初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数第1课时教案设计

第二十八章 锐角三角函数

28．1 锐角三角函数

第1课时   正弦函数

学习目标：

1．理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变)． 

2．能根据正弦概念正确进行计算．

重点：理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变)．

难点：能根据正弦概念正确进行计算．

一、知识链接

1．在Rt△ABC中，a=1，∠C=90°，∠A=30°，求c．

2．在Rt△ABC中，a=1，∠C=90°，∠A=45°，求c．

一、要点探究

探究点1：已知直角三角形的边长求正弦值

合作探究   为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌．先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？

  这个问题可以归结为：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB．

【方法归纳】   在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于．

思考1：Rt△ABC 中，如果∠C=90°，∠A = 45°，那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？

【方法归纳】   在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于．

思考2：   任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？

【方法归纳】  这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．

如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A，即

【典例精析】

例1   如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求 sin A 和sin B 的值．

练一练 1．如图，判断对错：

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=3，则sin A的值为           （    ）  

A．      B．        C．        D．

例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值．

【方法总结】  结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解．

练一练  如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sin α 等于          (     )

A．                B．       

C．         D．

探究点2：已知锐角的正弦值求直角三角形的边长

例3  如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ，BC = 3，求 sin B 及 Rt△ABC 的面积．

提示：已知 sin A 及∠A的对边 BC的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出AC的长度，进而求出 sin B及 Rt△ABC的面积．

练一练  1．在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，BC=6，则AB的长为          (     )

1. 4           B．6            C．8                D．10

2．在△ABC中，∠C=90°，如果 sin A = ，AB=6， 那么BC=        ．

例4  在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24 cm，sin A=，求这个三角形的周长．

【方法总结】 已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题．

二、课堂小结

1．在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将(     )

   A． 扩大为原来的2倍     B．不变       C． 缩小为原来的      D． 无法确定

2．如图， 在△ABC中，∠B=90°，则sin A的值为                (     )

A．        B． 

C．         D．

3．如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC的值为         ．

4．如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在 ⊙A 上，BD是 ⊙A 的一条弦，

则 sin∠OBD =______．

5．如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sin A =，求△ABC 的面积．

6． 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB． 

  (1) sin B 可以由哪两条线段之比表示?

(2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sin B 的值．

参考答案

自主学习

一、知识链接

1．解：c=2．     2．解：c=．

课堂探究

一、要点探究

探究点1：已知直角三角形的边长求正弦值

合作探究

解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，可知

∴ AB = 2BC =2×35=70 (m)．故需要准备 70 m 长的水管．

思考1   解：因为∠A=45°，∠C=90°， 所以AC=BC．由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2，所以．因此                  

思考2   解：因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'．所以，即．

典例精析

例1   解：如图①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得因此如图②，在Rt△ABC中，由勾股定理得因此

练一练  1． √ × × √ √  2． C

例2   解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4．在Rt△APO中，由勾股定理得因此

练一练   D

例3 解：∵∠C=90°，，∴ ∴ AB = 3BC =3×3=9．

∴∴

∴

练一练   1． D   2．  2

例4 解：由sin A=，设BC=7x cm，则AB=25x cm．在 Rt△ABC中，由勾股定理得，即 24x = 24，解得 x = 1 cm．故 BC = 7x =   7 cm，AB = 25x = 25 cm．所以 △ABC 的周长为BC+AC+AB = 7+24+25 = 56 (cm)．

当堂检测

1. B   2．A    3．   4．

5．解：作BD⊥AC于点D，∵ sin A =，∴．

∴又∵ AB=AC ，BD⊥AC，∴ AC=2AD=6．

∴S△ABC=AC×BD÷2=12．

6．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC =∠ACB = 90°．∴∠ACD = ∠B=90°-∠A．

∴

（2）在Rt△ACD中，由 (1)知，