2023年中考复习存在性问题系列矩形的存在性问题专题探究试卷
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矩形的存在性问题专题探究
二次函数为载体的矩形存在性问题是近年来中考的热点,其图形复杂,知识覆盖面广,综合性较强,对学生分析问题和解决问题的能力要求高.
解题攻略
矩形除了具有平行四边形的性质之外,还有“对角线相等”或“内角为直角”,因此相比起平行四边形,坐标系中的矩形满足以下3个等式:
(AC为对角线时)
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量,代入可以得到三元一次方程组,可解.
确定了有3个未知量,则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点,多则可以有3个.
题型如下:
(1)2个定点+1个半动点+1个全动点;
(2)1个定点+3个半动点.
解题方法
思路1:先直角,再矩形(两定两动)
在构成矩形的4个点中任取3个点,必构成直角三角形,以此为出发点,可先确定其中3个点构造直角三角形,再确定第4个点.对“2定+1半动+1全动”尤其适用.
要善于利用直角三角形的性质:
①两个锐角互余;②三边平方的等量关系(勾股定理);③斜边上的中线等于斜边的一半.
转化为直角三角形问题,以定线段为边和对角线来确定分类标准,利用一线三直角相似来确定一动点的位置,然后通过平移确定另一动点坐标。
①找点:两线一圆②求点:一线三直角相似 ③平移
思路2:先平行,再矩形
分析定点、定角及不变特征,结合图形形成因素(判定等),考虑分类,通常需要转化为一定两动夹角固定直角三角形存在性问题,按照顶角分类。先平行四边形再加一组邻边相等列方程组
典例剖析
题型一:先直角,再矩形
例1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于点和,交轴于点,抛物线的对称轴交轴于点,交抛物线于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段,旋转角为,连接,,求的最小值.
(3)为平面直角坐标系中一点,在抛物线上是否存在一点,使得以,,,为顶点的四边形为矩形?若存在,请直接写出点的横坐标;若不存在,请说明理由;
【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2);(3)存在,N点的横坐标分别为:2,-1,或.
【解析】解:(1)∵将(1,0),(0,3)代入y=-x2+bx+c,得:
解得:b=-2,c=3
即抛物线的解析式为:y=-x2-2x+3.
(2)在OE上取一点D,使得OD=OE,连接AE’,BD
∵OD=OE=OE’,抛物线对称轴为:x=-1
∴E(-1,0),OE=1=OE’,OA=3
∴, ∠DOE’=∠E’OA
∴△DOE’∽△E’OA
∴DE’=AE’
∴BE’+AE’=BE’+DE’
当B、E’、D三点在同一点直线上时,BE’+DE’最小值为BD.
在Rt△BOD中,OD=,OB=3
∴BD=
即BE’+AE’最小值为.
(3)由y=-x2-2x+3,得A(-3,0)
①当∠ABN=90°时,
过N作NQ⊥y轴于Q,
则tan∠ABO=tan∠BNQ
∴
∴BQ=NQ,
设N(m,-m2-2m+3),
∴-m2-2m=-m,
解得:m=0(舍)或m=-1
即N点横坐标为-1.
②当∠ANP=90°时,
同理,AP=PN,
即m+3=-(-m2-2m+3)
解得:m=-3(舍)或m=2
即N点横坐标为2.
③当∠ANB=90°时,
同理,
即
解得:m=或m=
综上所述,N点的横坐标分别为:2,-1,或.
变式训练
如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于A、B两点(点A在点B左侧),经过点A的直线与轴负半轴交于点C,与抛物线另一个交点为D,且.
(1)直接写出点A的坐标,并求出直线的函数表达式(其中,k、b用含的式子表示);
(2)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以A、D、P、Q为顶点的四边形能否成矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
【解答】,;(2),.
【解析】(1),
令,解得,,
直线经过点A,,即,,
令,整理得,
,点D的横坐标为4,
直线的函数表达式为;
(2)令,即,解得,,
,抛物线的对称轴为,设,
①若AD是矩形的一条边,则,则,
四边形ADPQ是矩形,,
,即,
即,;
②若AD是矩形的一条对角线,则线段AD的中点坐标为,
,,
四边形APDQ是矩形,
,即,
综上,当点P的坐标为或时,以A、D、P、Q为顶点的四边形能成为一个矩形.
题型二:先平行,再矩形
例2(2022•随州)如图1,平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴分别交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C,对称轴为直线x=﹣1,且OA=OC,P为抛物线上一动点.
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)如图2,连接AC,当点P在直线AC上方时,求四边形PABC面积的最大值,并求出此时P点的坐标;
(3)设M为抛物线对称轴上一动点,当P,M运动时,在坐标轴上是否存在点N,使四边形PMCN为矩形?若存在,直接写出点P及其对应点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3; (2)当m=﹣时,S的值最大,最大值为,此时P(﹣,);(3)P(﹣1,4),N(0,4)或P(,),N(,0)或P′(,),N′(,0).
