九年级下册28.2 解直角三角形及其应用课后练习题

这是一份九年级下册28.2 解直角三角形及其应用课后练习题，共14页。试卷主要包含了在Rt△ABC中,∠C=90°等内容，欢迎下载使用。
28.2.1 解直角三角形基础训练知识点1 已知两边解三角形1.在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)若c=6,a=6,则b=_________,∠B=_______,∠A=_______; (2)若a=4,b=4,则∠A=_______,∠B=_______,c=_______. 2.如图,△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cos A=(　　)A. B.   C. D.3.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,CA是∠BCD的平分线,且AB⊥AC,AB=4,AD=6,则tan B=(　　)A.2 B.2 C. D.知识点2 已知一边及一锐角解三角形4.在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)若∠B=60°,BC=,则∠A=__________,AC=_________,AB=_________; (2)若∠A=45°,AB=2,则∠B=_________,AC=_________,BC=_________. 5.在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,则AC等于(　　)A.3sin 40° B.3sin 50°C.3tan 40° D.3tan 50°6.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,P是BC边上的动点,则AP长不可能是(　　)A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.77.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, D为BC上一点,∠DAC=30°,BD=2,AB=2,则AC的长是(　　)A.　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.知识点3 已知一边及一锐角的三角函数值解三角形8.如图,菱形ABCD的边长为15,sin∠BAC=,则对角线AC的长为　　　　. 9.如图,△ABC中,AC=5,cos B=,sin C=,则△ABC的面积是(　　)A. B.12 C.14 D.2110.如图,已知菱形ABCD中,AE⊥BC于点E.若sin B=,AD=6,则菱形ABCD的面积为(　　)A.12 B.12 C.24 D.5411.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,AD=CD,cos ∠DCA=,BC=10,则AB的值是(　　)A.3 B.6 C.8 D.912.在△ABC中,AB=2,AC=,∠B=30°.求∠BAC的度数.  提升训练考查角度1 利用三角函数解直角三角形13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=3,解这个直角三角形.14.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知b=10,∠B=60°,解这个直角三角形. 15.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sin B=,AD=1.(1)求BC的长;(2)求tan ∠DAE的值. 考查角度2 利用三角函数解斜三角形问题(化斜为直法)16.如图,在△ABC中,sin B=,∠A=105°,AB=2,求△ABC的面积. 考查角度3 利用三角函数解与相似有关的综合问题17.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD,过点D作DH∥AB,交BC的延长线于点H.(1)求BD·cos∠HBD的值;(2)若∠CBD=∠A,求AB的长. 18.如图,两个全等的△ABC和△DEF重叠在一起,固定△ABC,将△DEF进行如下变换:(1)如图①,△DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动),连接AF,AD,BD,请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系.(2)如图②,当点F平移到线段BC的中点时,若四边形AFBD为正方形,那么△ABC应满足什么条件?请给出证明.(3)在(2)的条件下,将△DEF沿DF折叠,点E落在FA的延长线上的点G处,连接CG,请你画出图形,并求出sin∠CGF的值.①② 19.如图,PB为☉O的切线,B为切点,过B作OP的垂线BA,垂足为C,交☉O于点A,连接PA,AO.并延长AO交☉O于点E,与PB的延长线交于点D.(1)求证:PA是☉O的切线.(2)若=,且OC=4,求PA的长和tan D的值.  参考答案1.【答案】(1)6;45°;45°　(2)60°;30°;82.【答案】D　3.【答案】B4.