rt△CFD中,∠D=30°,∴DF==20(米),∴AD=AE+EF+FD=50+6+20≈90.6(米).故坝底AD的长度约为90.6米.9.【答案】B　解：由题意可得:∠APB=60°-15°=45°,∠PBH=60°,则可由锐角三角函数求得PB的长,又由山坡的坡度i(即tan ∠ABC)为1∶,即可求得∠ABC的度数,从而得出△ABP是等腰直角三角形,则可求得答案.10.解:如图,过点P作PD⊥AB于点D.由题意知∠DPB=∠DBP=45°.在Rt△PBD中,sin 45°==,∴PB=PD.∵点A在点P的北偏东65°方向上,∴∠APD=90°-65°=25°.在Rt△PAD中,cos 25°=.∴PD=PAcos 25°=80cos 25°(海里),∴PB=80cos 25°海里.11.解:如图,过点M作MN⊥AB于N,设MN=x米.在Rt△AMN中,∵∠ANM=90°,∠MAN=30°,∴MA=2MN=2x,AN=MN=x.在Rt△BMN中,∵∠BNM=90°,∠MBN=45°,∴BN=MN=x,MB=MN=x.∵AN+BN=AB,∴x+x=300(+1),∴x=300,∴MA=2x=600,MB=x=300.故供水站M到小区A的距离是600米,到小区B的距离是300米.12.解:在Rt△ABC中,∵AB=5米,∠ABC=45°,∴AC=ABsin 45°=5×=(米),在Rt△ADC中,∠ADC=30°,∴AD==5≈5×1.414=7.07(米),∴AD-AB≈7.07-5=2.07(米).答:改善后滑梯会加长约2.07米.13.解:(1)如图,过B作BG⊥DE于G,在Rt△ABH中,i=tan ∠BAH==,∴∠BAH=30°,∴BH=AB=5.0米.(2)由(1)得:BH=5.0米,AH=5米,∴BG=AH+AE=(5+15)米,在Rt△BGC中,∠CBG=45°,∴CG=BG=(5+15)米.在Rt△ADE中,∠DAE=60°,AE=15米,∴DE=AE=15米.∴CD=CG+GE-DE=5+15+5.0-15=20-10≈2.7(米).答:广告牌CD的高度约为2.7米.14.解:作CE⊥AB于点E,AF⊥CD于点F,∴∠AFC=∠AEC=90°.∵∠FCE=90°,∠ACE=45°,∴四边形AFCE是正方形.设AF=FC=CE=AE=x海里,则FD=(x+30)海里,∵tan D=,∠D=30°,∴=,解得x=15+15,∴AE=CE=(15+15)海里.∵tan ∠BCE=,∠BCE=30°,∴=,解得BE=(15+5)海里.∴AB=AE+BE=15+15+15+5=(20+30)(海里).答:灯塔A,B间的距离为(20+30)海里.15.解:如图,过点E作EF⊥BC,交BC的延长线于F,作EH⊥AB于点H.在Rt△CEF中,∵i===tan ∠ECF,∴∠ECF=30°,∴EF=CE=10米,CF=10米,∴BH=EF=10米,HE=BF=BC+CF=(25+10)米,在Rt△AHE中,∵∠HAE=45°,∴AH=HE=(25+10)米,∴AB=AH+HB=(35+10)米.答:楼房AB的高度为(35+10)米.16.解:(1)如图,∵∠1=30°,∠2=60°,∴∠BAC=90°,∴△ABC为直角三角形.∵AB=40 km,AC=8 km,∴BC===16(km).∴航行速度为×60=12(km/h).(2)轮船能正好行至码头MN靠岸.理由如下:如图,作BR⊥l于R,作CS⊥l于S,延长BC交l于T.∵∠2=60°,∴∠4=90°-60°=30°.∵AC=8km,∴CS=8sin 30°=4(km).AS=8cos 30°=8×=12(km).∵∠1=30°,∴∠3=90°-30°=60°.∵AB=40 km,∴BR=40·sin 60°=20(km).AR=40×cos 60°=40×=20(km).易得,△STC∽△RTB,∴=,=,解得:ST=8 km.∴AT=12+8=20(km).又∵AM=19.5 km,MN=1 km,∴AN=20.5 km,∵19.5<AT<20.5,∴轮船能够正好行至码头MN靠岸.17.解:在Rt△BAE中,∠BAE=68°,BE=162米,∴AE=≈=64.8(米).在Rt△DEC中,∠DCE=60°,DE=176.6米,∴CE==≈102.08(米),∴AC=CE-AE≈102.08-64.8=37.28≈37.3(米),即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米.