【解答】解:(1)∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1,抛物线交x轴于点A,B(1,0),
∴A(﹣3,0),
∴OA=OC=3,
∴C(0,3),
∴可以假设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1),
把(0,3)代入抛物线的解析式,得a=﹣1,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;
(2)如图(2)中,连接OP.设P(m,﹣m2﹣2m+3),
S=S△PAO+S△POC+S△OBC,
=×3×(﹣m2﹣2m+3)××3×(﹣m)+×1×3
=(﹣m2﹣3m+4)
=﹣(m+)2+,
∵﹣<0,
∴当m=﹣时,S的值最大,最大值为,此时P(﹣,);
(3)存在,理由如下:
如图3﹣1中,当点N在y轴上时,四边形PMCN是矩形,此时P(﹣1,4),N(0,4);
如图3﹣2中,当四边形PMCN是矩形时,设M(﹣1,n),P(t,﹣t2﹣2t+3),则N(t+1,0),
由题意,,
解得,消去n得,3t2+5t﹣10=0,
解得t=,
∴P(,),N(,0)或P′(,),N′(,0).
综上所述,满足条件的点P(﹣1,4),N(0,4)或P(,),N(,0)或P′(,),N′(,0).
变式训练:
2如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣4交x轴于A(﹣1,0)、B(4,0)两点,交y轴于点C.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点P为第四象限内抛物线上一点,连接PB,过点C作CQ∥BP交x轴于点Q,连接PQ,求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,将抛物线y=ax2+bx﹣4向右平移经过点(,0)时,得到新抛物线y=a1x2+b1x+c1,点E在新抛物线的对称轴上,在坐标平面内是否存在一点F,使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
参考:若点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),则线段P1P2的中点P0的坐标为(,).
【解答】解:(1)由题意得:,解得,
故抛物线的表达式为y=x2﹣3x﹣4;
(2)由抛物线的表达式知,点C(0,﹣4),
设点P的坐标为(m,m2﹣3m﹣4),
设直线PB的表达式为y=kx+t,
则,解得,
∵CQ∥BP,
故设直线CQ的表达式为y=(m+1)x+p,
该直线过点C(0,﹣4),即p=﹣4,
故直线CQ的表达式为y=(m+1)x﹣4,
令y=(m+1)x﹣4=0,解得x=,即点Q的坐标为(,0),
则BQ=4﹣=,
设△PBQ面积为S,
则S=×BQ×(﹣yP)=﹣××(m2﹣3m﹣4)=﹣2m2+8m,
∵﹣2<0,故S有最大值,
当m=2时,△PBQ面积为8,
此时点P的坐标为(2,﹣6);
(3)存在,理由:
将抛物线y=ax2+bx﹣4向右平移经过点(,0)时,即点A过该点,即抛物线向右平移了+1=个单位,
则函数的对称轴也平移了个单位,即平移后的抛物线的对称轴为直线x=+=3,故设点E的坐标为(3,m),
设点F(s,t),
①当AP是边时,
则点A向右平移3个单位向下平移6个单位得到点P,
同样点F(E)向右平移3个单位向下平移6个单位得到点E(F)且AE=PF(AF=PE),
则或,
解得或,
故点F的坐标为(0,)或(6,﹣4);
②当AP是对角线时,
由中点坐标公式和AP=EF得:,
解得或,
故点F的坐标为(﹣2,﹣3﹣)或(﹣2,﹣3);
综上,点F的坐标为(0,)或(6,﹣4)或(﹣2,﹣3﹣)或(﹣2,﹣3).
3.如图:在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,经过点的抛物线的对称轴是.
(1)求抛物线的解析式;
(2)平移直线经过原点,得到直线,点是直线上任意一点,轴于点,轴于点,若点在线段上,点在线段的延长线上,连接,,且.求证:;
(3)若(2)中的点坐标为,点是轴上的点,点是轴上的点,当时,抛物线上是否存在点,使四边形是矩形?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由.
【分析】(1)先求得点的坐标,然后依据抛物线过点,对称轴是列出关于、的方程组求解即可;
(2)设,则,,然后再证明,最后通过等量代换进行证明即可;
(3)设,然后用含的式子表示的长,从而可得到的长,于是可得到点的坐标,然后依据中点坐标公式可得到,,从而可求得点的坐标(用含的式子表示),最后,将点的坐标代入抛物线的解析式求得的值即可.
【解答】解:(1)当时,,解得,即,抛物线过点,对称轴是,得,
解得,抛物线的解析式为;
(2)平移直线经过原点,得到直线,
直线的解析式为.
点是直线上任意一点,
设,则,.
又,
设,,,,
则,,
,,
,
.
,
,
.
(3)如图所示,点在点的左侧时,设,则.
,
.
.
为矩形,
,,
,,
,.
将点的坐标代入抛物线的解析式得:,解得:或(舍去).
.
如下图所示:当点在点的右侧时,设,则.
,
.
.
为矩形,
,,
,,
,.
将点的坐标代入抛物线的解析式得:,解得:或(舍去).
.
综上所述,点的坐标为或.
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式,用含的式子表示点的坐标是解题的关键.
2023年中考复习存在性问题系列 特殊角的存在性问题专题探究: 这是一份2023年中考复习存在性问题系列 特殊角的存在性问题专题探究,共13页。
2023年中考复习存在性问题系列正方形存在性问题专题探究讲义: 这是一份2023年中考复习存在性问题系列正方形存在性问题专题探究讲义,共13页。试卷主要包含了 基本题型,解题思路,综合与探究等内容,欢迎下载使用。
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