【答案】(1)30°;;2　(2)45°;;5.【答案】D　6.【答案】D　7.【答案】A　8.【答案】249.【答案】A 　解：如图,过点A作AD⊥BC.因为cos B=,所以∠B=45°,所以AD=BD.因为sin C==,所以=,所以AD=BD=3,所以DC===4,所以BC=BD+DC=7,所以S△ABC=BC·AD=×7×3=.10.【答案】C　解：∵四边形ABCD是菱形,AD=6,∴AB=BC=6.在Rt△ABE中,sin B=,∵sin B=,∴=,解得AE=4.∴菱形ABCD的面积是6×4=24.故选C.11.【答案】B　解：∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA.∴∠ACB=∠DCA.∴cos∠ACB=cos∠DCA=,即==,∴AC=8,∴AB==6.12.解:(1)如图①,当∠BAC是钝角时,过点A作AD⊥BC,垂足为点D.在Rt△ABD中,∵∠B=30°,∴∠BAD=60°,AD=AB·sin 30°=1.在Rt△ACD中,CD===1,∴△ACD是等腰直角三角形,则∠CAD=45°,∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°.(2)如图②,当∠BAC是锐角时,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D.∵∠B=30°,∴AD=AB·sin 30°=1,∠BAD=60°.∴CD===1,∴∠DAC=45°,∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=60°-45°=15°.综上可知,∠BAC的度数为105°或15°.常见错解:解题时只考虑了一种情况(∠BAC为钝角或∠BAC为锐角),而忽略了另一种情况(∠BAC为锐角或∠BAC为钝角),从而造成漏解.13.解:在Rt△ABC中,AB===6.∵tan A===1,∴∠A=45°.∴∠B=90°-∠A=90°-45°=45°.14.解:∵∠B=60°,∴∠A=90°-∠B=30°.∵tan B=,∴a====.∵sin B=,∴c====.方法解：已知一个锐角时,可以先根据直角三角形的两锐角互余来计算另一个锐角的度数.已知一个锐角及对边,常通过正切和正弦来解直角三角形.15.解:(1)在△ABC中,∵AD是BC边上的高,∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ADC中,∵∠ADC=90°,∠C=45°,AD=1,∴DC=AD=1.在△ADB中,∵∠ADB=90°,sin B=,AD=1,∴AB==3,∴BD==2,∴BC=BD+DC=2+1.(2)∵AE是BC边上的中线,∴CE=BC=+,∴DE=CE-CD=-,∴tan ∠DAE==-.16.解:过A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中,易得∠B=45°,又AB=2,∴∠DAB=∠B=45°,AD=BD=2×=,∴∠CAD=105°-45°=60°.在Rt△CAD中,tan∠CAD=,∴CD=AD·tan∠CAD=×tan 60°=.∴BC=CD+BD=+.∴S△ABC=·BC·AD=(+)×=+1.17.解:(1)∵DH∥AB,∴∠BHD=∠ABC=90°,∴△ABC∽△DHC,∴=.∵AC=3CD,BC=3,∴CH=1.∴BH=BC+CH=4.在Rt△BHD中,cos ∠HBD=.∴BD·cos∠HBD=BH=4.(2)方法一:∵∠A=∠CBD,∠ABC=∠BHD,∴△ABC∽△BHD,∴=.∵△ABC∽△DHC,∴==,∴AB=3DH,∴=,DH=2,∴AB=6.方法二:∵∠CBD=∠A,∠BDC=∠ADB,∴△CDB∽△BDA,∴=,BD2=CD·AD.∴BD2=CD·4CD=4CD2.∴BD=2CD.∵△CDB∽△BDA,∴=.∴=.∴AB=6.18.解:(1)S△ABC=S四边形AFBD.(2)△ABC为等腰直角三角形,即:AB=AC,∠BAC=90°.理由如下:∵F为BC的中点,∴CF=BF.∵CF=AD,∴AD=BF.又∵AD∥BF,∴四边形AFBD为平行四边形.∵AB=AC,F为BC的中点,∴AF⊥BC.∴平行四边形AFBD为矩形.∵∠BAC=90°,F为BC的中点,∴AF=BC=BF.∴四边形AFBD为正方形.(3)正确画出图形如图.由(2)知,△ABC为等腰直角三角形,AF⊥BC,设CF=k,则GF=EF=CB=2k.由勾股定理,得:CG=k.sin ∠CGF===.19.(1)证明:如图,连接BO,∵PB为☉O的切线,B为切点,∴OB⊥PD,∠PBO=90°.又∵OA=OB,OC⊥AB,∴∠AOC=∠BOC.又∵OP=OP,∴△PAO≌△PBO,∴∠PAO=∠PBO=90°,PA=PB,∴PA是☉O的切线.(2)解:∵∠ACO=∠PAO=90°,∠AOC=∠POA,∴△AOC∽△POA,∴==.又∵OC=4,∴AC=6.在Rt△AOC中,OA===2,∴PA=OA=3,∴PB=3.在Rt△PAO中,PO===13.如图,连接BE.∵AE为直径,∴∠ABE=90°.又∵OC⊥AB,∴BE∥OP,∴△DBE∽△DPO,BE=2OC=8.∴=.即=.解得BD=.∴在Rt△DBO中,tan D===.